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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)

— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —

— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —

Exercício 1 Um quadrado de área interna de {2,35 \ m^{2}} foi montado com duas hastes de alumínio {(\alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1} )} e duas hastes de aço {(\alpha_{Aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1})}, todos inicialmente à mesma temperatura de {27 \ ^{o}C}, conforme a figura abaixo. O sistema é, então, submetido a um processo de aquecimento, de forma que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura final de {100 \ ^{o}{\mathbb C}}.

Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 1 .

O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área { A_{o}=2,35 \ m^{2}} limitada por duas hastes de alumínio e duas hastes de aço sob uma temperatura { t_{o}=27\ ^{o}C}.

Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que:

\displaystyle A_{o}=l_{o Aco} \cdot l_{o Al} \ \ \ \ \ (1)

Onde:
{ l_{o Aco}} – Comprimento da haste de aço.

{ l_{o Al}} – Comprimento da haste de alumínio.

Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição:

\displaystyle l_{o Aco}=l_{o Al}=l_o \ \ \ \ \ (2)

Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento { l_{o}} inicialmente.

Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de { 100\ ^{o}C}, cada uma das hastes, de alumínio e aço, dilatam e ganham novos comprimento { l_{Al}} e { l_{Aco}} que são diferentes, pois os seus coeficientes de dilatação linear são diferentes, com { \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}} e { \alpha_{Aco}= 1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}.

Dados:
{ A_{0}=2,35 \ m^{2}}
{ t_{0}=27\ ^{o}C}
{ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}
{ \alpha_{aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}
{ t=100 \ ^{o}C}

Depois do aquecimento até { t=100 \ ^{o}C}, as hastes de alumínio ainda permanecem perpendiculares as hastes de aço, conforme enunciado. Logo, como o aumento nos comprimentos nas hastes, temos uma nova área.

Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, { l_{Al}} e { l_{Aco}}, de alumínio e aço respectivamente.

\displaystyle A=l_{Al} \cdot l_{Aco} \ \ \ \ \ (3)

Pela figura acima percebe-se que:

\displaystyle l_{Al}=l_{o} + \Delta l_{Al} \ \ \ \ \ (4)

\displaystyle l_{Aco}=l_{o} + \Delta l_{Aco} \ \ \ \ \ (5)

Onde: { \Delta l_{Al}} e { \Delta l_{Aco}} são os aumentos nos comprimentos das hastes, devido o aquecimento, do alumínio e do aço, respectivamente.

Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos:

\displaystyle A= (l_{o}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{o}+ \Delta l_{Aco}) \ \ \ \ \ (6)

Determinamos { l_{o}} pela equação 3:

\displaystyle A_{o}=l_{o} \cdot l_{o} \Rightarrow A_{o}=l^{2}_{o}

Invertendo a igualdade:

\displaystyle l^{2}_{o}=A_{o} \Rightarrow l_{o} = \sqrt{A_{o}}

Substituindo os dados:

\displaystyle l_{o}=\sqrt{2,35}=1,533 \ m

\displaystyle \\ l_{o}=1,533 \ m

Determinemos { \Delta l_{Al}} e { \Delta l_{Aco}} através da relação da dilatação linear.

Para o alumínio:

\displaystyle \Delta l_{Al}=l_{o} \cdot \alpha_{Al} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (7)

Substituindo os dados:

\displaystyle \Delta l_{Al}=1,533 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (100-27)

\displaystyle \Delta l_{Al}=2,685 \cdot 10^{-3} \ m

Para o aço:

\displaystyle \Delta l_{Aco}=l_{Aco} \cdot \alpha_{Aco} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (8)

Substituindo os dados:

\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,533 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}(100-27)

\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,343 \cdot 10^{-3} \ m

Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é:

\displaystyle A=(l_{Al}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{Aco}+ \Delta l_{Aco})

\displaystyle A=(1,533+2,685 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,533+1,343 \cdot 10^{-3})

\displaystyle A=2,356 \ m^{2}

Exercício 2 Uma ponte tem comprimento {L_1 = 145 \ m} à temperatura de {{26} \ ^oC}. É construída de uma liga metálica especial com o coeficiente de expansão térmica {\alpha = 1 \cdot 10^{-5} \ (^o{\mathbb C}^{-1})}. Calcule o comprimento {L_2} da ponte quando a temperatura for de {{43} \ ^oC}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura.

Dados

{L_1=145 \ m}

{t_1 ={26} \ ^oC}

{\alpha=1 \cdot 10 \ ^{-5} \ ^oC^{-1}}

{L_2 \longrightarrow?}

{t_2 ={43} \ ^oC}

A equação da dilatação térmica de um sólido é:

\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t

Mas {\Delta L=L_2 - L_1 \ } e {\Delta t = t_2 - t_1}.
Substituindo na equação anterior temos:

\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t \Rightarrow L_2 - L_1 = \alpha L_1(t_2 - t_1)

Isolando {L_2}, tem-se:

\displaystyle L_2 = \alpha L_1(t_2 - t_1) + L_1 \Rightarrow L_2 = L_1[\alpha (t_2 - t_1) + 1]

Substituindo os valores:

\displaystyle L_2= 145 \ [1 \cdot 10^{-5} \ (43 - 26) + 1]

\displaystyle L_2 = 145,025 \ m

Exercício 3 Na temperatura ambiente ({26 \ ^oC}) os carris dos caminhos de ferro são montados em unidades de {12 \ m} de comprimento. Entre duas destas unidades fica sempre uma distância de {8,7 \ mm} livre para compensar expansão térmica dos carris. Calcule a temperatura máxima {T}, que considerou o projectista? O coeficiente da expansão térmica do aço utilizado é de {\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima {T} considerada pelo projectista é suficiente que a variação do comprimento de cada peça seja igual a distância livre entre elas.

Dados

{t_o ={26} \ ^oC}

{l_o = 12\ m}

{d = 8,6\ mm = 8,6\cdot 10^{-3}\ m}

{t \longrightarrow?}

{\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}

A equação da dilatação linear é:

\displaystyle \Delta l = \alpha l_o \Delta T)

\displaystyle \Rightarrow \Delta l = \alpha l_o (t - t_o)\

Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins.

Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, {\Delta l = d}. Substituindo na relação anterior, obtemos:

\displaystyle \Delta l = \alpha l_o (t - t_o) \Rightarrow d = \alpha l_o (t - t_o)

Isolando {t}:

\displaystyle t - t_o = \dfrac{d}{\alpha l_o} \Rightarrow t = \dfrac{d}{\alpha l_o} + t_o

Substituindo os valores de {t}, {l_o}, {d} e {\alpha} na equação anterior, obtemos:

\displaystyle t = \dfrac{8,6 \cdot 10^{-3}}{1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 12} + 26

\displaystyle t = 91,15 \ ^oC

Está a gostar da Abordagem? Veja também:

Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Mecânica (Física 1);
Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Termodinâmica (Física 2);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Gravitação (Física 2);
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