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Exercícios resolvidos

Vamos acompanhar a resolução de alguns exercícios.

Exercício 1

${200g}$

${500g}$

${20^0C}$

${300g}$

${100^0C}$

${ c_{agua}=4190 J/kg.K, c_{Al}=0,9 kJ/kg.K }$

R: Como dados, temos: ${m_{cal} = 200g = 0,2 kg,}$ ${ m_{A} = 500g = 0,5 kg , }$
${m_{Al} = 300 g = 0,3 kg, }$

${ T_{A} = 20 ^0C = 293 K = T_{cal},}$

${ T_{Al} = 100^0C = 373 K , }$

${ c_{A} = 4190 J/kg.K, }$

${c_{Al} = 900 J/kg.K}$

Como sabemos, ao juntarmos estes materiais, haverá troca de calor entre eles, ou seja, o calorímetro e a água, por estarem mais frios, vão receber calor do pedaço de alumínio, que está mais quente. Pelos valores das temperaturas do problema, e considerando as massas envolvidas, sabemos logo que o equilíbrio termodinâmico será atingido em uma temperatura entre ${293 K}$ e ${373 K}$ …

Partindo do princípio que não se perde calor para o exterior, a soma das quantidades de calor do sistema tem de ser nulas [o calor cedido por um corpo é sempre absorvido por outro corpo no sistema). Como o problema não envolve mudança de fase (mudança de estado de agregação), então teremos apenas três quantidades de calor:

${ Q_{A} = m_{A} . c_{A} . (T_F - T_{A}) }$

${ Q_{Cal} = m_{Cal} . c_{Al} . (T_F - T_{Cal}) }$

${ Q_{Al} = m_{Al} . c_{Al} . (T_F - T_{Al})}$

Como ${Q_{A} + Q_{Cal} + Q_{Al} = 0}$

${ \Rightarrow m_{A}. c_{A} . (T_F-T_{A}) + m_{Cal}. c_{Al} . (T_F-T_{Cal}) + m_{Al}. c_{Al} . (T_F - T_{Al})=0}$

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

${m_{A}. c_{A} . T_F-m_{A}. c_{A} .T_{A}+m_{Cal}. c_{Al} . T_F-m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal}}$

${+m_{Al}. c_{Al} . T_F-m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}=0}$

${ \Rightarrow}$

${m_{A}. c_{A} . T_F +m_{Cal}. c_{Al} . T_F +m_{Al}. c_{Al} . T_F = m_{A}. c_{A} .T_{A} }$

${ + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}$

Factorizando a temperatura de equilíbrio ${T_F}$ e isolando-a, obtemos:

${ T_F= \frac{m_{A}. c_{A} .T_{A} + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}{m_{A}. c_{A} +m_{Cal}. c_{Al} +m_{Al}. c_{Al} }=301,5K=28,5^0C }$

Exercício 2

${5 atm}$

${500 K}$

${1 atm}$

a)A temperatura final do gás.
b)O volume final do gás.
c)O trabalho realizado pelo gás.
a)R: Temos como dados: ${n=0,5 mol,}$ ${ i=3 \Rightarrow \gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,67 }$
(Hélio é um gás monoatómico),

${ p_1= 5 atm = 5,065.10^5 Pa,}$

${ T_1=500K,}$

${ p_2=1 atm = 1,013.10^5 Pa,}$

${ R=8,31 J/mol. K}$
O processo realizado é uma expansão adiabática. A equação para um processo adiabático com pressões e temperaturas pode ser obtida dividindo a equação ${p_1. V_1^\gamma=p_2.V_2^\gamma}$ pela equação ${\frac{p_1^\gamma. V_1^\gamma}{T_1^\gamma} =\frac{p_2^\gamma. V_2^\gamma}{T_2^\gamma}}$ .

