Domínio contradomínio e imagem de função.

— 1. Introdução —

Não existe uma função ${ f }$ sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.

Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função ${ f }$ : ${ A \rightarrow B }$ . Por diagrama, temos:

Definição 1 -Chama-se domínio da função ${ f }$ , o conjunto D de todos elementos ${ x }$ do conjunto A. Matematicamente, temos:

$\displaystyle D(f)=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert \forall x\in A\rbrace \rightarrow D(f)=A \ \ \ \ \ (1)$

Definição 2 – Chama-se contradomínio da função ${ f }$ , o conjunto ${ CD }$ de todos elementos de ${ B }$ . Matematicamente, temos:

$\displaystyle CD(f)=\lbrace y \in \mathbb{R} \vert \forall y \in B \rbrace \rightarrow CD=B \ \ \ \ \ (2)$

Definição 3 Chama-se imagem da função ${ f }$ , o conjunto ${ Im }$ formado por todos elementos ${ y }$ de ${ B }$ pelos os quais existe ${ x }$ em ${ A }$ . O conjunto de imagem ${ Im }$ é subconjunto do contradomínio ${ CD }$ Matematicamente, temos:

$\displaystyle Im(f) \subset CD (f) \ \ \ \ \ (3)$

Vamos explicar por diagrama, temos:

— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —

Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.

Resolução

-O domínio é ${ D(f)=A=(-2,-1,0) }$

-O contradomínio é ${ CD(f)=B=(-3,-2,-1,0,3) }$

-A Imagem é ${ Im(f)=(-2,-1,3) }$

Exercício 2

Seja a função ${ f=2x-1 }$ de ${ A=(0,1,4,5) }$ em ${ B=(-1,0,1,2,3,5,7,9)}$ ,com ${ x\in A }$ e ${ y\in B }$ ,

determinar o domínio, o contradomínio e a imagem.

Resolução

– O domínio é ${ D(f)=A=(0,1.4,5) }$

– O contradomínio é ${ CD(f)=B=(-1,0,1,2,3,5,7,9) }$

– A imagem será determinada atribuindo a variável ${ x }$ todos os valores do domínio na lei dada, os seus resultados serão as imagens.

logo, temos:

Para ${ x=0 }$ , temos: ${ f(0)=2(0)-1 \leftrightarrow f(0)=0-1 \leftrightarrow f(0)=-1 }$

Para ${ x=1 }$ , temos: ${ f(1)=2(1)-1 \leftrightarrow f(0)=2-1 \leftrightarrow f(0)=1 }$

Para ${ x=4 }$ , temos: ${ f(4)=2(4)-1 \leftrightarrow f(4)=8-1 \leftrightarrow f(0)=7 }$

Para ${ x=5 }$ , temos: ${ f(5)=2(5)-1 \leftrightarrow f(5)=10-1 \leftrightarrow f(5)=9 }$

logos, os resultados ou os valores numéricos que determinamos são as imagens. O conjunto é ${ Im(f)=(-1,1,7,9) }$

Vamos ilustrar por diagrama o que acabamos de determinar:

As imagens são todos os elementos do contradomínio ( ${ CD=B }$ ) indicados pela seta. Assim, temos: ${ Im=(-1,1,7,9) }$

Exercício 3

Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função:

Resolução

– O domínio da função é: ${ D(f)=A=(-4,-2,0,2) }$

– O contradomínio é igual a imagem: ${ CD=Im=(-1,1,4,5) }$

O contradomínio é igual a imagem porque todos os elementos de contradomínio têm ligação com os elementos do domínio como ilustra a figura a cima.

Exercício 4

Seja a relação ${ f:\mathbb{R \rightarrow \mathbb{N}} }$ definida por ${ f(x)=x^{2}+x-2 }$ ,

determinar:

${ a) }$ O domínio;

${ b) }$ O contradomínio;

${ c) }$ A imagem dos elementos do domínio ${-3 }$ e ${ -1 }$

Resolução

${ a) }$ ${ D(f)=\mathbb{R}}$ claramente.

${ b) }$ ${ CD(f)=\mathbb{N}}$ claramente.

${ c) }$ Segundo a terceira definição, a imagem deve ser um elemento do contradomínio.

Analisando, temos:

Para ${ x=-3 }$ , temos: ${ f(-3)=(-3)^{2}-3-2 \leftrightarrow f(-3)=9-5 \leftrightarrow f(-3)=4}$ .

Como ${ 4\in \mathbb{N}}$ , então é a imagem de ${ -3 }$

Para ${ x=-1 }$ , temos: ${ f(-1)=(-1)^{2}-1-2 \leftrightarrow f(-1)=1-3 \leftrightarrow f(-2)=-2 }$ .

Como ${ -2\notin \mathbb{N}}$ , então não é a imagem. ou seja ${ -1 }$ não tem imagem.

como ${ -1 }$ é um elemento do domínio e não tem imagem, então a relação dada nesse caso, também não define a função.

Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.

