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Análise Matemática – Cálculo Diferencial II

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Teorema 60 {Diferenciabilidade da função composta} Seja { {D, E \in C}}, { {g:D\rightarrow E}}, { {f:E\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. Se { {g}} é diferenciável em { {c}} e { {f}} é diferenciável em { {g(c)}}, então { {f\circ g}} é diferenciável em { {c}} e é

\displaystyle   (f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(t) \quad\mathrm{com}\quad t=g(x) \ \ \ \ \ (58)

\displaystyle   f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(g(x)) \ \ \ \ \ (59)

Usando a notação de Leibniz podemos escrever o teorema da seguinte maneira

\displaystyle   \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \ \ \ \ \ (60)

Que é uma forma bastante mais sugestiva de escrever o teorema anterior pois parece sugerir que podemos cortar os termos {dt}.

Demonstração: Seja { {a=g(c)}}. Uma vez que { {f}} é diferenciável em { {a}} pelo teorema 57 vem

\displaystyle f(t)=f(a)+(f'(a)+\varphi (t)(t-a)\quad \forall t \in E

com { {\varphi}} contínua em { {a}}.

Tomando { {g(x)=t}} e { {g(c)=a}} vem que

\displaystyle  f(g(x))=f(g(c))+f'(g(c))+\varphi(g(x))(g(x)-g(c))\quad\forall x \in D

Assim

\displaystyle   \frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=(f'(g(c))+\varphi(g(x)))\frac{g(x)-g(c)}{x-c } \ \ \ \ \ (61)

Uma vez que { {g}} é diferenciável em { {c}} sabemos, pelo corolário 59, que {g} também é contínua em { {c}}. Assim { {\varphi (g(x))}} também é contínua em { {c}} (pelo teorema 43).

Assim

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow c}\varphi(g(x))=\varphi (g(c))=\varphi(a)=0

Tomando o limite { {x\rightarrow c}} na equação 61 vem

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=f'(g(c))

Que é equivalente a

\displaystyle  (f \circ g)'(c)=f'(g(c)g'(c)

\Box

Como aplicação do teorema 60 vamos estudar alguns exemplos simples:

  1. { {\left( e^{g(x)} \right)'=?}}

    Ora { {e^{g(x)}=f(g(x))}}. Tomemos { {t=g(x)}}. Assim

    { {\begin{aligned} \left( e^{g(x)} \right)' &= \left(e^t\right)'g'(x)\\ &= e^t g'(x)\\ &= e^{g(x)}g'(x) \end{aligned}}}

    Temos então

    { \displaystyle \left( e^{g(x)} \right)'=g'(x) e^{g(x)})}

  2. Seja { {\alpha\in\mathbb{R}}} e { {x>0}}. Calcule { {\left( x^\alpha \right)'}}.

    { {\begin{aligned} \left( x^\alpha\right)'&=\left( e^{\alpha\log x}\right)'\\ &=(\alpha\log x)'e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}x^\alpha\\ &=\alpha x^{\alpha -1} \end{aligned}}}

    Que é uma generalização para a regra da derivada da potência de expoentes inteiros.

    Assim

    \displaystyle  \left( x^\alpha\right)'= \alpha x^{\alpha -1}\quad \forall\alpha\in\mathbb{R},\forall x>0

  3. { {(\log g(x))'=?}}

    Tal como no primeiro exemplo temos a seguinte estrutura que pretendemos derivar: { {\log g(x)=f(g(x))}} onde { {f(t)=\log t}} e { {t=g(x)}}.

    Assim

    { {\begin{aligned} (\log g(x))'&=(\log t)'g'(x)\\ &= \dfrac{1}{t}g'(x)\\ &=\dfrac{g'(x)}{g(x)} \end{aligned}}}

    Assim para { {g(x)>0}} vem

    \displaystyle  (\log g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)}

Em particular podemos calcular { {(\log |x|)'}}

{ \displaystyle (\log |x|)'=\frac{|x|'}{|x|}=\begin{cases} \dfrac{1}{|x|}\quad x>0\\-\dfrac{1}{|x|}\quad x<0 \end{cases} }

Uma vez que { {-|x|=x}} sempre que { {x<0}} temos sempre

\displaystyle  (\log |x|)'=\frac{1}{x}\quad\forall x\neq 0

Teorema 61 {Diferenciabilidade da função inversa} Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} injectiva e { {c\in D\cap D'}}. Se

  • { {f}} é diferenciável em { {c}}
  • { {f'(c)\neq 0}}
  • { {f^{-1}}} é contínua

então { {f^{-1}}} é diferenciável e é

\displaystyle   \left( f^{-1} \right)'(f(c))=\frac{1}{f(c)} \ \ \ \ \ (62)

Na notação de Leibniz é { {y=f(x)}}, { {x=f^{-1}(y)}} e a diferenciabilidade da função inversa expressa-se do seguinte modo

\displaystyle   \frac{dx}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \ \ \ \ \ (63)

Demonstração: Omitida. \Box

Tal como no teorema 60 vamos agora analisar um caso de interesse.

Seja { {y=\sin x}} e { {x\in [-\pi /2,\pi /2]}}, então podemos definir { {x=\arcsin y}}.

Ora

  • { {f(x)}} é diferenciável
  • { {f'(x)=\cos x\neq 0}} em { {[-\pi /2,\pi /2]}}
  • { {\arcsin y}} é contínua em { {[-1,1]}} é contínua

Então

{ {\begin{aligned} (\arcsin y)' &= \left( f^{-1}(y) \right)'\\ &=\dfrac{1}{f'(x)}\\ &=\dfrac{1}{\cos x}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}} \end{aligned}}}

Finalmente

\displaystyle  (\arcsin y)'=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \quad y \in [-1,1]

Escrevendo de uma maneira mais normal

\displaystyle  (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad x \in [-1,1]

Em geral podemos ainda definir derivadas de ordem superior através de uma definição recursiva.

