Mecânica Quântica – Exercícios de Probabilidade e Estatística

Exercício 1

Para o exemplo dado no artigo Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística calcule ${<j>^2}$ e ${<j^2>}$ :
${ {<j>^2=\left(\sum j \dfrac{N(J)}{N}\right)^2=441}}$

${ {<j^2>=\sum j^2 \dfrac{N(J)}{N} =\dfrac{6434}{14}=459.6}}$
Determine ${ {\Delta j}}$ para cada ${j}$ .

${ {j}}$ ${ {\Delta j=j-<j>}}$

14 ${ {14-21=-7}}$

15 ${ {15-21=-6}}$

16 ${ {16-21=-5}}$

22 ${ {22-21=1}}$

24 ${ {24-21=3}}$

25 ${ {25-21=4}}$

Assim para a variância temos

${ {\sigma ^2=\sum (\Delta j)^2 \dfrac{N(J)}{N}=\dfrac{260}{14}=18.6}}$

Logo o desvio padrão é

$\sigma =\sqrt{18.6}=4.3$

Calcule a variância e o desvio padrão usando as definições alternativas

${ {\sigma^2=<j^2>-<j>^2=459.6-441=18.6}}$

E para o desvio padrão é

$\sigma =\sqrt{18.6}=4.3$
Considere os primeiros ${ {25}}$ dígitos na expansão decimal de ${ {\pi}}$ . Qual é a probabilidade de obtermos cada um dos ${10}$ dígitos assumindo que a distribuição é aleatória. Determine também o dígito mais provável, mediana, média e desvio padrão.
Os primeiros ${25}$ dígitos da expansão decimal de ${ {\pi}}$ são

$\displaystyle \{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3\}$

Assim para os dígitos temos

${ {N(0)=0}}$ ${ {P(0)=0}}$

${{N(1)=2}}$ ${ {P(1)=2/25}}$

${ {N(2)=3}}$ ${ {P(2)=3/25}}$

${ {N(3)=5}}$ ${ {P(3)=1/5}}$

${ {N(4)=3}}$ ${ {P(4)=3/25}}$

${ {N(5)=3}}$ ${ {P(5)=3/25}}$

${ {N(6)=3}}$ ${ {P(6)=3/25}}$

${ {N(7)=1}}$ ${ {P(7)=1/25}}$

${ {N(8)=2}}$ ${ {P(8)=2/25}}$

${ {N(9)=3}}$ ${ {P(9)=3/25}}$

O dígito mais provável é ${ {5}}$ . A mediana é ${ {4}}$ . A média é ${ {\sum P(i)N(i)=4.72}}$ .

${ {\sigma=2.47}}$
A agulha de um velocímetro é totalmente livre nas suas oscilações e ressalta perfeitamente em ambos extremos de tal modo que após sofrer um impulso a sua posição final está entre e sem qualquer preferência.
- Qual é a densidade de probabilidade ${\rho (\theta)}$ ? Trace o gráfico de ${\rho (\theta)}$ para ${-\pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2}$ . Assegure-se que a probabilidade total é igual a ${1}$ .
  No intervalo ${ {\left[0,\pi\right]}}$ a probabilidade da agulha cair num ângulo ${ {d\theta}}$ é ${ {d\theta/\pi}}$ . Dada a definição de densidade de probabilidade temos ${ {\rho(\theta)=1/\pi}}$ .
  
  Para além disso a densidade de probabilidade necessita de ser normalizada:
  
  $\displaystyle \int_0^\pi \rho(\theta)d\theta=1\Leftrightarrow\int_0^\pi 1/\pi d\theta=1$
  
  que é trivialmente válido.
  
  O gráfico para a densidade de probabilidade é
- Calcule ${ {\left\langle\theta \right\rangle}}$ , ${ {\left\langle\theta^2 \right\rangle}}$ e ${ {\sigma}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}}$
  
  Para ${ {\left\langle\theta^2 \right\rangle}}$ é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\theta^2 \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta^2}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^3}{3} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi^2}{3} \end{aligned}}}$
  
  A variância é ${ {\sigma^2=\left\langle\theta^2 \right\rangle-\left\langle\theta\right\rangle^2 =\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{12}}}$ .
  
