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Análise Matemática – Sucessões II

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Após termos introduzido a definição do que é uma vizinhança no artigo anterior vamos agora fazer mais uma definição que nos permitirá unificar mais alguns resultados.

Definição 17 O conjunto formado por { \{ -\infty \} \cup \mathbb{R} \cup \{\infty \}} é denominado de reta real estendida e o seu símbolo é { \overline{\mathbb{R}}}. Os elementos deste novo conjunto têm as seguintes propriedades:

  • { x\in\mathbb{R}\Rightarrow -\infty<x<\infty} e { -\infty<\infty}
  • { x+\infty=\infty} se { x\neq -\infty}
  • { x-\infty=-\infty} se { x\neq \infty}
  • { x\cdot(\pm\infty)=\pm\infty} se { x>0}
  • { x\cdot(\pm\infty)=\mp\infty} se { x<0}
  • { \dfrac{x}{\pm\infty}=0} se { x\neq\pm\infty}
  • { \displaystyle\left|\frac{x}{0}\right|=\infty} se { x\neq 0}

Após a introdução deste novo conjunto e os seus dois novos elementos podemos definir duas vizinhanças:

Definição 18

\displaystyle   V(+\infty,\delta)=\left\rbrack\dfrac{1}{\delta},+\infty\right\rbrack \ \ \ \ \ (42)

\displaystyle   V(-\infty,\delta)=\left\lbrack -\infty,-\dfrac{1}{\delta}\right\lbrack \ \ \ \ \ (43)

É muito importante que o leitor possa entender a razão de ser destas duas vizinhanças. Por experiência pessoal posso dizer que a primeira vez que olhei para elas fiquei baralhado e penso que a reacção dos meus colegas não foi muito diferente.

A noção de vizinhança de um número real é bastante simples de se entender. Essencialmente é o intervalo aberto e centrado num dado ponto.

Se queremos generalizar a noção de vizinhança para estes novos elementos { +\infty} e { -\infty} temos que perceber que não mais podemos ter intervalos centrados visto que estes dois números são os limites finais de { \overline{\mathbb{R}}}.

O que nós podemos e devemos manter é o facto de quanto maior o valor de { \delta} maior é o intervalo considerado. Mas com { 1/\delta} os rácios são cada vez menores se { \delta} aumentar. E é isso mesmo que nós queremos. Se { 1/\delta} toma valores que são cada vez menores a vizinhança fica cada vez mais próxima de {0}. Uma vez que nós começamos do {\infty} isso quer dizer que a nossa vizinhança é de facto maior!

A definição escolhida para a vizinhança de { -\infty} tem uma justificação análoga.

Vamos agora considerar uma sucessão { u_n}, que é minorada mas não é majorada. Ou seja temos { u_n \rightarrow +\infty} em { \overline{\mathbb{R}}}. Isto é equivalente ao seguinte:

{ \begin{aligned} \forall \delta > 0 \,\exists k \in \mathbb{N}: \, n\geq k \Rightarrow u_n > \dfrac{1}{\delta} &\Leftrightarrow u_n \in \left\rbrack \dfrac{1}{\delta}, +\infty\right\rbrack \\ &\Leftrightarrow u_n \in V(+\infty,\delta) \end{aligned}}

Podemos fazer uma dedução semelhante para for { u_n \rightarrow -\infty}. Assim podemos escrever com toda a generalidade:

Definição 19 Seja { a \in \overline{\mathbb{R}}}. Então é { \lim u_n=a} sse { \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}.

— 3.2. Limites e Desigualdades —

Teorema 14 Seja { u_n} e { v_n}. Vamos admitir que existe uma ordem { m} tal que { u_n \leq v_n \quad \forall n \geq m}. Se { \lim u_n} e { \lim v_n} existem, então { \lim u_n \leq \lim v_n}

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Após isto podemos perguntar se { u_n < v_n \Rightarrow \lim u_n < \lim v_n} também é um teorema. A resposta é negativa e um simples contra-exemplo é suficiente para o mostrar:

Por exemplo { \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} \quad \forall n\geq 1} e ainda assim { \lim \dfrac{1}{n+1}= \lim \dfrac{1}{n} = 0}.

Corolário 15 Seja { u_n} uma sucessão e { a \in \mathbb{R}}. Vamos também admitir que a partir de uma certa ordem se tem { u_n \leq a} ({ u_n \geq a}). Se { \lim u_n} existe, vem que { \lim u_n \leq a} ( { \lim u_n \geq a}).

Demonstração: Seja { v_n=a\, \forall n} no teorema 14 e o resultado segue trivialmente. \Box

Teorema 16

Seja { u_n} e { v_n} tais que { u_n \leq v_n \quad \forall n > m} para alguma ordem { m}. Então:

  • { u_n \rightarrow +\infty \Rightarrow v_n \rightarrow +\infty}
  • { v_n \rightarrow - \infty \Rightarrow u_n \rightarrow -\infty}

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 17 (Teorema da sucessão enquadrada) Seja { u_n}, { v_n}, and { w_n} tais que a partir de uma certa ordem { m} se tem { v_n \leq u_n \leq w_n}. Se { \lim v_n = \lim w_n}, o limite de { u_n} existe e é { \lim v_n = \lim u_n = \lim w_n}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Enquanto aplicação do Teorema 17 vamos olhar para o seguinte exemplo: { u_n=\dfrac{\sin n}{n}} onde queremos calcular o limite { \lim u_n}.

Ora

\displaystyle  -1\leq \sin n \leq 1 \Rightarrow -\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}

Sabemos que { \lim\left( -\dfrac{1}{n} \right)= \lim \dfrac{1}{n} = 0}, então:

\displaystyle  \lim \dfrac{\sin n}{n}=0

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3 comentários

  1. […] Seja o contradomínio de e . Pelo Teorema 17 no artigo Análise Matemática – Sucessões II existe uma sucessão de pontos em tal que […]

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