A equação resultante será:

${ p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma= p_2^{1-\gamma}. T_2^\gamma. }$

Isolando ${T_2}$ , ficamos com: ${ T_2=({\frac{p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma}{p_2^{1-\gamma}}})^{\frac{1}{\gamma}}=262,1K }$
b)R: como conhecemos a temperatura e a pressão do estado 2, podemos determinar o seu volume aplicando a equação de estado para um gás ideal: ${V_2=n.R.T_2/p_2 = 0,01075 m^3}$ .
c)R: Podemos calcular o trabalho aplicando a primeira lei da termodinâmica. ${\Delta U= Q - W}$ . Como o processo é adiabático, então ${Q=0}$ , logo ${W=-\Delta U = -\frac{i}{2}.n.R.(T_2-T_1)=1482,7 J}$

Exercício 3

Uma maquina térmica que opera com o ciclo reversível de Carnot, recebe calor de um depósito térmico a alta temperatura e conta com uma eficiência térmica de ${ 57,89\% }$ produzindo ${2932 J}$ de trabalho em cada ciclo. Se o calor cedido vais para o ambiente que está a ${27^0C}$ , Determine:

a) A temperatura da fonte quente.
b) A máquina cumpre com a desigualdade de Clausius? Justifique.
a)R:Temos como dados: ${W=2932 J,}$
${T_C=27^0C=300K,}$

${\eta=57,89\%=0,5789}$

Para o ciclo de Carnot, sabemos que ${\eta=1-\frac{T_C}{T_H}}$ . Isolando ${T_H}$ , temos: ${T_H=\frac{T_C}{1-\eta}=712,4K=439,4^0C}$
b) R: O ciclo de Carnot é composto por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos. Para o caso de motor, recebe calor na fonte quente e sede calor a fonte fria. Considerando os processos 1-2 expansão isotérmica, 2-3 expansão adiabática, 3-4 compressão isotérmica e 4-1 compressão adiabática, então a variação de entropia no ciclo será ${\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41}}$ . Nos processos 2-3 e 4-1 não há variação de entropia. Logo: ${\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{34}= \frac{Q_H}{T_H}+\frac{(-Q_C)}{T_C}.}$ Para o ciclo de Carnot ${\frac{Q_C}{Q_H} =\frac{T_C}{T_H} \Rightarrow \frac{Q_C}{T_C} =\frac{Q_H}{T_H}}$ , então ${\Delta S= 0}$ , o que cumpre com a desiguldade de Clausius, que diz ${\Delta S\geq 0}$ .

Exercício 4

${V=60cm^3}$

${\frac{1}{4}}$

${1g/cm^3}$

a) A massa específica do bloco.
b) A tensão no fio, antes de ser cortado.

a) R: Primeiro devemos tirar todos os dados e passa-los para o Sistema Internacional (S.I.). ${V=60cm^3=60.10^{-6} m^3}$ ${\rho_{agua}=1g/cm^3=1000kg/m^3}$
Quando o bloco flutua, o volume da parte imersa é ${V_{im}=\frac{3.V}{4}=\frac{3.60.10^{-6}}{4}=45.10^{-6}m^3}$ De acordo com o princípio de Arquímedes, para o bloco flutuar é necessário que o Empuxo compense o peso do bloco, ou seja, ${E=P\Rightarrow \rho_{liq}.V_{im}.g=\rho_{bloco}.V_{bloco}.g}$ Isolando a densidade do bloco, obtemos: ${\rho_{bloco}=\frac{\rho_{liq}.V_{im}}{V}=750 Kg/m^3}$ .
b) R: Quando o corpo está preso no fundo do recipiente por um fio, actuam nele três forças: Peso ou Força de gravidade, Força de Arquimedes ou Empuxo e Força de Tensão (no fio). O peso e a tensão actuam verticalmente de cima para baixo, enquanto que a força de Empuxo actua verticalmente de baixo para cima. Neste caso temos: ${ P+T=E\Rightarrow T=E-P=\rho_{liq}.V_{im}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g }$ Como, nesta situação, o bloco está completamente submerso, então ${V_{bloco}=V_{im}}$ logo, ${ T=\rho_{liq}.V_{bloco}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g =0,147N}$