Função composta
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— 1. Conceito —
Definição 1 Dados três conjuntos
se |
Muita das vezes representa-se por e lê-se:
composta por
,
então
por diagrama temos:
A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:
Exercício 2
Dadas as funções reais Resolução Temos:
|
Teorema 1
Demonstração:
Sejam temos:
e
logo:
|
Exercício 3
Sejam as funções Resolução: Temos:
e
Verificando o teorema
|
Exercício 4
Sejam as funções Temos:
calculando temos:
e
Calculando
Verificando o teorema, vemos que |
Exercício 5
Sejam as funções Resolução: Temos:
isto é verdade; logo e
como |
Teorema 2
A função composta é associativa. Demonstração:
Sejam os elementos
temos:
e
Assim mostramos que:
|
Exercício 6
Dadas as funções
Calcular temos:
e
Claramente que são iguais |
Teorema 5
Sejam as função onde: Demonstração:
Sejam os elementos
|
— 2. Exercícios complementares —
Exercício 7 Sejam as funções
Resolução Temos: fazer
então,
|
Exercício 8
Dadas as funções
determinar Resolução Temos:
e
|
Exercício 9
Dadas as funções Resolução Temos:
fazendo
tem-se: |
Exercício 10 Dadas as funções Resolução Temos:
fazendo tem-se:
Calculando temos:
|
Domínio contradomínio e imagem de função.
— 1. Introdução —
Não existe uma função sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.
Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função :
. Por diagrama, temos:
Definição 1 -Chama-se domínio da função |
Definição 2 – Chama-se contradomínio da função |
— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —
Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.
Resolução
-O domínio é
-O contradomínio é
-A Imagem é |
Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.
Exercício 5
Dada a função Determinar:
Resolução
|
Exercício 6
Na função real Resolução
Como a função é real então
|
— 3. Determinação da imagem da função quadrática —
Dada a função geral,
se a imagem será
se a imagem será
Exercício 8
Determinar a imagem da função Resolução
Primeiro, vamos determinar os coeficientes
segundo, vamos determinar o
Por fim, temos:
Como
|
Exercício 9
Determinar a imagem da função Resolução
Primeiro, vamos determinar os coeficientes
Segundo, vamos determinar o
Por fim, temos:
Como |
DOMÍNIO DE FUNÇÃO
Definição 1
Seja a função
|
Exercício 1 Seja a função Resolução
O domínio dessa função é |
Definição 2 Dada a função No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição |
— 1. Determinação de domínio de diversas funções —
Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.
Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou simplesmente
e
Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.
Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.
— 2. Domínio da função polinomial —
Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais
|
Exercício 2
Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 3 Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 4 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 3. Domínio de função racional —
Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.
|
Exercício 5 Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 6 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —
Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.
|
Exercício 7 Determinar domínio da função
Resolução: |
Exercício 8 Determinar domínio da função
Resolução: |
— 5. Domínio de função irracional de índice par —
Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.
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Exercício 9 Determinar o domínio da função
Resolução:
|
Exercício 10 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 6. Domínio de função logaritmica —
Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.
|
Exercício 11 Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 12 Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 13 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 7. Domínio de função exponencial —
Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.
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Exercício 14 Determinar o domínio da função Resolução: Claramente que o |
Exercício 15 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 8. Domínio de função trigonométrica —
Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:
|
Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:
|
Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos:
|
Exercício 16 Determinar o domínio da função
Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para |
Exercício 17 Determinar o domínio da função
Resolução: Destaca-se a condição da |
— 9. Determinação de domínio de diversas funções —
Exercício 18 Determinar o domínio da função Resolução: Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador. |
Exercício 21 O domínio da função
Resolução: |
Exercício 24 Determinar o domínio da função Resolução: |
Exercício 25 Dada a função Resolução:
O denominador diferente de zero: |
CONCEITO DE FUNÇÃO
— 1. Conceito de funções —
Apresentação
Olá sou o Pedro Joaquim Tomás, poeta e professor de Matemática do ensino secundário do segundo ciclo.
Brevemente publicarei conteúdos de matemática de uma maneira simples e compreensível possibilitando-vos uma interpretação fácil e fantástica.
Portanto, já sabes que tenho compromisso contigo diariamente mantenha-se em contacto com essa página.
Desejo-lhe um dia fantástico.