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Análise Matemática – Exercícios II
1.
a) Para a sequência mostre que existe uma ordem
onde
é válido.
Uma vez que vem que
Tomando Temos o resultado pretendido.
b) Mostre por definição que
Pela definição de limite e usando a), temos
Fazendo
a diferença entre e
é sempre menor do que
.
2. Mostre que
Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para . Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.
Diz-se que sse
Assim sse
Com as proposições
e
são de facto equivalentes.
3. Calcule
Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como onde
e
.
Sabemos que e
.
O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é então
diverge ligeiramente mais depressa, se for
então é
que diverge ligeiramente mais depressa.
No caso de vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.
Vamos então calcular:
O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.
4. Calcule
5. Calcule .
Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:
Ou seja, fazendo o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.
O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Assim
com
Logo .
Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.
6. Calcule
Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Logo .
Uma vez que
e
vem que
Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para . Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.
7. Calcule
Visualmente:
com termos.
com termos.
Então
então também é
De onde podemos concluir que tende para infinito mais rápido do que
8. Dê exemplo de sucessões que
a) e
:
e
b) e
:
e
c) e
:
e
d) e
:
não existe.
e
e) e
:
e
f) e
:
e
g) e
:
e
h) e
:
não existe.
e
Análise Matemática – Sucessões III
Teorema 18 Seja
Também podemos formular um teorema análogo para
Demonstração: Demonstração omitida. |
Caso esteja a inquirir porque usámos nas condições dos limites, tanto para
como para
, ao invés de utilizarmos
isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo
.
Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.
Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.
Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão
que tende para
ainda que não seja monótona.
Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em
Demonstração: Por hipótese sabemos que |
Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.
Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.
Por exemplo dado qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?
Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:
Pelo gráfico podemos ver que aparente ser majorada por
e é crescente, logo é monótona.
Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.
Proposição 22
Demonstração: Primeiro vamos mostrar que
Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli Continuando.
Em conclusão
Agora resta-nos mostrar que
Assim resta-nos provar que Como foi mostrado neste artigo podemos escrever
Escrevendo por extenso:
Sabemos que
Assim o que temos é:
Uma vez que
Sintetizando o que nós temos é
Assim
Para além disso também sabemos de |
Análise Matemática – Sucessões I
Para os leitores com inclinações mais matemáticas o facto de termos assumido a existência dos números reais e termos indicado quais são as propriedades que os definem pode não ser uma forma muito satisfatória de procedermos. No entanto, temos que nos lembrar que para os nossos propósitos, que são apresentar apresentar a análise real para alunos de Física e áreas afins, não precisamos de ter mais rigor.
Neste momento estamos preparados para iniciar o estudo da Análise Real propriamente dito. Como já foi dito iniciaremos o nosso estudo com sucessões. Esta escolha deve-se ao facto de ser mais fácil demonstrar alguns resultados usando sucessões, sendo que posteriormente generalizaremos esses resultados para as funções.
Definição 11 Uma sucessão,
|
Como exemplo de uma sucessão temos que está definida para todos números naturais maiores que
.
A sua representação gráfica é:
Definição 12 Diz-se que
|
Vamos usar um exemplo concreto: para o gráfico que mostrámos, podemos ver que toma valores cada vez menores e que pela sua definição
é sempre positiva. Assim podemos suspeitar que
.
Para a nossa asserção anterior ser matematicamente válida temos que mostrar que para todos os podemos de facto encontrar um número natural
para o qual
.
Normalmente é-nos útil olharmos para esta condição como sendo uma espécie de um jogo entre duas pessoas. Uma delas está constantemente a escolher valores de enquanto que a outra deve dizer a partir de que ordem
é que a distância entre
e
é menor do que o
escolhido.
Às tantas a pessoas que deve indicar a ordem está cansada de ter que responder de cada vez que um novo
é escolhido e decide encontrar uma expressão para
que depende de
. Se conseguir fazer isso então a sucessão
de facto tem o limite
e o jogo está ganho.
Definição 13 O contradomínio de |
Definição 14 Tendo em conta a definição 13 diz-se que:
|
Como exemplo de uma sucessão limitada (consequentemente é também majorada e minorada) temos .
Como exemplo de uma sucessão ilimitada temos
Vamos agora admitir que temos uma sucessão limitada . Isto é, existem dois números reais
e
tais que
.
Por definição é ou
. Uma vez que
e
podemos definir
e ficamos com
e
. Ou de uma forma equivalente
.
Assim se é limitada, existe
tal que
. Reciprocamente se
,
diz-se uma sucessão limitada.
Definição 15 Uma sucessão diz-se convergente quando tende para um limite finito. Uma sucessão diz-se divergente quando não é convergente. |
Teorema 13 Se
Demonstração: Demonstração omitida. |
No entanto, o recíproco deste teorema não é necessariamente uma afirmação verdadeira.
A título de exemplo temos que é uma sucessão limitada e não é uma sucessão convergente.
Em linguagem mais matemática dizemos que o facto de uma sucessão ser limitada não é uma condição suficiente para ser uma sucessão convergente.
— 3.1. Vizinhanças —
Vamos agora introduzir a noção de vizinhança de um ponto. Em termos leigos a vizinhança de um ponto é o conjunto de pontos que estão próximos uns dos outros.
Definição 16 Seja |
Como exemplo vamos aplicar a noção de vizinhança na definição de limite:
Assim sse
onde usamos a definição de vizinha e o cálculo anterior.