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1.2 Exercícios sobre Calor de Transformação e Equilíbrio Térmico (Parte 1)

10/13/2020 11:24 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Calor de Transformação —

Exercício 1. Qual é a quantidade de calor necessária para levar ${600\ g}$ de água da temperatura de ${{40} \ ^oC}$ para o estado de vapor à ${{100} \ ^oC}$ . Utilize o calor específico da água ${4190\ J/(kg\cdot K)}$ e o calor latente de vaporização ${2256 \cdot 10^3\ J/kg}$ .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Trata-se de um exercício sobre calorimetria. Queremos saber qual é a quantidade de calor necessária para converter ${600\ g}$ de água à ${40 \ ^oC}$ em vapor.
Temos que converter as unidades das grandezas para o sistema internacional. A massa em ${kg}$ . A temperaturas não precisa ser convertida, pois a variação de temperaturas em ${^oC}$ e em ${K}$ é igual.
Nota: o vapor de água na pressão atmosférica normal, está a uma temperatura de ${100 \ ^oC}$ .

Dados
${Q \longrightarrow?}$

${m = 600\ g}$

${t_1 = 40 \ ^oC}$

${t_2 = 100 \ ^oC}$

${c = 4190\ J/(kg\cdot k)}$

${l_V = 2256 \cdot 10^3\ J/kg}$

Convertemos a massa para quilogramas ( ${kg}$ ):

$\displaystyle m = 600 \ g = 600 \cdot 10^{-3} \ kg$

De acordo com o diagrama de transição de fases, na passagem de ${40 \ ^oC}$ líquido ${(1)}$ para vapor a ${100 \ ^oC}$ ${(2)}$ teremos duas quantidades de calor:

${Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta t = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)}$ – quantidade de calor para variar a temperatura;

${Q_2 = m \cdot l_{V}}$ – quantidade de calor necessária para evaporar uma massa ${m}$ de substância.

A quantidade de calor necessária para elevar a água à uma certa temperatura para o estado de vapor à ${100 \ ^oC}$ é igual a soma das duas quantidades de calor anteriores. Assim:

$\displaystyle Q = Q_1 + Q_2$

$\displaystyle m \cdot c \cdot \Delta t + m \cdot l_V = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1) + m \cdot l_V$

$\displaystyle Q = m[c(t_2 - t_1) + l_V]$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle Q = 600 \cdot 10^{-3} \cdot[4190 \cdot (100 - 40) + 2256 \cdot 10^3]$

$\displaystyle Q = 1504440$

$\displaystyle Q = 1,5\ MJ$

— 1.3. Temperatura e Equilíbrio térmico —

Exercício 2. Mistura-se ${25 \ g}$ de café a ${90 \ ^oC}$ com ${80 \ g}$ de leite a ${25 \ ^oC}$ . Admitindo que não há troca de calor com o recipiente e que os líquidos têm o mesmo calor específico, determine a temperatura final do sistema (café+leite).
NÍVEL DE DIFICULDADE:Regular.

Resolução 2
Trata-se de um exercício de equilíbrio térmico (calorimetria) cujo o objectivo é determinar a temperatura final de um sistema (café-leite) dentro do recipiente.
Sempre que dois corpos são misturados, inicialmente a temperaturas diferentes, haverá sem troca de calor, até que os dois obtenham a mesma temperatura(temperatura de equilíbrio do sistema).
Aplicando o princípio de conservação de energia:

$\displaystyle Q_1 + Q_2 + Q_3 + ... + Q_N=0$

No caso, só temos quantidades de calor de mudança de temperatura:

$\displaystyle Q_i = m \cdot c_i \cdot (t_2-t_1)$

OBS: Não se considera a troca de calor com o recipiente pois o enunciado diz que não há troca de calor com o recipiente.

Dados

${m_c=25 \ g}$

${t_{1C} = 90 \ ^oC}$

${m_l = 80 \ g}$

${t_{1l}= 25 \ ^oC}$

${t_2-?}$

${c_c = c_{l} = c_{agua} = 4190 \ J/(kg \cdot k)}$

Como os dois trocam calor, teremos:

${Q_c = m_c \cdot c_c \cdot(t_2 - t_{1c})}$ – quantidade de calor do café.

${Q_l = m_l C_l \cdot (t_2 - t_{1l})}$ – quantidade de calor do leite.

