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Análise Matemática – Sucessões II

Após termos introduzido a definição do que é uma vizinhança no artigo anterior vamos agora fazer mais uma definição que nos permitirá unificar mais alguns resultados.

Definição 17 O conjunto formado por ${ \{ -\infty \} \cup \mathbb{R} \cup \{\infty \}}$ é denominado de reta real estendida e o seu símbolo é ${ \overline{\mathbb{R}}}$ . Os elementos deste novo conjunto têm as seguintes propriedades:

${ x\in\mathbb{R}\Rightarrow -\infty<x<\infty}$ e ${ -\infty<\infty}$
${ x+\infty=\infty}$ se ${ x\neq -\infty}$
${ x-\infty=-\infty}$ se ${ x\neq \infty}$
${ x\cdot(\pm\infty)=\pm\infty}$ se ${ x>0}$
${ x\cdot(\pm\infty)=\mp\infty}$ se ${ x<0}$
${ \dfrac{x}{\pm\infty}=0}$ se ${ x\neq\pm\infty}$
${ \displaystyle\left|\frac{x}{0}\right|=\infty}$ se ${ x\neq 0}$

Após a introdução deste novo conjunto e os seus dois novos elementos podemos definir duas vizinhanças:

Definição 18

$\displaystyle V(+\infty,\delta)=\left\rbrack\dfrac{1}{\delta},+\infty\right\rbrack \ \ \ \ \ (42)$

$\displaystyle V(-\infty,\delta)=\left\lbrack -\infty,-\dfrac{1}{\delta}\right\lbrack \ \ \ \ \ (43)$

É muito importante que o leitor possa entender a razão de ser destas duas vizinhanças. Por experiência pessoal posso dizer que a primeira vez que olhei para elas fiquei baralhado e penso que a reacção dos meus colegas não foi muito diferente.

A noção de vizinhança de um número real é bastante simples de se entender. Essencialmente é o intervalo aberto e centrado num dado ponto.

Se queremos generalizar a noção de vizinhança para estes novos elementos ${ +\infty}$ e ${ -\infty}$ temos que perceber que não mais podemos ter intervalos centrados visto que estes dois números são os limites finais de ${ \overline{\mathbb{R}}}$ .

O que nós podemos e devemos manter é o facto de quanto maior o valor de ${ \delta}$ maior é o intervalo considerado. Mas com ${ 1/\delta}$ os rácios são cada vez menores se ${ \delta}$ aumentar. E é isso mesmo que nós queremos. Se ${ 1/\delta}$ toma valores que são cada vez menores a vizinhança fica cada vez mais próxima de ${0}$ . Uma vez que nós começamos do ${\infty}$ isso quer dizer que a nossa vizinhança é de facto maior!

A definição escolhida para a vizinhança de ${ -\infty}$ tem uma justificação análoga.

Vamos agora considerar uma sucessão ${ u_n}$ , que é minorada mas não é majorada. Ou seja temos ${ u_n \rightarrow +\infty}$ em ${ \overline{\mathbb{R}}}$ . Isto é equivalente ao seguinte:

${ \begin{aligned} \forall \delta > 0 \,\exists k \in \mathbb{N}: \, n\geq k \Rightarrow u_n > \dfrac{1}{\delta} &\Leftrightarrow u_n \in \left\rbrack \dfrac{1}{\delta}, +\infty\right\rbrack \\ &\Leftrightarrow u_n \in V(+\infty,\delta) \end{aligned}}$

Podemos fazer uma dedução semelhante para for ${ u_n \rightarrow -\infty}$ . Assim podemos escrever com toda a generalidade:

Definição 19 Seja ${ a \in \overline{\mathbb{R}}}$ . Então é ${ \lim u_n=a}$ sse ${ \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}$ .

— 3.2. Limites e Desigualdades —

Teorema 14 Seja ${ u_n}$ e ${ v_n}$ . Vamos admitir que existe uma ordem ${ m}$ tal que ${ u_n \leq v_n \quad \forall n \geq m}$ . Se ${ \lim u_n}$ e ${ \lim v_n}$ existem, então ${ \lim u_n \leq \lim v_n}$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Após isto podemos perguntar se ${ u_n < v_n \Rightarrow \lim u_n < \lim v_n}$ também é um teorema. A resposta é negativa e um simples contra-exemplo é suficiente para o mostrar:

Por exemplo ${ \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} \quad \forall n\geq 1}$ e ainda assim ${ \lim \dfrac{1}{n+1}= \lim \dfrac{1}{n} = 0}$ .

Corolário 15 Seja ${ u_n}$ uma sucessão e ${ a \in \mathbb{R}}$ . Vamos também admitir que a partir de uma certa ordem se tem ${ u_n \leq a}$ ( ${ u_n \geq a}$ ). Se ${ \lim u_n}$ existe, vem que ${ \lim u_n \leq a}$ ( ${ \lim u_n \geq a}$ ).

Demonstração: Seja ${ v_n=a\, \forall n}$ no teorema 14 e o resultado segue trivialmente. $\Box$

Teorema 16

Seja ${ u_n}$ e ${ v_n}$ tais que ${ u_n \leq v_n \quad \forall n > m}$ para alguma ordem ${ m}$ . Então:

${ u_n \rightarrow +\infty \Rightarrow v_n \rightarrow +\infty}$
${ v_n \rightarrow - \infty \Rightarrow u_n \rightarrow -\infty}$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Teorema 17 (Teorema da sucessão enquadrada) Seja ${ u_n}$ , ${ v_n}$ , and ${ w_n}$ tais que a partir de uma certa ordem ${ m}$ se tem ${ v_n \leq u_n \leq w_n}$ . Se ${ \lim v_n = \lim w_n}$ , o limite de ${ u_n}$ existe e é ${ \lim v_n = \lim u_n = \lim w_n}$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Enquanto aplicação do Teorema 17 vamos olhar para o seguinte exemplo: ${ u_n=\dfrac{\sin n}{n}}$ onde queremos calcular o limite ${ \lim u_n}$ .