  O desvio padrão é ${ {\sigma=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}}}$ .
- Calcule ${ {\left\langle\sin\theta\right\rangle}}$ , ${ {\left\langle\cos\theta\right\rangle}}$ e ${ {\left\langle\cos^2\theta\right\rangle}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\sin\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\sin\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi\\ &= \frac{2}{\pi} \end{aligned}}}$
  
  e
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\cos\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\cos\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi\\ &= 0 \end{aligned}}}$
  
  Deixamos ${ {\left\langle\cos^2\theta \right\rangle}}$ como um exercício para o leitor. Lembre-se que ${ {\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}}$ .
Considere a densidade de probabilidade
$\displaystyle \rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}$
- Calcule ${\left\langle x \right\rangle}$ , ${\left\langle x^2 \right\rangle}$ , ${s^2}$ e ${s}$ .
  Para ${\left\langle x \right\rangle}$ temos
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{h}{3} \end{aligned}}}$
  
  Para ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ temos
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_0^h x^{3/2}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[\frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^h\\ &= \frac{h^2}{5} \end{aligned}}}$
  
  Assim a variância é
  
  $\sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{h^2}{5}-\frac{h^2}{9}=\frac{4}{45}h^2$
  
  e o desvio padrão é
  
  $\sigma=\frac{2h}{3\sqrt{5}}$
- Calcule a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados do que um desvio padrão.
  Para a distância ser superior a dois desvios padrões temos duas possibilidades. A primeira é ${ {\left[0,\left\langle x \right\rangle+\sigma\right]}}$ e a segunda é ${ {\left[\left\langle x \right\rangle+\sigma,h\right]}}$ .
  
  Assim a probabilidade total é a soma das probabilidades associadas aos intervalos anteriores.
  
  Seja ${ {P_1}}$ a probabilidade associada ao primeiro intervalo e ${ {P_2}}$ a probabilidade associada ao segundo intervalo.
  
  ${ {\begin{aligned} P_1 &= \int_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[2x^{1/2} \right]_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h}}\sqrt{\frac{h}{3}-\frac{2h}{3\sqrt{5}}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}$
  
  Para o segundo intervalo é
  
  ${ {\begin{aligned} P_2 &= \int_{\left\langle x \right\rangle+\sigma}^h\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \ldots\\ &=1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}$
  
  Assim a probabilidade total ${ {P}}$ é ${ {P=P_1+P_2}}$
  
  ${ {\begin{aligned} P&=P_1+P_2\\ &= \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}}+1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}}\\ &\approx 0.3929 \end{aligned}}}$
Para a seguinte densidade de probabilidade
- Determine ${ {A}}$ .
  Fazendo a mudança de variável ${ {u=x-a}}$ ( ${ {dx=du}}$ ) a condição de normalização fica
  
  ${ {\begin{aligned} 1 &= A\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &= A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{aligned}}}$
  
  Assim para ${ {A}}$ é
  
  $A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}$
- Determine ${ {\left\langle x \right\rangle}}$ , ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ e ${ {\sigma}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du+a\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( 0+a\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &= a \end{aligned}}}$
  
  Para entender porque ${ {\displaystyle\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du=0}}$ veja o artigo variáveis mudas
  
  Para ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right) \end{aligned}}}$
  
  ora ${ {\displaystyle 2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du=0}}$ como já vimos.
  
  Para o terceiro termo é ${ {\displaystyle a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du=a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}}}$ .
  
  O primeiro integral é o mais difícil mas podemos utilizar uma técnica especial para o resolver:
  
  ${ {\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du &= \int_{-\infty}^\infty-\frac{d}{d\lambda}\left( e^{-\lambda u^2} \right)du\\ &= -\frac{d}{d\lambda}\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &=-\frac{d}{d\lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{aligned}}}$
  
  Assim é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}}+0+a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &=a^2+\frac{1}{2\lambda} \end{aligned}}}$
  
  A variância é
  
  $\displaystyle \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{1}{2\lambda}$
  
  Logo o desvio padrão é
  
  $\displaystyle \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}$

— 1. Ficheiro Mathematica —

A resolução do segundo exercício foi feita com recurso ao software Mathematica. De forma a ajudar os leitores que eventualmente usam esse mesmo software publico aqui o código utilizado:

 // N[Pi, 25]

piexpansion = IntegerDigits[3141592653589793238462643]

digitcount = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitcount, Count[A, i]]]

digitcount

digitprobability = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitprobability, Count[A, i]/25]]

digitprobability

digits = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digits, i]]

digits

j = N[digits.digitprobability]

digitssquared = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitssquared, i^2]]

digitssquared

jsquared = N[digitssquared.digitprobability]

sigmasquared = jsquared - j^2

std = Sqrt[sigmasquared]

deviations = {}

deviations = piexpansion - j

deviationssquared = (piexpansion - j)^2

variance = Mean[deviationssquared]

standarddeviation = Sqrt[variance]

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