Sabemos que:

$\displaystyle Q_1+Q_2=0$

$\displaystyle \Rightarrow m_c \cdot c_c \cdot (t_2-t_{1c}) + m_l \cdot c_l \cdot (t_2-t_{1l})=0$

$\displaystyle \Rightarrow 25 \cdot 4190 \cdot (t_2- 90^o)+ 80 \cdot 4190 \cdot (t_2 - 25^o)=0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 - 9427500 + 335200t_2 - 8380000 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 + 335200t_2 = 9427500 + 8380000$

$\displaystyle \Rightarrow 439950t_2 = 17807500$

$\displaystyle \Rightarrow t_2=\dfrac{17807500}{439950}$

$\displaystyle \Rightarrow t_2 = 40,5 \ ^oC$

A temperatura de equilíbrio do sistema (café+leite) é igual a ${T_f=41 \ ^oC}$ .

Exercício 3 .Quando ${600 \ g}$ de substância ${x}$ a ${60 \ ^{o}C}$ são introduzidos num calorímetro contendo ${80 \ g}$ de água a ${15 \ ^{o}C}$ a temperatura de equilíbrio resultante é ${19 \ ^{o}C}$ . Quando ${90 \ g}$ de água a ${50 \ ^{o}C}$ são vertidos sobre ${500 \ g}$ de substância ${x}$ a ${15 \ ^{o}C}$ , contidos no mesmo calorímetro da situação anterior, a temperatura de e equilíbrio é de ${36 \ ^{o}C}$ . Calcule o calor específico do substância ${x}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 3 .

O exercício em questão é sobre calorimetria. Inicialmente, em um calorímetro, com água com massa de ${ m_{AA} = 80 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{AA}}= 15 \ ^{o}C }$ , é introduzido uma substância x, de massa ${ m_{Ax} = 600 \ g }$ e a temperatura de ${ t_{1Ax} = 60 \ ^{o}C }$ . Esta mistura atinge o equilíbrio térmico à temperatura de ${ \theta_{1}= 19 \ ^{o}C }$ .

Noutra situação, no mesmo calorímetro, tem a substância ${x}$ de massa ${ m_{B{x}}=500 \ g }$ a temperatura de ${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$ , e nele verte-se água de massa ${ m_{B{A}}=90 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{BA}}=50 \ ^{o}C }$ . A temperatura de equilíbrio desta mistura é ${\theta_{2}=36 \ ^{o}C }$ .

Portanto, temos duas situações (A e B) de mistura de água com a substância ${x}$ .

As grandezas associadas as substâncias, água e x, no inicio terão índice 1 e no fim índice 2. Mas como temos duas situações. Vamos usar A e ) para distingui-las.

No que o o exercício fala da existência do calorímetro e não pede para desprezar o seu efeito.

Dados

${ m_{Ax}=600 \ g = 0,6 \ kg}$

${ t_{1Ax}=60 \ ^{o}C}$

${ m_{AA}=80 \ g \ = 0,08 \ kg}$

${ t_{1AA}= 15 \ ^{o}C}$

${\theta_{1} = 19 \ ^{o}C }$

${c_A = 4190 \ J / kg \cdot K }$

${m_{BA} = 90 \ g = 0,09 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=50 \ ^{o}C}$

${m_{2{Bx}}=500 \ g = 0,5 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$

${\theta_{2}=36 \ ^{o}C}$

Calcularemos o calor específico do substância.

Para ambas as situações (A e B), a lei de conservação de energia cumpre-se, considerando os sistema isolados. Como não se despreza a capacidade calorífica do calorímetro disponível, então consideremos também a quantidade de calor que este absorve em ambos os casos. Logo temos:

Situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

${Q_{Ac}}$ – quantidade de calor do calorímetro na situação A ( ${ Q_{{Ac}}= C_c \cdot (\theta - t_{1{Ac}})}$ ).

${Q_{A{A}}}$ – quantidade de calor da agua na situação A ( ${Q_{A{A}}= m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta - t_{1AA})}$ ).

${Q_{Ax}}$ – quantidade de calor na substância x na situação A ( ${Q_{Ax}= m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta - t_{1{Ax}})}$ ).

Onde:

${C_c}$ – Capacidade térmica do calorímetro.

