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Análise Matemática – Sucessões IV

Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.

— 3.3. Relações entre Sucessões —

Definição 20 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões. Vamos admitir a existência de uma sucessão { h_n} tal que { u_n = h_n v_n}.

Se { \lim h_n=1} dizemos que { u_n} é assimptoticamente igual a { v_n} e escrevemos { u_n \sim v_n}. Se { v_n \neq 0} podemos escrever { h_n = \dfrac{u_n}{v_n}}.

Como exemplo vamos considerar a sucessão { u_n=3n^2-5n+1}. É fácil ver que neste caso temos { u_n \sim 3n^2}.

Podemos então escrever { 3n^2-5n+1=3n^2\left(1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}.

Neste caso é { h_n=1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}} e temos { \lim h_n = \lim \left( 1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2} \right) = 1}.

Teorema 23 Consideremos as sucessões { a_n}, { b_n}, { c_n}, e { d_n}.

  • Se { a_n \sim b_n} e { \lim a_n = a} também temos { \lim b_n = a}
  • Se { a_n \sim c_n} e { b_n \sim d_n} então { a_n b_n \sim c_n d_n} e { \dfrac{a_n}{b_n} \sim \dfrac{c_n}{d_n}}.

Demonstração: Por definição de { a_n \sim b_n} é { a_n=h_n b_n}. Aplicando limites a ambos os lados da equação anterior vem { \lim a_n =\lim (h_n b_n)= \lim h_n \lim b_n= 1\cdot \lim b_n} onde { \lim h_n = 1} por hipótese. Então temos { \lim b_n =\lim a_n=a}.

Vamos escrever { a_n= h_n c_n} e { b_n= t_n d_n} com { \lim h_n = \lim t_n = 1}. Então { a_n b_n = h_n t_n c_n d_n} e aplicando limites { \lim ( a_n b_n )= \lim (h_n t_n)\lim ( c_n d_n )} com { \lim (h_n t_n)= \lim h_n \lim t_n=1\times 1 =1}. Então { \lim ( a_n b_n )= \lim ( c_n d_n )} como pretendido.

A parte do enunciado referente à divisão prova-se de uma forma semelhante. \Box

Definição 21 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões e vamos supor que { u_n= h_n v_n} para uma sucessão { h_n}:

  • Se { \lim h_n = 0} dizemos que { u_n} é desprezável relativamente a { v_n} e escrevemos { u_n = o(v_n)}.
  • Se { h_n} é limitada dizemos que { u_n} é dominada por { v_n} e escrevemos { u_n = O(v_n)}.

Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:

A notação { u_n \sim v_n} expressa o facto que a diferença entre { u_n} e { v_n} tende para { 0\,} à medida que { n \rightarrow \infty}. Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos

A notação { u_n = O(v_n)} expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em {\infty}. A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.

A notação { u_n = o(v_n)} diz-nos que { u_n} toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com { v_n} à medida que nos aproximamos de { \infty}. De uma maneira mais formal: se { v_n \neq 0 \, \lim \dfrac{u_n}{v_n}=0}

Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:

\displaystyle \dfrac{1}{n^3}=o \left(\dfrac{1}{n}\right)

Escrevemos { \dfrac{1}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}\dfrac{1}{n}}. Definindo { h_n = \dfrac{1}{n^2}} vemos que é efectivamente { \lim h_n=0}

\displaystyle \dfrac{\sin n}{n}=O\left(\dfrac{1}{n}\right)

Neste caso escrevemos { \dfrac{\sin n}{n}=\sin n \dfrac{1}{n}} com { h_n=\sin n}. Uma vez que { \sin n} é limitada obtemos o resultado pretendido.

— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —

Definição 22 Diz-se que { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n} se { \alpha_n} é uma sucessão que tende para { \infty}.

De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, { u_{\alpha_n}}, de { u_n} é uma sucessão que omite alguns dos termos de { u_n}.

Como exemplo de subsucessões temos { u_{2n}} (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e { u_{n^2}} (onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).

Teorema 24 Se uma sucessão tem um limite então todas as suas subsucessões têm o mesmo limite.

Demonstração: Por hipótese { u_n \rightarrow a \in \overline{\mathbb{R}}}. Seja { u_{\alpha_n}} uma subsucessão de { u_n}.

