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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

10/03/2020 8:08 pm / 1 comentário em 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

Exercício 4 Considere o micro-sistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que na temperatura de ${16 \ ^oC}$ , a peça I, tem tamanho igual ${2 \ cm}$ , enquanto que a peça II possui apenas ${1 \ cm}$ de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas por uma pequena distância ${d}$ igual à ${6 \cdot 10^{-3}\ cm}$ . Sabendo que o coeficiente de dilatação linear da peça I é igual a ${4 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ e que o coeficiente de dilatação linear dada peça II é igual à ${5 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ , qual deverá ser a temperatura do sistema, em graus Celsius, para que as duas peças estejam afastadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .
Trata-se de um exercício sobre dilatação linear, quando um corpo o sistema é submetido a variações de temperaturas.A figura do enunciado, na situação 1 apresenta o fenómeno quando o sistema estava em uma temperatura ${t_o}$ e as peças tinham comprimentos ${l_{o1}}$ e ${l_{o2}}$ , respectivamente, e estavam separadas a uma distância ${d}$ .

A situação 2, representada na figura a seguir, apresenta o fenómeno de dilatação, quando o sistema sofre variação de temperatura ${t_o}$ para ${t}$ e as dimensões das peças também variam de ${l_{o1}}$ para ${l_1}$ e de ${l_{o2}}$ para ${l_2}$ , respectivamente, e a distâncias entre as peças aumenta de ${d}$ para ${2d}$ .

Dados

${t_o =16 \ ^oC}$

${l_{o1} = 2 \ cm}$

${l_{o2} = 1 \ cm}$

${d = 6 \cdot 10^{-3} \ cm}$

${\alpha_1 = 4 \cdot 10^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${ \alpha_2 = 5 \cdot 10^{-5} \ ^o C^{-1}}$

${t \longrightarrow ?}$ ${d' = 2d}$

Temos a equação de dilatação linear que é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o\Delta t$

A equação da dilatação para as peças será:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccccc} \Delta l_1 &=& \alpha_1 l_{o1}\Delta t\ \ (1)\\ \Delta l_2 &=& \alpha_2 l_{o2}\Delta t\ \ (2) \end{array} \right.$

Para que as peças estejam separadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ , é necessário que as duas peça se comprimam a uma distância total igual a ${d}$ , como vimos na figura anterior.

Assim é suficiente que:

$\displaystyle \Delta l_1 = l_1 - l_{o1}\ \ \ e\ \ \Delta l_2 = l_2 - l_{o2}$

Sabemos que: ${\Delta l_1+ \Delta l_2=-d}$ . A diminuição total de comprimento deve ser d. O sinal de menos (-) aparece devido ao facto de estarmos a lidar com uma diminuição de comprimento (variação negativa). Então:

$\displaystyle -d = \alpha_1 l_{o1}\Delta t + \alpha_2 l_{o2}\Delta t$

$\displaystyle \Rightarrow -d = \Delta t (\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2})$

Isolando ${\Delta t}$ na equação, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-d}{\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2}}$

Substituindo os valores:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-6 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} }{4 \cdot 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-5} \cdot 1 \cdot 10^{-2} }$

$\displaystyle \Delta t = -46,15 \ ^oC$

Sabemos que a variação da temperatura é dada por:

$\displaystyle \Delta t = t - t_o$

$\displaystyle ou \ t - t_o = \Delta t$

Isolando ${t}$ , tem-se:

$\displaystyle t = \Delta t + t_o$

Substituindo os valores de ${\Delta t}$ e ${t_o}$ , tem-se:

$\displaystyle t = -46,15 \ ^oC + 16 \ ^oC$

$\displaystyle t = -30,15 \ ^oC$

Exercício 5 Dois corpos, A e B, de massas ${ m_{A} = 600 \ g }$ e ${ m_{B} = 300 \ g }$ , são aquecidos separadamente por uma mesma fonte que lhes fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min}$ . O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura ${ \theta }$ dos corpos em função do tempo ${t}$ para o aumento dessa temperatura.