${t_{1{Ac}}}$ – Temperatura inicial do calorímetro na situação A (que é a temperatura inicial na água, que estava inicialmente no calorímetro). Então: ${t_{1{Ac}} = t_{1{AA}} = 15 \ ^oC}$ , (no caso B, estava inicialmente a substância x no calorímetro; ${t_{1{Bc}} = t_{1{Bx}} = 15 \ ^oC}$ ).

Então, na situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Ac}})+ m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{AA}})+ m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Ax}}) = 0$

Há duas incógnitas: ${C_c}$ e ${c_x}$ .

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (19-15)+0,08 \cdot 4190 \cdot (19-15)+0,6 \cdot c_x \cdot (19-60) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c+1340,8-24,6 c_x = 0 \ \ \ \ \ (1)$

Como é apenas uma equação e duas incognitas, precisamos formar mais uma equação.Neste caso, na situação B, temos:

$\displaystyle Q_{Bc}+ Q_{B{A}}+Q_{Bx}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Bc}})+m_{B{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{BA}})+ m_{B{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Bx}}) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c (30-15)+0,09 \cdot 4190 \cdot (30-50)+0,5 \cdot c_x (30-15) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0 \ \ \ \ \ (2)$

Combinando as equações 1 e 2, obtemoS:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0\\ 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0\\ \end{array}\right.$

Para resolver este sistema , podemos usar o método de substituição. Isolaremos ${C_c}$ na primeira equação e substituiremos na segunda:

$\displaystyle 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c = 24,6 c_x - 1340,8$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6 c_x - 1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6}{4} \cdot {c_x} - \dfrac{1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = 6,15 c_x - 335,2$

Substituindo este resultado na segunda equação do sistema anterior, obtemos:

$\displaystyle 15(6,15c_x - 335,2) - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x - 5028 - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x+7,5c_x = 5028 + 7542$

$\displaystyle \Rightarrow 99,75c_x = 12570$

$\displaystyle \Rightarrow c_x = \dfrac{12570}{99,75}$

$\displaystyle \Rightarrow c_x \approx 126 \ J / (kg \cdot \ ^oC)$

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)

09/27/2020 8:26 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —

— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —

Exercício 1 Um quadrado de área interna de ${2,35 \ m^{2}}$ foi montado com duas hastes de alumínio ${(\alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1} )}$ e duas hastes de aço ${(\alpha_{Aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1})}$ , todos inicialmente à mesma temperatura de ${27 \ ^{o}C}$ , conforme a figura abaixo. O sistema é, então, submetido a um processo de aquecimento, de forma que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura final de ${100 \ ^{o}{\mathbb C}}$ .

Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 1 .

O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área ${ A_{o}=2,35 \ m^{2}}$ limitada por duas hastes de alumínio e duas hastes de aço sob uma temperatura ${ t_{o}=27\ ^{o}C}$ .

Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que:

$\displaystyle A_{o}=l_{o Aco} \cdot l_{o Al} \ \ \ \ \ (1)$

Onde:
${ l_{o Aco}}$ – Comprimento da haste de aço.

${ l_{o Al}}$ – Comprimento da haste de alumínio.

Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição:

$\displaystyle l_{o Aco}=l_{o Al}=l_o \ \ \ \ \ (2)$

Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento ${ l_{o}}$ inicialmente.

Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de ${ 100\ ^{o}C}$ , cada uma das hastes, de alumínio e aço, dilatam e ganham novos comprimento ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ que são diferentes, pois os seus coeficientes de dilatação linear são diferentes, com ${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ e ${ \alpha_{Aco}= 1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ .

Dados:
${ A_{0}=2,35 \ m^{2}}$
${ t_{0}=27\ ^{o}C}$
${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ \alpha_{aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ t=100 \ ^{o}C}$

Depois do aquecimento até ${ t=100 \ ^{o}C}$ , as hastes de alumínio ainda permanecem perpendiculares as hastes de aço, conforme enunciado. Logo, como o aumento nos comprimentos nas hastes, temos uma nova área.

Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ , de alumínio e aço respectivamente.

$\displaystyle A=l_{Al} \cdot l_{Aco} \ \ \ \ \ (3)$

Pela figura acima percebe-se que:

$\displaystyle l_{Al}=l_{o} + \Delta l_{Al} \ \ \ \ \ (4)$

$\displaystyle l_{Aco}=l_{o} + \Delta l_{Aco} \ \ \ \ \ (5)$

Onde: ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ são os aumentos nos comprimentos das hastes, devido o aquecimento, do alumínio e do aço, respectivamente.

Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos:

$\displaystyle A= (l_{o}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{o}+ \Delta l_{Aco}) \ \ \ \ \ (6)$

Determinamos ${ l_{o}}$ pela equação 3:

$\displaystyle A_{o}=l_{o} \cdot l_{o} \Rightarrow A_{o}=l^{2}_{o}$

Invertendo a igualdade:

$\displaystyle l^{2}_{o}=A_{o} \Rightarrow l_{o} = \sqrt{A_{o}}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle l_{o}=\sqrt{2,35}=1,533 \ m$

$\displaystyle \\ l_{o}=1,533 \ m$

Determinemos ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ através da relação da dilatação linear.

Para o alumínio:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=l_{o} \cdot \alpha_{Al} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (7)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=1,533 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Al}=2,685 \cdot 10^{-3} \ m$

Para o aço:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=l_{Aco} \cdot \alpha_{Aco} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (8)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,533 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}(100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,343 \cdot 10^{-3} \ m$

Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é:

$\displaystyle A=(l_{Al}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{Aco}+ \Delta l_{Aco})$

$\displaystyle A=(1,533+2,685 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,533+1,343 \cdot 10^{-3})$

$\displaystyle A=2,356 \ m^{2}$

Exercício 2 Uma ponte tem comprimento ${L_1 = 145 \ m}$ à temperatura de ${{26} \ ^oC}$ . É construída de uma liga metálica especial com o coeficiente de expansão térmica ${\alpha = 1 \cdot 10^{-5} \ (^o{\mathbb C}^{-1})}$ . Calcule o comprimento ${L_2}$ da ponte quando a temperatura for de ${{43} \ ^oC}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura.

Dados

${L_1=145 \ m}$

${t_1 ={26} \ ^oC}$

${\alpha=1 \cdot 10 \ ^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${L_2 \longrightarrow?}$

${t_2 ={43} \ ^oC}$

A equação da dilatação térmica de um sólido é:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t$

Mas ${\Delta L=L_2 - L_1 \ }$ e ${\Delta t = t_2 - t_1}$ .
Substituindo na equação anterior temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t \Rightarrow L_2 - L_1 = \alpha L_1(t_2 - t_1)$

Isolando ${L_2}$ , tem-se:

$\displaystyle L_2 = \alpha L_1(t_2 - t_1) + L_1 \Rightarrow L_2 = L_1[\alpha (t_2 - t_1) + 1]$

Substituindo os valores:

$\displaystyle L_2= 145 \ [1 \cdot 10^{-5} \ (43 - 26) + 1]$

$\displaystyle L_2 = 145,025 \ m$

Exercício 3 Na temperatura ambiente ( ${26 \ ^oC}$ ) os carris dos caminhos de ferro são montados em unidades de ${12 \ m}$ de comprimento. Entre duas destas unidades fica sempre uma distância de ${8,7 \ mm}$ livre para compensar expansão térmica dos carris. Calcule a temperatura máxima ${T}$ , que considerou o projectista? O coeficiente da expansão térmica do aço utilizado é de ${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima ${T}$ considerada pelo projectista é suficiente que a variação do comprimento de cada peça seja igual a distância livre entre elas.

Dados

${t_o ={26} \ ^oC}$

${l_o = 12\ m}$

${d = 8,6\ mm = 8,6\cdot 10^{-3}\ m}$

${t \longrightarrow?}$

${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$

A equação da dilatação linear é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o \Delta T)$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta l = \alpha l_o (t - t_o)\$

Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins.

Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, ${\Delta l = d}$ . Substituindo na relação anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o (t - t_o) \Rightarrow d = \alpha l_o (t - t_o)$

Isolando ${t}$ :

$\displaystyle t - t_o = \dfrac{d}{\alpha l_o} \Rightarrow t = \dfrac{d}{\alpha l_o} + t_o$

Substituindo os valores de ${t}$ , ${l_o}$ , ${d}$ e ${\alpha}$ na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle t = \dfrac{8,6 \cdot 10^{-3}}{1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 12} + 26$

$\displaystyle t = 91,15 \ ^oC$

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