Vamos denotar a derivada de ordem {n} de { {f}} por { {f^{(n)}}} . Em primeiro lugar dizemos que { {f^{(0)}=f}}. Agora para { {f^{(n+1)}}} é

\displaystyle  f^{(n+1)}=\left( f^{(n)} \right)'

Ou seja:

  • { {f'=\dfrac{df}{dx}}}
  • { {f''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{df}{dx}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^2 f=\dfrac{d^2}{dx^2}f}}
  • { {f'''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{d^2}{dx^2}f=\dfrac{d^3}{dx^3}f}}
  • { {f^{(n)}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^n f=\dfrac{d^n f}{dx^n}}}

Dado a exposição anterior faz sentido introduzir a seguinte definição:

Definição 43 Uma função { {f}} diz-se { {n}} vezes diferenciável em { {c}} se { {f^{(n)}}} existe para todas as ordens até {n} e são finitas.

Já sabemos que uma função diferenciável é contínua mas será que a derivada de uma função diferenciável também é contínua?

A resposta a esta questão é um não e vamos apresentar o seguinte (contra)exemplo como evidência:

\displaystyle  f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x) \quad &x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}

É fácil ver que { {f}} é diferenciável em { {\mathbb{R}}}

\displaystyle  f'(x)=\begin{cases} 2x\sin (1/x)-\cos (1/x) & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}

Mas { {f'}} não é contínua em { {x=0}}. Fica como um exercício para o leitor calcular { {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)}} e { {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)}}.

Aparentemente a derivada de uma função ou é contínua ou é fortemente descontínua.

Continuando a nossa exposição vemos que faz sentido introduzirmos uma definição que caracteriza as funções de acordo com as propriedades das suas funções derivadas.

Definição 44 Uma função { {f}} diz-se ser de classe { {C^n}} se é { {n}} vezes diferenciável e { {f^{(n)}}} é contínua.

É fácil ver que uma função de classe { {C^{n+1}}} também é uma função de classe { {C^n}}.

Uma função diz-se ser de classe { {c^\infty}} se tem derivadas finitas de todas as ordens (que são necessariamente contínuas).

Se{ {f,g}} são { {n}} vezes diferenciáveis em { {c}} então { {f+g}}, { {fg}}, { {f/g\quad g(c)\neq 0}} também são { {n}} vezes diferenciáveis em { {c}}.

Definição 45 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D}}. { {c}} é um máximo relativo de { {f}} se

\displaystyle   \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c) \ \ \ \ \ (64)

Definição 46 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D}}. { {c}} é um mínimo relativo de { {f}} se

\displaystyle   \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)>f(c) \ \ \ \ \ (65)

Teorema 62 {Teorema do extremo interior} Seja { {I\in\mathbb{R}}} e { {c}} um ponto interior de { {I}}. Se { {f}} tem um extremo relativo em { {c}} e { {f'(c)}} existe, então { {f'(c)=0}}

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que { {f}} tem um máximo relativo em { {c}}. Uma vez que { {c}} é um ponto interior de { {I}} e { {f'(c)}} existe, { {f_+(c)}} e { {f_-(c)}} existem e são iguais.

Por definição é { {f_+'(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}}

Por hipótese temos

\displaystyle  \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c)

Assim

\displaystyle  x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x>c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0

Pelo corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) vem

\displaystyle  f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0

Da mesma forma

\displaystyle  x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x<c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0

Assim

\displaystyle  f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0

Uma vez que { {f_+'(c)=f_-'(c)=f'(c)}} temos que ter { {f_+'(c)=f_-'(c)=0}} e consequentemente { {f'(c)=0}}. \Box

Teorema 63 {Teorema de Rolle} Seja { {[a,b]\subset\mathbb{R}}} e { {f}} contínua tal que { {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}}}. Se { {f}} é diferenciável em { {]a,b[}} e { {f(a)=f(b)}} então existe um ponto { {c\in ]a,b[}} tal que { {f'(c)=0}}.

Demonstração: Uma vez que { {f}} é contínua no intervalo compacto { {[a,b]}} sabemos que tem um máximo e um mínimo em { {[a,b]}} (teorema 55 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VII ).

Se para { {c\in ]a,b[}} { {f(c)}} é um máximo ou um mínimo, então pelo teorema 62 { {f'(c)=0}}.

Seja agora { {m}} o mínimo e { {M}} o máximo. Vamos analisar o caso em que a função toma valores extremos ocorrem nas extremidades dos intervalos. Uma vez que por hipótese é { {f(a)=f(b)}} então { {m=M}}. Neste caso { {f}} é constante e é trivial que { {f'(c)=0\quad\forall c\in [a,b]}}. \Box

Corolário 64 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f}} contínua tal que { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {f}} é diferenciável no interior de { {I}} e { {f'}} não se anula no interior de { {I}}, então { {f}} não tem mais que uma raíz em {I}.

Demonstração: Usando o método de redução ao absurdo vamos assumir que { {f}} tem duas raízes em { {I}} ({ {a}} e { {b}}). Aplicando o teorema 63 em { {[a,b]}} (uma vez que { {f(a)=f(b)}}) existe { {c}} em { {]a,b[}} tal que { {f'(c)=0}}. Assim { {f'}} anula-se no interior de { {I}} o que é contrário à nossa hipótese. \Box

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