Teorema 60 {Diferenciabilidade da função composta} Seja , , e . Se é diferenciável em e é diferenciável em , então é diferenciável em e é Usando a notação de Leibniz podemos escrever o teorema da seguinte maneira Que é uma forma bastante mais sugestiva de escrever o teorema anterior pois parece sugerir que podemos cortar os termos . Demonstração: Seja . Uma vez que é diferenciável em pelo teorema 57 vem com contínua em . Tomando e vem que Assim Uma vez que é diferenciável em sabemos, pelo corolário 59, que também é contínua em . Assim também é contínua em (pelo teorema 43). Assim Tomando o limite na equação 61 vem Que é equivalente a

Como aplicação do teorema 60 vamos estudar alguns exemplos simples:

1. 

   Ora . Tomemos . Assim

   

   Temos então

   

2. Seja e . Calcule .

   

   Que é uma generalização para a regra da derivada da potência de expoentes inteiros.

   Assim

   

3. 

   Tal como no primeiro exemplo temos a seguinte estrutura que pretendemos derivar: onde e .

   Assim

   

   Assim para vem

   

Em particular podemos calcular

Uma vez que sempre que temos sempre

Teorema 61 {Diferenciabilidade da função inversa} Seja , injectiva e . Se é diferenciável em é contínua então é diferenciável e é Na notação de Leibniz é , e a diferenciabilidade da função inversa expressa-se do seguinte modo Demonstração: Omitida.

Tal como no teorema 60 vamos agora analisar um caso de interesse.

Seja e , então podemos definir .

Ora

• é diferenciável
• em
• é contínua em é contínua

Então

Finalmente

Escrevendo de uma maneira mais normal

Em geral podemos ainda definir derivadas de ordem superior através de uma definição recursiva.

Vamos denotar a derivada de ordem de por . Em primeiro lugar dizemos que . Agora para é

Ou seja:

• 
• 
• 
• …
• 

Dado a exposição anterior faz sentido introduzir a seguinte definição:

Definição 43 Uma função diz-se vezes diferenciável em se existe para todas as ordens até e são finitas.

Já sabemos que uma função diferenciável é contínua mas será que a derivada de uma função diferenciável também é contínua?

A resposta a esta questão é um não e vamos apresentar o seguinte (contra)exemplo como evidência:

É fácil ver que é diferenciável em

Mas não é contínua em . Fica como um exercício para o leitor calcular e .

Aparentemente a derivada de uma função ou é contínua ou é fortemente descontínua.

Continuando a nossa exposição vemos que faz sentido introduzirmos uma definição que caracteriza as funções de acordo com as propriedades das suas funções derivadas.

Definição 44 Uma função diz-se ser de classe se é vezes diferenciável e é contínua.

É fácil ver que uma função de classe também é uma função de classe .

Uma função diz-se ser de classe se tem derivadas finitas de todas as ordens (que são necessariamente contínuas).

Se são vezes diferenciáveis em então , , também são vezes diferenciáveis em .

Definição 45 Seja , e . é um máximo relativo de se

Definição 46 Seja , e . é um mínimo relativo de se

Teorema 62 {Teorema do extremo interior} Seja e um ponto interior de . Se tem um extremo relativo em e existe, então Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que tem um máximo relativo em . Uma vez que é um ponto interior de e existe, e existem e são iguais. Por definição é Por hipótese temos Assim Pelo corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) vem Da mesma forma Assim Uma vez que temos que ter e consequentemente .

Teorema 63 {Teorema de Rolle} Seja e contínua tal que . Se é diferenciável em e então existe um ponto tal que . Demonstração: Uma vez que é contínua no intervalo compacto sabemos que tem um máximo e um mínimo em (teorema 55 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VII ). Se para é um máximo ou um mínimo, então pelo teorema 62 . Seja agora o mínimo e o máximo. Vamos analisar o caso em que a função toma valores extremos ocorrem nas extremidades dos intervalos. Uma vez que por hipótese é então . Neste caso é constante e é trivial que .

Corolário 64 Seja , contínua tal que . Se é diferenciável no interior de e não se anula no interior de , então não tem mais que uma raíz em . Demonstração: Usando o método de redução ao absurdo vamos assumir que tem duas raízes em ( e ). Aplicando o teorema 63 em (uma vez que ) existe em tal que . Assim anula-se no interior de o que é contrário à nossa hipótese.