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Domínio contradomínio e imagem de função.

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— 1. Introdução —

Não existe uma função { f } sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.

Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função { f } : { A \rightarrow B }. Por diagrama, temos:

Definição 1 -Chama-se domínio da função { f }, o conjunto D de todos elementos { x } do conjunto A. Matematicamente, temos:

\displaystyle   D(f)=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert \forall x\in A\rbrace \rightarrow D(f)=A \ \ \ \ \ (1)

Definição 2 – Chama-se contradomínio da função { f }, o conjunto { CD } de todos elementos de { B }. Matematicamente, temos:

\displaystyle   CD(f)=\lbrace y \in \mathbb{R} \vert \forall y \in B \rbrace \rightarrow CD=B \ \ \ \ \ (2)

Definição 3 Chama-se imagem da função { f }, o conjunto { Im } formado por todos elementos { y } de { B } pelos os quais existe { x } em { A }. O conjunto de imagem { Im } é subconjunto do contradomínio { CD } Matematicamente, temos:

\displaystyle   Im(f) \subset CD (f) \ \ \ \ \ (3)

Vamos explicar por diagrama, temos:

— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —

Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.

Resolução

-O domínio é { D(f)=A=(-2,-1,0) }

-O contradomínio é { CD(f)=B=(-3,-2,-1,0,3) }

-A Imagem é { Im(f)=(-2,-1,3) }

Exercício 2

Seja a função { f=2x-1 } de { A=(0,1,4,5) } em { B=(-1,0,1,2,3,5,7,9)},com { x\in A } e { y\in B },

determinar o domínio, o contradomínio e a imagem.

Resolução

– O domínio é { D(f)=A=(0,1.4,5) }

– O contradomínio é { CD(f)=B=(-1,0,1,2,3,5,7,9) }

– A imagem será determinada atribuindo a variável { x } todos os valores do domínio na lei dada, os seus resultados serão as imagens.

logo, temos:

Para { x=0 }, temos: { f(0)=2(0)-1 \leftrightarrow f(0)=0-1 \leftrightarrow f(0)=-1 }

Para { x=1 }, temos: { f(1)=2(1)-1 \leftrightarrow f(0)=2-1 \leftrightarrow f(0)=1 }

Para { x=4 }, temos: { f(4)=2(4)-1 \leftrightarrow f(4)=8-1 \leftrightarrow f(0)=7 }

Para { x=5 }, temos: { f(5)=2(5)-1 \leftrightarrow f(5)=10-1 \leftrightarrow f(5)=9 }

logos, os resultados ou os valores numéricos que determinamos são as imagens. O conjunto é { Im(f)=(-1,1,7,9) }

Vamos ilustrar por diagrama o que acabamos de determinar:

As imagens são todos os elementos do contradomínio ({ CD=B }) indicados pela seta. Assim, temos: { Im=(-1,1,7,9) }

Exercício 3

Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função:

Resolução

– O domínio da função é: { D(f)=A=(-4,-2,0,2) }

– O contradomínio é igual a imagem: { CD=Im=(-1,1,4,5) }

O contradomínio é igual a imagem porque todos os elementos de contradomínio têm ligação com os elementos do domínio como ilustra a figura a cima.

Exercício 4

Seja a relação { f:\mathbb{R \rightarrow \mathbb{N}} } definida por { f(x)=x^{2}+x-2 },

determinar:

{ a) } O domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) } A imagem dos elementos do domínio {-3 } e { -1 }

Resolução

{ a) } { D(f)=\mathbb{R}} claramente.

{ b) } { CD(f)=\mathbb{N}} claramente.

{ c) } Segundo a terceira definição, a imagem deve ser um elemento do contradomínio.

Analisando, temos:

Para { x=-3 }, temos: { f(-3)=(-3)^{2}-3-2 \leftrightarrow f(-3)=9-5 \leftrightarrow f(-3)=4}.

Como { 4\in \mathbb{N}}, então é a imagem de { -3 }

Para { x=-1 }, temos: { f(-1)=(-1)^{2}-1-2 \leftrightarrow f(-1)=1-3 \leftrightarrow f(-2)=-2 }.

Como { -2\notin \mathbb{N}}, então não é a imagem. ou seja { -1 } não tem imagem.

como { -1 } é um elemento do domínio e não tem imagem, então a relação dada nesse caso, também não define a função.

Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.

Exercício 5

Dada a função { f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} de definida por
{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-3 & se \ x\in \mathbb{Z};\\ \dfrac{x-3}{3} & se \ x\notin \mathbb{Z} \end{array} \right. }

Determinar:

{ a) } o domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) f(-6) };

{ d) f(\dfrac{3}{2}) };

{ e) f(0,1)} ;

{ f) f(2) }

Resolução

{ a) } {D(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ b)} { CD(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ c) } Como { -6\in\mathbb{Z} }, temos: { f(-6)=-6+2 \leftrightarrow f(-6)=-4 }.

{ d)} Como { \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} },temos: { f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }.

{ e) } como { 0,1\notin\mathbb{Z}}, temos: { f(0,1)=(0,1)^2 \leftrightarrow f(0,1)=0,01 }

{f) } Como { 2\in\mathbb{R} }, temos: { f(2)=2+2 \leftrightarrow f(2)=4 }

Exercício 6

Na função real { f(x)=x+1 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } , então { f(x)=-3 }. Temos: { -3=x+1 \leftrightarrow x+1=-3 \leftrightarrow x=-3-1 \leftrightarrow x=-4 }

{ -3=x+4 \leftrightarrow x+4=-3 \leftrightarrow x=-3-4 \leftrightarrow x=-7 } logo os elemento do domínio são: { -7 } e { -4 }

Exercício 7

Na função real { \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x+2 & se \ x<2;\\ x^2 & se \ x\geq 2 \end{array} \right. } determinar o elemento do domínio cuja imagem é { 6 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } e como { 6 } é imagem da função, temos: { f(x)=6 }.

Temos:

{ 6=x^2-3 \leftrightarrow x^2-3=6 \leftrightarrow x^2=6+3 \leftrightarrow x^2=9 \leftrightarrow x=\pm 3 \Longleftrightarrow x_{1}=3} não satisfaz porque não está no intervalo { x<2 } e {x_{2}=-3 }satisfaz porque está ao intervalo referido.

{ 6=\dfrac{x-3}{3} \leftrightarrow \dfrac{x-3}{3}=6 \leftrightarrow x-3=18 \leftrightarrow x=21} satisfaz porque está no intervalo definida pela própria função dada que é { x\geq 2 }

logo os elemento do domínio são: { -3 } e { 21 }

— 3. Determinação da imagem da função quadrática —

Dada a função geral, { f(x)=ax^2+bx+c }

se { a>0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

se { a<0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\leq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

Exercício 8

Determinar a imagem da função { f(x)=x^2+x-20} definida { \mathbb{R} }.

Resolução

{f(x)=x^2+x-20} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=1 }, { b=1 } e { c=-20 }

segundo, vamos determinar o { \vartriangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(1)^2-4(1)(-20) \leftrightarrow \vartriangle=81 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{ 4a} } { = \dfrac{-81}{4}}

Como { a=1 \rightarrow a>0 }, logo:

{ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \geq \dfrac{-81}{4} \rbrace }

Exercício 9

Determinar a imagem da função { f(x)=-3x^2+6x+3} definida em { \mathbb{R}}.

Resolução

{f(x)=-3x^2+6x-3} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=-3 }, { b=6 } e { c=-3 }

Segundo, vamos determinar o { \triangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(6)^2-4(-3)(3) \leftrightarrow \vartriangle=72 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{4a} } { = \dfrac{-72}{-12}=6}

Como { a=-3 \rightarrow a<0 }, logo: { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \leq 6 \rbrace }

Exercício 10 Determinar { k } na função { f(x)=2x^2-5x+k } definida em { \mathbb{R} } para que a imagem seja { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8} \rbrace }

Resolução

Vamos começar da seguinte maneira:

Como { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8}\rbrace \rightarrow \dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8}}.

Como { a=2 }, { b=-5 } e { c=k }, Calculando o { \vartriangle }, temos:

{ \vartriangle=(-5)^2-4(2)(k) \leftrightarrow \vartriangle=25-8k}

Substituir { a=2 } e a expressão anterior na igualdade {\dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8} },

temos: {\dfrac{-25+8k}{8}=\dfrac{7}{8} \leftrightarrow -25+8k=-7 \leftrightarrow 8k=32 \leftrightarrow k=4 }

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10 comentários

  1. A resolução do exercício 5 usa a função apresentada no exercício 7, e a resolução do exercício 7 vice versa…

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    • { d)} Como { \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} },temos: { f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }.
      ainda outro erro, 3/3 = 1, como tal se fosse este o valor apresentado na alinea d) o mesmo pertence ao grupo dos Z…

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  2. LucianoPedrosa diz:

    Muito ruim a resolução no exercício 4,foi direto sem explicação,
    em f(-6)= -6 +2. que dois é esse?

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  3. Elisa Pimentel diz:

    o exercício 9 está errado -4x-3x-3 é -36
    6 ao quadrado é 36 -36 =0 e não 72

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  4. Poliana Alessa Gomes das Neves diz:

    OLÁ,Gostei das resoluções desse site, mais fiquei em duvidas na resolução da questão três, como eu já sei minha imagem, sem fazer o calculo, na hora da ligações do elementos, fiquei perdida. Alguém pode me ajudar?

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    • Sergio Muaqueia diz:

      Essa figura apenas é um exemplo de funçao. Nao se calcula nada. O importante era pra demonstrar o domínio ou conjunto d Objectos, q sao os elementos d A ou ond partem as setas. E o contradominio ou imagem sao os elementos de B mas q tem pelomenos um correspondent em A. Espero ter t ajudad

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  5. Sergio Muaqueia diz:

    Oy gostei muito da resoluçao dos problemas, sugiro k nas proximas ocasioes incluem problemas como funçoes compostas e radiciaçao…

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