Determine:

A relação entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos ${ (c_{B}/c_{A})}$ .
Depois de quanto tempo o corpo A atinge a temperatura de ${ 90 \ ^{o}C }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .O problema em questão está relacionado a calorimetria. São dados dois corpos A e B que são aquecidos separadamente através de uma mesma fonte que fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min }$ . Esta quantidade de calor por unidade de tempo que a fonte fornece aos corpos representa a potência da fonte, isto é: ${ P_{F}=300 \ cal/min }$ . Então temos os seguintes dados.

Dados

${ m_{A}=600 \ g}$

${ m_{B}=300 \ g}$

${ P_{F}=300 \ cal/min}$

Buscaremos as equações da quantidade de calor para os corpos A e B.Da calorimetria sabemos que:
$\displaystyle Q=m \cdot c \cdot \Delta \theta \ \ \ \ \ (9)$

Onde:
m – massa da substância;
c – calor específico da substância;
${ \Delta \theta}$ = ${(\theta_{f} - \theta_{i})}$ – variação de temperatura.

Então temos para o corpo A:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA}) \ \ \ \ \ (10)$

Para o corpo B:

$\displaystyle Q_{B}=m_{B} \cdot c_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iB}) \ \ \ \ \ (11)$

Por outro lado, sabe-se que ambos os corpos, A e B, são aquecidos por uma mesma fonte com potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ . De acordo com gráfico, os dois corpos são aquecidos durante um intervalo de tempo ${ \Delta t=10 \ minutos }$ .

Sendo assim, os dois corpos recebem a mesma quantidade de calor, isto é, ${ Q_{A}=Q_{B}=P_F \cdot \Delta t}$ .

Dividindo a equação 5 pela 5, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{Q_{B}}{Q_{A}}= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB}-\theta_{iB}}{\theta_{fA}-\theta_{iA}})$

$\displaystyle \Rightarrow 1= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}})$

Isolando a razão ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}}$ , obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_A}= \dfrac{1}{\dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}}}$

Aplicando a regra de divisão de frações, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{m_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})}{m_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iA})}$

O gráfico inicial dá-nos para o corpo A:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC\\ \theta_{fA}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Para o corpo B:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iB}=20 \ ^oC\\ \theta_{fB}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Substituindo os dados, obtemos: ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{600 \cdot(30-10)}{300 \cdot(30-20)}}$

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$

Então, a razão entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos é:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$
Para determinamos o tempo em que o corpo A atinge a temperatura de ${90 ^oC}$ , precisaremos conhecer em primeiro lugar o seu calor específico( ${c_A}$ ). Vamos obter o valor de ${ c_{A}}$ (calor especifico do corpo A) fazendo a análise através do gráfico.Para o corpo A:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC \\ \theta_{fA}=30 \ ^oC \\ \end{array}\right.$

Consideremos a equação:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{a} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Entretanto, sabemos que:

$\displaystyle P_{F}=\dfrac{Q_{A}}{\Delta t}$

Isolando ${Q_{A}}$ , temos:

$\displaystyle Q_{A}=P_{F} \cdot \Delta t$

Neste caso:

$\displaystyle P_{F} \cdot \Delta t=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Onde: ${ \Delta t=(t_{f} - t_{i})}$ – Intervalo de tempo.

Então:

$\displaystyle P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando ${ c_{A}}$ :

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})}{m_{A}(\theta_{fA} - \theta_{iA})}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{300 \cdot(10-0)}{600 \cdot(30-10)}=0,25$

$\displaystyle c_{A}=0,25 \ cal/g \cdot \ ^oC$

Obs: Não fizemos conversão pelo SI, mas determinamos a unidade equivalente.

Agora, analisando para um novo intervalo de tempo desconhecido, buscamos o tempo necessário para que o corpo A atinja a temperatura de ${ 90 \ ^oC}$ , isto é, ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ .

Sabemos que:

$\displaystyle Q_{A} =m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

$\displaystyle \Rightarrow P_{F} \cdot(t_{F} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A}\cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando o intervalo de tempo ${ t_{f} - t_{i}}$ , obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{m_{A} \cdot c_{A}(\theta_{FA} - \theta_{iA})}{P_{F}}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{600 \cdot 0,25 \cdot(90-10)}{300}$

$\displaystyle ( t_{f} - t_{i})=40 \ min$

Como no inicio, de acordo ao gráfico, o corpo A em ${ t_{i}=0}$ tem temperatura ${ \theta_{iA}=10 \ ^oC}$ , como substituindo acima, então temos:

$\displaystyle t_{f}- 0 =40 \ min$

$\displaystyle t_{f}=40 \ min$

Portanto, o corpo A atinge de ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ depois de ${ 40 \ min}$ sendo aquecido pela fonte de potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ .

Exercício 6 Como resultado de um aumento de temperatura de ${36 \ ^oC}$ , uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (ver figura abaixo). Se a distância fixa ${L_o}$ é de ${3,78\ m}$ e o coeficiente de dilatação linear da barra é de ${26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$ , determine a altura ${x}$ do centro da barra.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 6Trata-se do fenómeno de dilatação térmica devido a variação de temperatura. Quando a barra se dilatar, o seu tamanho (comprimentos) aumenta. Fruto desse aumento de comprimento e do orifício já existente, a barra divide-se em duas partes iguais. Se a barra dilatada tem comprimento final ${ L }$ , então cada uma das partes (metades) da barra dilatada mede ${ \dfrac{L}{2} }$ .

Na figura acima, designamos:

A – ponto fixo de ligação da barra a uma extremidade:

B – centro da distancia fixa ${ L_o }$ ;

C – ponto onde, acima do centro, onde a barra se dobra.

{Dados}

${ \Delta t = 36 \ ^oC}$

${ L_o = 3,78 \ m}$

${ \alpha = 26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$

${ x \longrightarrow? }$

Do triângulo ABC, é válido o Teorema de Pitágoras:

$\displaystyle \Big( \dfrac{L}{2} \Big)^2 = x^2 + \Big( \dfrac{L_o}{2} \Big)^2$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{L^2}{4} = x^2 + \dfrac{ L_o^2 }{4}$

$\displaystyle x^2 = \dfrac{L^2}{4} - \dfrac{L_o^2}{4} = \dfrac{L^2 - L_o^2 }{4}$

Isolando ${x}$ :

$\displaystyle x = \sqrt{ \dfrac{ L^2 - L_o^2 }{4}} \Rightarrow x= \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2}}{\sqrt{4}}$

$\displaystyle x = \dfrac{\sqrt{L^2 - L_o^2}}{2} \ \ \ \ \ (12)$

Antes da variação da temperatura a barra tinha o comprimento igual à ${L_o}$ . Depois da variação da temperatura a barra passou a ter um comprimento igual à ${L}$ .

Pela lei da dilatação linear, temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T$

Com ${ \alpha }$ em ${ ^oC^{-1}}$ e ${ \Delta t }$ em ${ ^o C }$ . A partir desta equação podemos determinar ${L}$ .

Como ${ \Delta L = L - L_o }$ , então:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T \Rightarrow L - L_o = \alpha L_o \Delta T$

$\displaystyle L = \alpha L_o \Delta t + L_o \Rightarrow L = L_o (\alpha\Delta t + 1) \ \ \ \ \ (13)$

Substituindo 13 em 12, tem-se:

$\displaystyle x = \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{[L_o (\alpha\Delta t + 1)]^2 - L_o^2}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2(\alpha\Delta t + 1)^2 - L_o^2}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\sqrt{L_o^2[(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1]}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{L_o\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{L_o}{2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{3,78 \ m}{2} \cdot \sqrt{(26 \cdot 10^{-6} \cdot 36 \ + 1)^2 - 1}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 0,082 \ m \ \Rightarrow x= 8,2 \ cm$

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)

09/27/2020 8:26 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —

— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —

Exercício 1 Um quadrado de área interna de ${2,35 \ m^{2}}$ foi montado com duas hastes de alumínio ${(\alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1} )}$ e duas hastes de aço ${(\alpha_{Aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1})}$ , todos inicialmente à mesma temperatura de ${27 \ ^{o}C}$ , conforme a figura abaixo. O sistema é, então, submetido a um processo de aquecimento, de forma que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura final de ${100 \ ^{o}{\mathbb C}}$ .

Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 1 .

O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área ${ A_{o}=2,35 \ m^{2}}$ limitada por duas hastes de alumínio e duas hastes de aço sob uma temperatura ${ t_{o}=27\ ^{o}C}$ .

Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que:

$\displaystyle A_{o}=l_{o Aco} \cdot l_{o Al} \ \ \ \ \ (1)$

Onde:
${ l_{o Aco}}$ – Comprimento da haste de aço.

${ l_{o Al}}$ – Comprimento da haste de alumínio.

Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição:

$\displaystyle l_{o Aco}=l_{o Al}=l_o \ \ \ \ \ (2)$

Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento ${ l_{o}}$ inicialmente.

Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de ${ 100\ ^{o}C}$ , cada uma das hastes, de alumínio e aço, dilatam e ganham novos comprimento ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ que são diferentes, pois os seus coeficientes de dilatação linear são diferentes, com ${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ e ${ \alpha_{Aco}= 1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ .

Dados:
${ A_{0}=2,35 \ m^{2}}$
${ t_{0}=27\ ^{o}C}$
${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ \alpha_{aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ t=100 \ ^{o}C}$

Depois do aquecimento até ${ t=100 \ ^{o}C}$ , as hastes de alumínio ainda permanecem perpendiculares as hastes de aço, conforme enunciado. Logo, como o aumento nos comprimentos nas hastes, temos uma nova área.

Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ , de alumínio e aço respectivamente.

$\displaystyle A=l_{Al} \cdot l_{Aco} \ \ \ \ \ (3)$

Pela figura acima percebe-se que:

$\displaystyle l_{Al}=l_{o} + \Delta l_{Al} \ \ \ \ \ (4)$

$\displaystyle l_{Aco}=l_{o} + \Delta l_{Aco} \ \ \ \ \ (5)$

Onde: ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ são os aumentos nos comprimentos das hastes, devido o aquecimento, do alumínio e do aço, respectivamente.

Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos:

$\displaystyle A= (l_{o}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{o}+ \Delta l_{Aco}) \ \ \ \ \ (6)$

Determinamos ${ l_{o}}$ pela equação 3:

$\displaystyle A_{o}=l_{o} \cdot l_{o} \Rightarrow A_{o}=l^{2}_{o}$

Invertendo a igualdade:

$\displaystyle l^{2}_{o}=A_{o} \Rightarrow l_{o} = \sqrt{A_{o}}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle l_{o}=\sqrt{2,35}=1,533 \ m$

$\displaystyle \\ l_{o}=1,533 \ m$

Determinemos ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ através da relação da dilatação linear.

Para o alumínio:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=l_{o} \cdot \alpha_{Al} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (7)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=1,533 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Al}=2,685 \cdot 10^{-3} \ m$

Para o aço:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=l_{Aco} \cdot \alpha_{Aco} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (8)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,533 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}(100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,343 \cdot 10^{-3} \ m$

Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é:

$\displaystyle A=(l_{Al}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{Aco}+ \Delta l_{Aco})$

$\displaystyle A=(1,533+2,685 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,533+1,343 \cdot 10^{-3})$

$\displaystyle A=2,356 \ m^{2}$

Exercício 2 Uma ponte tem comprimento ${L_1 = 145 \ m}$ à temperatura de ${{26} \ ^oC}$ . É construída de uma liga metálica especial com o coeficiente de expansão térmica ${\alpha = 1 \cdot 10^{-5} \ (^o{\mathbb C}^{-1})}$ . Calcule o comprimento ${L_2}$ da ponte quando a temperatura for de ${{43} \ ^oC}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura.

Dados

${L_1=145 \ m}$

${t_1 ={26} \ ^oC}$

${\alpha=1 \cdot 10 \ ^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${L_2 \longrightarrow?}$

${t_2 ={43} \ ^oC}$

A equação da dilatação térmica de um sólido é:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t$

Mas ${\Delta L=L_2 - L_1 \ }$ e ${\Delta t = t_2 - t_1}$ .
Substituindo na equação anterior temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t \Rightarrow L_2 - L_1 = \alpha L_1(t_2 - t_1)$

Isolando ${L_2}$ , tem-se:

$\displaystyle L_2 = \alpha L_1(t_2 - t_1) + L_1 \Rightarrow L_2 = L_1[\alpha (t_2 - t_1) + 1]$

Substituindo os valores:

$\displaystyle L_2= 145 \ [1 \cdot 10^{-5} \ (43 - 26) + 1]$

$\displaystyle L_2 = 145,025 \ m$

Exercício 3 Na temperatura ambiente ( ${26 \ ^oC}$ ) os carris dos caminhos de ferro são montados em unidades de ${12 \ m}$ de comprimento. Entre duas destas unidades fica sempre uma distância de ${8,7 \ mm}$ livre para compensar expansão térmica dos carris. Calcule a temperatura máxima ${T}$ , que considerou o projectista? O coeficiente da expansão térmica do aço utilizado é de ${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima ${T}$ considerada pelo projectista é suficiente que a variação do comprimento de cada peça seja igual a distância livre entre elas.

Dados

${t_o ={26} \ ^oC}$

${l_o = 12\ m}$

${d = 8,6\ mm = 8,6\cdot 10^{-3}\ m}$

${t \longrightarrow?}$

${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$

A equação da dilatação linear é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o \Delta T)$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta l = \alpha l_o (t - t_o)\$

Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins.

Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, ${\Delta l = d}$ . Substituindo na relação anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o (t - t_o) \Rightarrow d = \alpha l_o (t - t_o)$

Isolando ${t}$ :

$\displaystyle t - t_o = \dfrac{d}{\alpha l_o} \Rightarrow t = \dfrac{d}{\alpha l_o} + t_o$

Substituindo os valores de ${t}$ , ${l_o}$ , ${d}$ e ${\alpha}$ na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle t = \dfrac{8,6 \cdot 10^{-3}}{1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 12} + 26$

$\displaystyle t = 91,15 \ ^oC$

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1.3. Expansão térmica

11/20/2015 12:02 am / Deixe um comentário

Como vimos, o funcionamento do termómetro a gás baseia-se no princípio de expansão térmica… Mas, o que é isso de expansão térmica?

A expansão térmica está associada com o aumento das dimensões (comprimento, área ou volume) de um corpo ou substância qualquer, devido ao aumento de temperatura.

Os mais atentos já puderam observar no dia-a-dia muitas situações de expansão térmica… A expansão térmica vai explicar porquê é que não podemos acelerar demasiado o motor do nosso carro; porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio rebenta após congelar e reduzir consideravelmente de temperatura; porquê é que os balões de ar aquecido voam; etc.

A consequência da dilatação térmica é que a maioria das substâncias, quando submetidas a um aumento de temperatura aumentam também o seu volume.

“Algumas”, porquê? Porque há algumas substâncias que , em certas condições violam este princípio… O exemplo mais simples e comum destas substâncias é a água, que, para temperaturas inferiores a 4ºC, invés de ter uma dilatação térmica, tem uma compressão térmica, isto é, a medida que a temperatura aumenta, o volume diminui. Isto para já explica a razão de que o gelo flutue sobre a água, visto que é menos denso do que ela (para uma mesma massa de água e gelo, o gelo ocupará um volume maior do que a água).

Isto também explica o porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio, rebenta, após reduzir consideravelmente de temperatura (convertendo-se em gelo, e esfriando mais, consequentemente, dilatando mais).
Nota: por isso é que os fabricantes de refrigerantes e outras bebidas líquidas deixam um pequeno espaço sem liquido no interior da garrafa.

A dilatação térmica está, na realidade, associada ao significado microscópico da temperatura e tem dois sentidos de interpretação diferentes: no caso dos sólidos e líquidos, e no caso dos gases.

Como sabemos, a matéria é formada por átomos agregados em moléculas que ficam ligadas umas com as outras (no caso de sólidos e líquidos) ou que se movem quase que livremente (no caso dos gases).

Num sólido ou num líquido, ao aumentarmos a temperatura, estamos aumentando a energia de vibração das moléculas. Lembra-te de que o modelo físico de um sólido é o de um conjunto de moléculas ligadas entre si, mas com pequenos espaços intermoleculares, onde cada molécula vibra em torno de um ponto fixo.

Figura 4: Modelo físico do sólido. [7]

Naturalmente, o aumento das vibrações entre as moléculas levará a que as moléculas sedam parte da sua energia para as moléculas vizinhas, afastando-a mais (para ganhar mais espaço para poder vibrar mais). Isto conduzirá a um aumento das distâncias intermoleculares, conduzindo assim num aumento das dimensões (volume, comprimento, ária) do sólido. Nos líquidos, apesar de a distâncias intermoleculares serem maiores e as interacções intermoleculares também, mas o processo se dá por motivos muito semelhantes.

Nos gases, a dilatação térmica ocorre também, mais por razões diferentes. O modelo de um gás é o de um conjunto de moléculas (monoatómicas, diatómicas ou poliatómicas) que se movem quase que livremente, e que chocam sucessivamente umas com as outras. Explicar com palavras, por vezes é difícil, mas aprendi com um aluno numa das minhas aulas de Física 2, que para imaginarmos o comportamento de um gás monoatómico devemos observar a animação de protecção de ecrã “bolinhas coloridas” ou “bolhas” que vem em algumas edições do sistema operativo Windows.

Portanto, num gás, quando aumentamos a temperatura, estamos aumentando a energia cinética das moléculas que o constituem, ou seja, estamos aumentando a velocidade do movimento de translação (e, eventualmente, de rotação) das suas moléculas. Com isso, aumentarão significativamente as colisões intermoleculares, o que conduzirá a um aumento de pressão, e se as paredes que contêm o gás forem facilmente móveis, conduzira a um aumento de volume. Vale lembrar que o facto de os gases serem muito mais compressíveis do que os líquidos e sólidos, faz com que nem sempre um aumento de temperatura conduza a um aumento de pressão.

— 1.3.3. Dilatação Linear —

A dilatação linear é abordada com mais ênfase nos sólidos, pois , como sabemos, os sólidos têm forma própria. Nos líquidos e nos gases não tem muito de se falar de dilatação linear, visto que eles não têm forma própria, e portanto, quando aquecidos, dilatam- se por onde encontram “espaço livre”.

Imaginemos um corpo sólido qualquer . Vamos supor que uma das suas dimensões (comprimento, largura ou altura) será ${L_0}$ para uma dada temperatura ${T}$ . Se aumentarmos a sua temperatura em ${\Delta T}$ , cada uma das suas dimensões também sofrerá um aumento, no caso de ${L_0}$ , será ${\Delta L}$ . Poderíamos pensar que este aumento é aleatório, mas não. Poderíamos também pensar que toda a elevação de temperatura igual em diferentes barras, mas feitas de um mesmo material ocasionariam um mesmo aumento de tamanho, mas também não. A dilatação linear vai depender da matéria que se dilata, da magnitude da grandeza que se dilata e das diferenças de temperatura.

A dependência da matéria de que é constituída o material que se dilata é descrita através do coeficiente de dilatação linear ( ${ \alpha}$ ) que vai caracterizar o aumento de magnitude em função da diferença de temperaturas e do comprimento inicial. A unidade de ${\alpha}$ no SI é o ${(^0C)^(-1)}$ .

Figura 5: Coeficientes de dilatação linear de algumas substâncias. [7]

A dependência do comprimento é vista do seguinte modo: se pegarmos em duas barras do mesmo material, mas onde o comprimento da primeira é igual ao dobro do comprimento da segunda e submetermos ambas a uma mesma variação de temperatura, iremos observar que o aumento de comprimento da primeira barra será também igual ao dobro da segunda barra.

A dependência da variação da temperatura é vista do seguinte modo: A mesma barra de comprimento ${L_0}$ , se for submetida a um aquecimento ou arrefecimento que produza uma variação de temperatura “absoluta” ${\Delta T_1}$ ou em outra circunstância for submetida a uma variação de temperatura ${\Delta T_2}$ que seja igual ao dobro de ${\Delta T_1}$ , então veremos que na segunda situação a barra terá uma dilatação igual ao dobro da dilatação da primeira.

Portanto,os diversos parâmetros da dilatação linear estão relacionados a partir da seguinte equação:

$\displaystyle \Delta L = L_0 . \alpha . \Delta T \ \ \ \ \ (7)$

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de comprimento e não para o comprimento final… O comprimento final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

$\displaystyle L= L_0+ \Delta L = L_0 + L_0 . \alpha . \Delta T = L_0 ( 1 + \alpha . \Delta T) \ \ \ \ \ (8)$

Quando se diminui a temperatura, a luz do que foi postulado anteriormente, as dimensões do corpo também diminuem, mas relações continuam a ser exactamente as mesmas.

Esta formula para a dilatação linear não é exacta, visto que o coeficiente de dilatação linear da maioria das substâncias sofre também variações com a temperatura, mas ela é válida para pequenas variações de temperatura, e, em geral é aplicada deste modo nos estudos mais simples de Física.

— 1.3.4. Dilatação volumétrica —

A dilatação volumétrica ocorre segundo as mesmas leis que a dilatação linear, mas é o um conceito que pode ser aplicado tanto em sólidos, líquidos ou gases. Na realidade é o único que se pode aplicar em líquidos , visto que nestes não se pode falar de dilatação linear.

Quando submetemos um sólidos ou líquido a um aquecimento (ou esfriamento), o seu volume aumenta (ou diminui). Este aumento ou diminuição de volume é, de igual modo como na dilatação linear, directamente proporcional ao volume inicial, ao coeficiente de dilatação volumétrica e a variação de temperatura.

Imaginemos uma substância qualquer (solida ou líquida) . Vamos supor que o seu volume inicial seja ${V_0}$ para uma dada temperatura ${T}$ . Se aumentarmos a sua temperatura em ${\Delta T}$ , o seu volume sofrerá um aumento ${\Delta V}$ .

O aumento de volume será dado pela seguinte equação:

$\displaystyle \Delta V = V_0 . \beta . \Delta T \ \ \ \ \ (9)$

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de volume e não para o volume final… O volume final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

$\displaystyle V= V_0+ \Delta V = V_0 + V_0 . \beta . \Delta T = V_0 ( 1 + \beta . \Delta T) \ \ \ \ \ (10)$

O parâmetro ${\beta}$ é chamado de coeficiente de dilatação volumétrica, o seu valor varia de substância para substância.

Figura 6: Coeficientes de dilatação volumétrica de algumas substâncias. [7]

É necessário recordar que, para os sólidos, o coeficiente de dilatação volumétrica é igual ao triplo do coeficiente de dilatação linear.

$\displaystyle \beta = 3 . \alpha \ \ \ \ \ (11)$

Nos sólidos, alem de se falar de dilatação linear e volumétrica, também pode se falar em dilatação superficial, que obedecerá a princípios semelhantes, e cujo coeficiente ${\gamma}$ obedecerá à relação:

$\displaystyle \gamma = 2 . \alpha \ \ \ \ \ (12)$

— Referências Bibliográficas —

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F. F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

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Tag Archives: Dilatação Térmica

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1.3. Expansão térmica

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