Se { u_n} converge sabemos que { \forall \delta > 0\, \exists l \in \mathbb{N}: \; n \geq l \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}.

Uma vez que { \alpha_n \rightarrow \infty \quad \exists k \in \mathbb{N}: \; n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} > l}.

Assim { n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} \in V(a,\delta)}.

Por definição isto é { \lim u_{\alpha_n}=a} \Box

Já vimos que { u_n = \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n} é uma sucessão convergente, então, ainda que { v_n = \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que { \lim \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n = \lim \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} visto que { v_n=u_{n^2}} e assim { v_n} é uma subsucessão de uma sucessão convergente.

Corolário 25 Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites distintos, então a sucessão é divergente.

Demonstração: Segue directamente de { p\Rightarrow q \Leftrightarrow \left( \sim q \Rightarrow \sim p \right)}.

Ou seja este corolário é o contra-recíproco do Teorema 24 e como tal é também uma proposição verdadeira. \Box

Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar { u_n = (-1)^n}.

{ u_{2n}= (-1)^{2n}=1} e é {\lim u_{2n}=1}.

{ u_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1} e é { \lim u_{2n+1}=-1}.

Concluímos então que { u_n=(-1)^n} é uma sucessão divergente.

Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração.

Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente. \Box

Definição 23 Seja { X \subset \mathbb{R}}. Dizemos que { X} é um intervalo compacto se for fechado e limitado.
Corolário 27 Seja { X} um intervalo compacto e { u_n : \mathbb{N} \rightarrow X}. Então { \exists \, u_{\alpha_n}: \quad \lim u_{\alpha_n}=x \in X} onde { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n}.

Demonstração: Seja { X= \lbrack a, b \rbrack} um intervalo compacto e { u_n} uma sucessão de pontos em { X}. Uma vez que { a \leq u_n \leq b}, { u_n} é limitada. Do Teorema 26 vem que { u_n} tem uma subsucessão convergente: { u_{\alpha_n}}.

Para { u_{\alpha_n}} também é { a \leq u_{\alpha_n} \leq b}. Isto implica { \lim a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq \lim b \Rightarrow a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq b\Rightarrow \lim u_{\alpha_n} \in X} \Box

Análise Matemática – Sucessões III

Teorema 18 Seja { E \subset \mathbb{R}}e { s=\sup E}. Então existe uma sucessão { u_n} com termos em { E} tal que { \lim u_n=s}.

Também podemos formular um teorema análogo para { i=\inf E}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 19 Dada as sucessões { u_n} e { v_n} é:

  1. { \lim u_n = a \in \mathbb{R}\Rightarrow \lim |u_n|=|a|}
  2. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} e { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { lim (u_n+v_n)=a+b}
  3. { \lim u_n=+\infty} e { v_n} minorada, então { \lim (u_n+v_n)=+\infty}
  4. { \lim u_n=-\infty} e { v_n} majorada, então { \lim (u_n+v_n)=-\infty}
  5. { \lim u_n=0} e { v_n} limitada, então { \lim (u_n v_n)=0}
  6. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} and { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { \lim u_n v_n = ab}
  7. { \lim |u_n|=+\infty} e { \lim v_n=a \neq 0}, então { \lim |u_n v_n|= +\infty}
  8. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \Rightarrow lim \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{a}}
  9. { \lim |u_n|=+\infty \Rightarrow \lim \dfrac{1}{u_n}=0}
  10. { \lim u_n=0 \Rightarrow \lim \dfrac{1}{|u_n|}=+\infty}

Demonstração: Só vamos demonstrar a propriedade 2 do teorema sendo que as restantes ficam como um exercício para o leitor

Seja { \delta > 0}. Então:

{\begin{aligned} |(u_n+v_n)-(a+b)| &= |(u_n - a)+(v_n - b)| \\ &\leq |u_n - a|+ |v_n - b| \end{aligned}}

Vamos denotar a relação anterior por 1 .

Também temos:

\displaystyle  u_n \rightarrow a\Leftrightarrow \exists k_1 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_1 \Rightarrow |u_n - a| \leq \dfrac{\delta}{2}

\displaystyle  v_n \rightarrow b \Leftrightarrow \exists k_2 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_2 \Rightarrow |v_n - b| \leq \dfrac{\delta}{2}

Seja { k=\mathrm{max}\{k_1,k_2\}} de modo a que ambas as condições anteriores sejam satisfeitas. Então { \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow |u_n - a|+|v_n - b|<\delta}.

Voltando a 1 fica:

\displaystyle  |u_n - a|+|v_n - b| < \delta

Consequentemente

\displaystyle  n \geq k \Rightarrow |(u_n + v_n)-(a+b)| < \delta

Isto é equivalente a

\displaystyle  \lim (u_n + v_n) =a+b

que é o resultado pretendido. \Box

Caso esteja a inquirir porque usámos { \dfrac{\delta}{2}} nas condições dos limites, tanto para { u_n} como para { v_n}, ao invés de utilizarmos { \delta} isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo { \dfrac{\delta}{2}}.

Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.

Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação { k-\delta} e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.

Teorema 20 (Convergência da Sucessão Monótona) Seja { u_n} uma sucessão monótona em { \overline{\mathbb{R}}}. Então { u_n} é uma sucessão convergente em { \overline{\mathbb{R}}}:

  • { \lim u_n = \mathrm{sup}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} crescente.
  • { \lim u_n = \mathrm{inf}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} decrescente.

Demonstração: Vamos somente demonstrar o resultado para o caso em que {u_n} é uma sucessão monótona crescente.

Dada uma sucessão monótona { u_n} temos, { E=\{ u_n:\, n\geq p \}} e { s=\sup E}.

Vamos admitir que { s \in \mathbb{R}} (sucessão majorada). Dado { \delta > 0} é possível mostrar que { x \in E} tal que { s-\delta < x\leq s}.

Pela definição de { E} sabemos que { x=u_k}, para um certo { k}. Assim { \exists k \in \mathbb{N}:\, s-\delta < u_k \leq s}.

Uma vez que { u_n} é uma sucessão monótona { n \geq k \Rightarrow u_n > s-\delta}. Mas uma vez que { u_n \in E} também temos { u_n \leq s}.

Logo { n\geq k \Rightarrow s-\delta < u_n\leq s \Rightarrow u_n \in \rbrack s-\delta, s \rbrack \Rightarrow |u_n - s| < \delta}. Pela de definição de limite é { \lim u_n = s}.

Vamos agora supor que { s=+\infty}. Neste caso também podemos provar que dado { L > 0\, \exists x \in E: \, x > L}. Relembrando que é { x=u_k} temos { \exists k \in \mathbb{N}: \, u_k > L}. Uma vez { u_k} é uma sucessão crescente temos { n\geq k \Rightarrow u_n \geq u_k > L} e isto é equivalente a { u_n \rightarrow +\infty}. \Box

Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em { \overline{\mathbb{R}}} são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão { u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}} que tende para {0} ainda que não seja monótona.

Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Por hipótese sabemos que { \exists a,b \in \mathbb{R}: \, a\leq u_n \leq b}. Pelo Teorema 20 sabemos que { u_n } tem limite em { \overline{\mathbb{R}}}. Pelo Corolário 15 vem que { a \leq \lim u_n \leq b}. Assim { u_n \rightarrow c \in \mathbb{R}} onde { c \in \lbrack a, b \rbrack}. \Box

Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.

Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.

Por exemplo dado { u_n = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?

Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:

Pelo gráfico podemos ver que { u_n} aparente ser majorada por { 3} e é crescente, logo é monótona.

Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.

Proposição 22 { u_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} é uma sucessão convergente.

Demonstração: Primeiro vamos mostrar que { u_n } é crescente. Para o fazer vamos calcular { u_{n+1}/u_n}.

{\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&= \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} \\ &=\dfrac{\left (\dfrac{n+2}{n+1} \right )^{n+1}}{\left ( \dfrac{n+1}{n} \right )^n} \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n+2}{n+1}/\dfrac{n+1}{n} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1} \left( \dfrac{n^2+2n+1-1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )^n \end{aligned}}

Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli { (1+x)^r \geq 1+rx\, \forall r \in \mathbb{Z}} e { \forall x: \, x \geq -1}. Esta desigualdade será demonstrada num artigo futuro usando a indução matemática.

Continuando.

{\begin{aligned} \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^2} \right )^n &\geq \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2} \right ) \\ &= \left ( 1+\dfrac{1}{n+1}\right )\left ( 1-\dfrac{n}{\left(n+1\right)^2}\right ) \\ &= 1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1-\dfrac{-n(n+1)+(n+1)^2-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{-n^2-n+n^2+2n+1-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^3} \\ &\geq 1 \end{aligned}}

Em conclusão { \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n} e { u_n } é monótona.

Agora resta-nos mostrar que { u_n} é limitada e terminamos a nossa demonstração que {u_n} é convergente.

{ u_1=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1=2}. Umja vez que {u_n} é crescente vem que { u_n \geq 2}.

Assim resta-nos provar que { u_n} é majorada para podermos concluir que é limitada.

Como foi mostrado neste artigo podemos escrever

{ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n}}.

Escrevendo por extenso:

{\begin{aligned} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+\dbinom{n}{1}\dfrac{1}{n}+\dbinom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+\cdots +\dbinom{n}{n}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} \end{aligned}}

Sabemos que { \dfrac{n(n-1)\ldots (n-(k-1))}{2!}\dfrac{1}{n^k}<1} e que { \dfrac{1}{k!}<\dfrac{1}{2^{k-1}}}. Usando estas duas desigualdades, por essa ordem respectiva:

{ \begin{aligned} 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} &< 1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!} \\ &< 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}} \end{aligned} }

Assim o que temos é: { \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n<\displaystyle 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\left( \dfrac{1}{2} \right)^n}.

Uma vez que { \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}r^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}} segue

{\begin{aligned} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n &< 1+\dfrac{1-1/2^n}{1-1/2} \\ &= 1+\dfrac{1-1/2^n}{1/2} \\ &= 1+2-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &= 3-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &\leq 3 \end{aligned}}

Sintetizando o que nós temos é

\displaystyle  2\leq \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n \leq 3

Assim { u_n} é monótona e limitada. O que nos leva a concluir que { u_n} é convergente.

Para além disso também sabemos de { u_n \leq 3} que { \lim u_n \leq 3}. Tal não nos permite saber com exactidão qual é o valor do limite, mas é já alguma informação. \Box

Análise Matemática – Sucessões I

Para os leitores com inclinações mais matemáticas o facto de termos assumido a existência dos números reais e termos indicado quais são as propriedades que os definem pode não ser uma forma muito satisfatória de procedermos. No entanto, temos que nos lembrar que para os nossos propósitos, que são apresentar apresentar a análise real para alunos de Física e áreas afins, não precisamos de ter mais rigor.

Neste momento estamos preparados para iniciar o estudo da Análise Real propriamente dito. Como já foi dito iniciaremos o nosso estudo com sucessões. Esta escolha deve-se ao facto de ser mais fácil demonstrar alguns resultados usando sucessões, sendo que posteriormente generalizaremos esses resultados para as funções.

Definição 11 Uma sucessão, { u_n }, é uma função que aplica o domínio { \mathbb{N} }, ou um subconjunto, em { \mathbb{R} }. Simbolicamente

\displaystyle   u_n:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \ \ \ \ (39)

Como exemplo de uma sucessão temos { u_n=\displaystyle\frac{1}{n}} que está definida para todos números naturais maiores que { 0 }.

A sua representação gráfica é:

Definição 12 Diz-se que { u_n} tem como limite { a\in\mathbb{R}}, e representamos por { u_n \rightarrow a \in \mathbb{R}} ou { \lim u_n = a \in \mathbb{R}}, se, para cada { \delta > 0} existe um número natural { k}, a partir do qual a distância entre { u_n} e { a} é menor que { \delta}.

\displaystyle   \forall \delta > 0 \;\exists k \in \mathbb{N}:\; n\geq k \Rightarrow |u_n - a| < \delta \ \ \ \ \ (40)

Vamos usar um exemplo concreto: para o gráfico que mostrámos, podemos ver que { u_n } toma valores cada vez menores e que pela sua definição { u_n} é sempre positiva. Assim podemos suspeitar que { u_n=\displaystyle\frac{1}{n} \rightarrow 0}.

Para a nossa asserção anterior ser matematicamente válida temos que mostrar que para todos os { \delta > 0} podemos de facto encontrar um número natural { k} para o qual { n > k \Rightarrow |u_n-0| < \delta}.

Normalmente é-nos útil olharmos para esta condição como sendo uma espécie de um jogo entre duas pessoas. Uma delas está constantemente a escolher valores de {\delta} enquanto que a outra deve dizer a partir de que ordem {k} é que a distância entre {u_n} e {a} é menor do que o {\delta} escolhido.

Às tantas a pessoas que deve indicar a ordem {k} está cansada de ter que responder de cada vez que um novo {\delta} é escolhido e decide encontrar uma expressão para {k} que depende de {\delta}. Se conseguir fazer isso então a sucessão {u_n} de facto tem o limite {a} e o jogo está ganho.

Definição 13 O contradomínio de { u_n} é o conjunto { \{u_n:n \geq p\}} (conjunto de termos da sucessão).

Definição 14 Tendo em conta a definição 13 diz-se que:

  • uma sucessão {u_n} é majorada se o conjunto dos termos da sucessão é majorado.
  • uma sucessão {u_n} é minorada se o conjunto dos termos da sucessão é minorada.
  • uma sucessão {u_n} é limitada se o conjunto dos termos da sucessão é limitado.
  • uma sucessão {u_n} é ilimitada se o conjunto dos termos da sucessão é ilimitado.

Como exemplo de uma sucessão limitada (consequentemente é também majorada e minorada) temos { u_n=(-1)^n}.

Como exemplo de uma sucessão ilimitada temos { u_n=n}

Vamos agora admitir que temos uma sucessão limitada { u_n}. Isto é, existem dois números reais { a} e { b} tais que { a \leq u_n \leq b \quad \forall n}.

Por definição é { |u_n|=u_n} ou { |u_n|=-u_n}. Uma vez que { u_n \leq b} e { -u_n \leq -a} podemos definir { \alpha=\text{max}\{b,-a \}} e ficamos com { u_n\leq \alpha} e { -u_n \leq \alpha}. Ou de uma forma equivalente { |u_n| \leq \alpha}.

Assim se { u_n} é limitada, existe { \alpha > 0} tal que { |u_n| \leq \alpha\quad \forall n}. Reciprocamente se { -\alpha\leq u_n \leq \alpha}, { u_n} diz-se uma sucessão limitada.

Definição 15 Uma sucessão diz-se convergente quando tende para um limite finito. Uma sucessão diz-se divergente quando não é convergente.

Teorema 13 Se { u_n} é convergente então é limitada.

\displaystyle   \exists a \in \mathbb{R}: \lim u_n=a \Rightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}:\,|u_n| \leq \alpha \ \ \ \ \ (41)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

No entanto, o recíproco deste teorema não é necessariamente uma afirmação verdadeira.

A título de exemplo temos { u_n = (-1)^n } que é uma sucessão limitada e não é uma sucessão convergente.

Em linguagem mais matemática dizemos que o facto de uma sucessão ser limitada não é uma condição suficiente para ser uma sucessão convergente.

— 3.1. Vizinhanças —

Vamos agora introduzir a noção de vizinhança de um ponto. Em termos leigos a vizinhança de um ponto é o conjunto de pontos que estão próximos uns dos outros.

Definição 16 Seja { a \in \mathbb{R}} e { \delta > 0}. A vizinhança de { a} de raio { \delta} é o conjunto de pontos em { \rbrack a- \delta, a+ \delta \lbrack} e é representada por { V(a, \delta)}.

Como exemplo vamos aplicar a noção de vizinhança na definição de limite:

{ \begin{aligned} |u_n-a| < \delta &\Leftrightarrow a-\delta < u_n < a + \delta \\ &\Leftrightarrow u_n \in \rbrack a-\delta,a+ \delta \lbrack \\ &\Leftrightarrow u_n \in V(a,\delta) \end{aligned}}

Assim { \lim u_n=a} sse { \forall \delta > 0\, \exists k \in \mathbb{N}:\, n\geq k \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)} onde usamos a definição de vizinha e o cálculo anterior.

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