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Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística

align=”center”> — 22. Revisão de Probabilidade e Estatística —

— 22.1. Probabilidade —

No final do artigo anterior vimos o papel fundamental que os conceitos de probabilidades e estatística têm na construção e interpretação da Mecânica Quântica. Uma vez que estes conceitos têm um papel tão fundamental em Mecânica Quântica é então necessário fazer uma breve revisão para que possamos melhor entender e manejar ateoria que vamos construir.

— 22.1.1. Variáveis discretas —

Vamos imaginar que temos uma sala de aulas com o seguinte conjunto de alunos:

uma pessoas de 14 anos de idade
uma pessoa com 15 anos de idade
3 pessoas com 16 anos de idade
2 pessoas com 22 anos de idade
5 pessoas com 25 anos de idade

(e por favor não nos perguntem porque encontramos pessoas com idades tão díspares na mesma sala de aulas)

Seja ${ {N(j)}}$ o número de pessoas com idade ${ {j}}$ . Então

${ {N(14)=1}}$
${ {N(15)=1}}$
${ {N(16)=3}}$
${ {N(22)=2}}$
${ {N(25)=5}}$

Adoptando a definição anterior podemos calcular o número total de alunos na sala de aula através da seguinte expressão:

$\displaystyle N=\sum_{j=0}^{\infty}N(j) \ \ \ \ \ (27)$

Podemos representar os dados anterior com recurso a um histograma

Adoptando uma definição frequencista do conceito de probabilidade podemos fazer as seguintes definições:

Definição 8 A probabilidade de um evento ${ {j}}$ , ${ {P(j)}}$ é proporcional ao número de elementos que têm a propriedade ${ {j}}$ e inversamente proporcional ao número de elementos ( ${ {N}}$ ) sob estudo.

$\displaystyle P(j)=\frac{N(j)}{N} \ \ \ \ \ (28)$

É fácil ver que a partir das equações 28 e 27 vem que

$\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}P(j)=1 \ \ \ \ \ (29)$

Após definirmos ${ {P(j)}}$ podemos também definir o valor mais provável para ${ {j}}$ .

Definição 9 O valor mais provável de ${j}$ é aquele para o qual ${P(j)}$ tem um máximo.

Definição 10 o valor médio de ${j}$ , representado por , é

$\displaystyle <j>=\sum_{j=0}^{\infty}jP(j) \ \ \ \ \ (30)$

Caso estejamos interessados em calcular o valor médio de ${ {j^2}}$ a expressão apropriada é

$\displaystyle <j^2>=\sum_{j=0}^{\infty}j^2P(j)$

Podemos escrever com toda a generalidade que o valor médio para uma função de ${ {j}}$ , denotada por ${ {f(j)}}$ é dado por

$\displaystyle <f(j)>=\sum_{j=0}^{\infty}f(j)P(j) \ \ \ \ \ (31)$

De modo a avançarmos no nosso estudo da probabilidades temos agora que introduzir algumas definições que se debruçam sobre questões de simetria das distribuições de probabilidades

Definição 11 A mediana é o valor de ${j}$ para o qual a probabilidade de ter um valor maior que ${j}$ é o mesma que a probabilidade de ter um valor menor que ${j}$ .

Vimos então uma definição que discorre sobre a simetria de uma distribuição. Temos então que introduzir uma nova definição que nos dá indicações sobre a forma de uma distribuição.

Mas antes vamos olhar para dois exemplos que servirão como motivação:

e

Como podemos ver ambos os histogramas têm a mesma mediana, a mesma média, o mesmo valor mais provável e o mesmo número de elementos. Não obstante é visualmente óbvios que os histogramas representam dois tipos diferentes de fenómenos.

O primeiro histograma representa um fenómeno onde os valores disponíveis apresentam uma forte concentração em torno do valor central.

O segundo histograma representa por outro lado uma fenómeno com uma distribuição mais alargada.

A existência desta diferença em duas distribuições que de outro modo seriam iguais indica-nos a necessidade de introduzirmos uma definição que sirva para medir o espalhamento de uma distribuição.

Uma primeira ideia seria utilizarmos a diferença relativamente à média para cada valor individual:

$\displaystyle \Delta j=j-<j>$

Tal abordagem não iria funcionar uma vez que para distribuições aleatórias estaríamos a espera de encontrar valores igualmente positivos para ${ {\Delta j}}$ e como tal uma medida global seria sempre ${0}$ ou muito próxima de ${0}$ .

Uma maneira de evitarmos este problema seria utilizarmos ${ {|\Delta j|}}$ e embora este abordagem funcione tem a desvantagem de estarmos a utilizar uma função que não é diferenciável.

Se utilizarmos o quadrado dos desvios na nossa definição conseguimos evitar estes dois problemas.

Definição 12 A variância de uma distribuição (assumindo que a distribuição tem um valor médio), ${ {\sigma ^2}}$ , é dada pela expressão

$\displaystyle \sigma ^2=<(\Delta j)^2> \ \ \ \ \ (32)$

Definição 13 O desvio padrão, ${ {\sigma}}$ , de uma distribuição é dado pela raíz quadrada da sua variância.

Para a variância temos também a seguinte expressão

$\displaystyle \sigma ^2=<j^2>-<j>^2 \ \ \ \ \ (33)$

Uma vez que pela definição 12 a variância é sempre não-negativa é válido

$\displaystyle <j^2> \geq <j>^2 \ \ \ \ \ (34)$

Onde a igualdade é válida quando a distribuição é composta por eventos que têm sempre o mesmo valor.

— 22.1.2. Variáveis contínuas —

Até agora assumimos sempre que as variáveis que estamos a estudar assumem somente valores discretos. Para generalizarmos as nossas definições e resultados para o caso contínuo temos somente que ter em atenção que as probabilidades para eventos individuais assumem sempre valores nulos e como tal só faz sentido falarmos de probabilidades para intervalos.

Com isso em mente e assumindo que estamos a lidar com distribuições suficientemente bem comportadas sabemos que a probabilidade de um evento estar entre ${ {x}}$ e ${ {x+dx}}$ é