1. A equação da posição.
2. A equação da velocidade.
3. A aceleração após ela ter passado pelo extremo negativo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

O exercício apresenta um problema simples de MHS. O objectivo é determinar as equações da posição e da velocidade, bem como a posição num instante dado. Para obter as equações da posição e da velocidade, basta encontras as constantes destas equações (, e ) e substitui-las.

Para obter a aceleração no instante dado, primeiro vamos obter o instante, por análise gráfica, e em seguida vamos substituir este instante na equação da aceleração.

Dados

1. A equação da posição de uma partícula em MHS pode ser dada na forma:

   

   Como o enunciado não diz nada sobre a situação da partícula no instante inicial , então podemos considerar que:

   

   Sabendo que e que , então:

   

   Então, substituindo os valores obtidos na equação do MHS, teremos:

   

   

2. A velocidade de uma partícula é definida como a derivada da sua posição em função do tempo,ou seja:

   

   

   

   

3. Para saber essa aceleração, primeiro precisamos saber quanto tempo a partícula demora, para chegar até à posição do extremo negativo, partindo da posição de equilíbrio.

   Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:

   • Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
   • Sai deste 1º extremo para a posição de equilíbrio.
   • Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º extremo, no lado oposto).
   • Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.

   Esta é a descrição de um ciclo completo.

   O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período ().

   Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração, para o MHS. Esta duração é de ou seja, .

   Do estudo generalizado da função seno, conhecemos o gráfico genérico da figura a seguir.

   

   Observamos então que, para atingir o extremo negativo, partindo da posição de equilíbrio, passa 3/4 do ciclo. Neste caso, o tempo que leva a completar este movimento até ao extremo negativo é .

   Neste caso, o instante referido no enunciado (1 segundo após passar pelo extremo negativo) será:

   

   Agora basta determinarmos a equação da aceleração que por definição,é a derivada da velocidade da partícula.

   

   

   

   Fazendo , temos:

   

   

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

O problema apresenta-nos um MHS onde é conhecida a frequência e a amplitude. Nos é pedido para determinarmos o tempo que a partícula leva para sair de uma posição para outra.

A resolução deste problema consiste em escrever a equação do MHS, e para as duas posições, formar duas equações. Em seguida, resolvemos o sistema de equações de acordo com a regra escolhida.\

Para calcularmos esse tempo, primeiro, precisamos saber como a partícula se move ao longo dessa recta. Para isso, temos que escrever a sua equação da posição.

Como a escolha do referencial de tempo não tem influência sobre os cálculos, e o problema não oferece referencial de tempo nenhum, consideraremos o instante inicial como sendo nulo: .

Dados

.
;

.

;

A equação da posição de uma partícula em MHS pode ser dada na forma:

Sabemos que . Logo:

Logo ,temos:

Resta sabermos o valor de . Apesar de não definir o valor de , mas o problema nos dá informações da posição em certo instante. Logo, isso define o valor de .

O exercício informa que, no instante inicial , a partícula se encontrava na posição . Colocando na equação da posição, isso quer dizer que:

Simplificando , obtemos:

Como, no instante a partícula caminhava para posições negativas, ou seja, a sua posição diminuía, então escolhemos o ângulo de , pois esse é que conscide a um decrescimento no gráfico da função seno.

Logo, temos que:

Agora precisamos saber o tempo t que a partícula demora para chegar até . Vamos usar a equação da posição:

Note: . Neste caso, como estamos a analisar um movimento oscilatório, e queremos o menor tempo, usaremos o .

Isolando t, obtemos:

1. Determine a amplitude e o período para esse movimento.
2. Escreva a função elongação, usando função cosseno.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

A amplitude é lida directamente no gráfico. O período é obtido por interpretação do gráfico, escolhendo dois pontos especiais da oscilação (extremos, posições de equilíbrio, etc.). Com estes dados, após determinação da fase inicial (), é possível escrever a equação deste MHS.

1. Precisamos primeiro recolher os dados a partir do gráfico. Observe a figura:

   

   No gráfico, observamos claramente que .

   Também podemos notar o tempo que o corpo leva a sair de um extremo ao outro. Ele está num extremo no instante e no outro no instante . Neste caso, o corpo demorou para sair de um extremo ao outro. Sabemos que, num MHS, o tempo que o corpo leva a sair de um extremo para o outro é igual a metade do período. Logo:

   

   

   

2. A função da elongação pode ser dada na forma ou .

   Sabemos que . Logo:

   

   Sendo que em , o corpo se encontra na posição de equilíbrio,então, substituindo na equação da posição (o enunciado pede para usarmos função cosseno), obtemos:

   

   

   

   

   

   

   Considerando que no gráfico dado, na posição inicial e nos instantes imediatamente a seguir, o corpo desce (movimenta-se para o sentido negativo), então, com base no gráfico genérico da função cosseno, escolheremos o valor de .

   Então, substituindo na equação do MHS, temos: