— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos , a distancia entre o objecto e o espelho e a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas , e do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto (Ver fig. 41). O Ponto é o objecto e o Ponto será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto , quando for refletido, irá passar pelo ponto . Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto do espelho.

No triângulo , o ângulo interno no vértice é . A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser , então , o que nos dá :

 

De modo análogo, no triângulo , o ângulo interno no vértice é . A soma dos ângulos internos deve ser , então , o que nos dá:

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos , e . Para ângulos muitos pequenos, os ângulos e também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações e . O mesmo será válido para e para .

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

 

 

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando , obtemos:

 

Como , então podemos escrever:

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

• Se o objecto é real: .
• Se o objecto é virtual: .
• Se a imagem é real: .
• Se a imagem é virtual: .
• Se o espelho é côncavo: .
• Se o espelho é convexo: .

Podemos também deduzir a relação entre e a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, e a imagem será formada no foco, ou seja, . Substituindo isso na equação 35, obtemos:

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio , logo:. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de para a altura do objecto e para a altura da imagem, então a ampliação será:

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos e da figura 2, temos:

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se então o objecto é directo (para cima) e se então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

• Se é positiva, a imagem tem o mesmo sentido que o objecto .
• Se é negativa, a imagem tem sentido contrário ao do objecto .
• Se a imagem é maior que o objecto.
• Se a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].