— 20. Introdução à Mecânica Quântica —

Ao perscrutarem o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função derivada por Planck.

No que segue vamos fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica.

— 20.1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 20.1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente .

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de .

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, que na verdade não era uma lei, mas sim um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro em ambos os regimes de frequência assim como nos regimes intermédios continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinham uma existência física real.

— 20.1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos experimentais por Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

• A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
• A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
• Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, algo que necessitaria da introdução de novas ideias na Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tinha para algumas das suas manifestações um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética era emitida e absorvida discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

Podemos resumir a contribuição de Einstein para a resolução desta questão dizendo que deu um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vamos fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 20.2. Primeira Teoria Quântica —

A chamada Primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

— 20.3. Novos resultados, novas concepções —

Após a introdução de carácter mais popular que fizemos nas secções anteriores à Teoria Quântica vamos agora expor de forma mais estruturada a génese da teoria quântica.

Sabemos que quando realizamos uma experiência com um sistema físico de forma a determinarmos qual o valor de uma determinada grandeza o que nós estamos de facto a fazer é a interagir com o sistema. De uma forma ligeiramente mais formal vamos dizer:

O acto de efectuarmos uma medição num sistema físico introduz uma perturbação nos sistema.

Até agora nós temos utilizado o conceito de sistema mecânico na nossa análise de sistemas físicos. Olhando de forma crítica para esse conceito apercebem-nos do seguinte:

1. Em alguns casos a perturbação pode tornar-se tão pequena quanto se queira. Ou seja, facto de existir um limite de exactidão para o aparelho de medição que estamos a usar é inerente ao aparelho que está a ser utilizado e não à teoria física que sustenta a motivação para a nossa experiência.
2. Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. Ainda assim podemos calcular exactamente qual o valor dessa perturbação e compensá-lo no valor da quantidade que está a ser medida.

Assim podemos dizer que a nossa Teoria da Mecânica Clássica é causal e determinista.

Não obstante os seus inúmeros sucessos a nossa teoria clássica deparou-se com algumas nuvens negras:

1. Radiação do corpo negro.
2. Efeito fotoeléctrico.
3. O princípio de combinação de Rydberg?Ritz.
4. A existência e estabilidade dos átomos
5. A experiência de Stern-Gerlach.
6. A difracção de electrões.
7. …

A persistência destes resultados experimentais e o falhanço em acomodá-los na teoria clássica indicava que era necessário efectuar uma revolução dos conceitos utilizados na Física:

1. Entidades corpusculares evidenciavam um comportamento aleatório.
2. Entidades ondulatórias evidenciavam um comportamento corpuscular.
3. A existência de um comportamento estatístico em fenómenos atómicos e sub-atómicos que parecia ser inerente à Natureza.
4. A necessidade de se repensar o acto de medição visto começar a ser mais evidente que algumas perturbações não se podiam fazer tão pequenas quanto se queria.
5. …

— 20.4. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 20.4.3. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura abaixo mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades . A curva de probabilidades resultante é simplesmente a soma das curvas e .

— 20.4.4. Duas Fendas e Ondas —

Se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é . O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 20.4.5. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura abaixo. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

No caso dos electrões temos novamente que pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade está associada uma amplitude de probabilidade . Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade . Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: .