Exercício 5

Dada a função ${ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ de definida por
${ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-3 & se \ x\in \mathbb{Z};\\ \dfrac{x-3}{3} & se \ x\notin \mathbb{Z} \end{array} \right. }$

Determinar:

${ a) }$ o domínio;

${ b) }$ O contradomínio;

${ c) f(-6) }$ ;

${ d) f(\dfrac{3}{2}) }$ ;

${ e) f(0,1)}$ ;

${ f) f(2) }$

Resolução

${ a) }$ ${D(f)=\mathbb{R}}$ é evidente.

${ b)}$ ${ CD(f)=\mathbb{R}}$ é evidente.

${ c) }$ Como ${ -6\in\mathbb{Z} }$ , temos: ${ f(-6)=-6+2 \leftrightarrow f(-6)=-4 }$ .

${ d)}$ Como ${ \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} }$ ,temos: ${ f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }$ .

${ e) }$ como ${ 0,1\notin\mathbb{Z}}$ , temos: ${ f(0,1)=(0,1)^2 \leftrightarrow f(0,1)=0,01 }$

${f) }$ Como ${ 2\in\mathbb{R} }$ , temos: ${ f(2)=2+2 \leftrightarrow f(2)=4 }$

Exercício 6

Na função real ${ f(x)=x+1 }$

Resolução

Como a função é real então ${ x\in\mathbb{R} }$ , então ${ f(x)=-3 }$ . Temos: ${ -3=x+1 \leftrightarrow x+1=-3 \leftrightarrow x=-3-1 \leftrightarrow x=-4 }$

${ -3=x+4 \leftrightarrow x+4=-3 \leftrightarrow x=-3-4 \leftrightarrow x=-7 }$ logo os elemento do domínio são: ${ -7 }$ e ${ -4 }$

Exercício 7

Na função real ${ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x+2 & se \ x<2;\\ x^2 & se \ x\geq 2 \end{array} \right. }$ determinar o elemento do domínio cuja imagem é ${ 6 }$

Resolução

Como a função é real então ${ x\in\mathbb{R} }$ e como ${ 6 }$ é imagem da função, temos: ${ f(x)=6 }$ .

Temos:

${ 6=x^2-3 \leftrightarrow x^2-3=6 \leftrightarrow x^2=6+3 \leftrightarrow x^2=9 \leftrightarrow x=\pm 3 \Longleftrightarrow x_{1}=3}$ não satisfaz porque não está no intervalo ${ x<2 }$ e ${x_{2}=-3 }$ satisfaz porque está ao intervalo referido.

${ 6=\dfrac{x-3}{3} \leftrightarrow \dfrac{x-3}{3}=6 \leftrightarrow x-3=18 \leftrightarrow x=21}$ satisfaz porque está no intervalo definida pela própria função dada que é ${ x\geq 2 }$

logo os elemento do domínio são: ${ -3 }$ e ${ 21 }$

— 3. Determinação da imagem da função quadrática —

Dada a função geral, ${ f(x)=ax^2+bx+c }$

se ${ a>0 }$ a imagem será ${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }$

se ${ a<0 }$ a imagem será ${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\leq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }$

Exercício 8

Determinar a imagem da função ${ f(x)=x^2+x-20}$ definida ${ \mathbb{R} }$ .

Resolução

${f(x)=x^2+x-20}$ é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes ${ a=1 }$ , ${ b=1 }$ e ${ c=-20 }$

segundo, vamos determinar o ${ \vartriangle }$

${\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(1)^2-4(1)(-20) \leftrightarrow \vartriangle=81 }$

Por fim, temos: ${ \dfrac{-\vartriangle}{ 4a} }$ ${ = \dfrac{-81}{4}}$

Como ${ a=1 \rightarrow a>0 }$ , logo:

${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \geq \dfrac{-81}{4} \rbrace }$

Exercício 9

Determinar a imagem da função ${ f(x)=-3x^2+6x+3}$ definida em ${ \mathbb{R}}$ .

Resolução

${f(x)=-3x^2+6x-3}$ é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes ${ a=-3 }$ , ${ b=6 }$ e ${ c=-3 }$

Segundo, vamos determinar o ${ \triangle }$

${\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(6)^2-4(-3)(3) \leftrightarrow \vartriangle=72 }$

Por fim, temos: ${ \dfrac{-\vartriangle}{4a} }$ ${ = \dfrac{-72}{-12}=6}$

Como ${ a=-3 \rightarrow a<0 }$ , logo: ${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \leq 6 \rbrace }$

Exercício 10 Determinar ${ k }$ na função ${ f(x)=2x^2-5x+k }$ definida em ${ \mathbb{R} }$ para que a imagem seja ${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8} \rbrace }$

Resolução

Vamos começar da seguinte maneira:

Como ${ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8}\rbrace \rightarrow \dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8}}$ .

Como ${ a=2 }$ , ${ b=-5 }$ e ${ c=k }$ , Calculando o ${ \vartriangle }$ , temos:

${ \vartriangle=(-5)^2-4(2)(k) \leftrightarrow \vartriangle=25-8k}$

Substituir ${ a=2 }$ e a expressão anterior na igualdade ${\dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8} }$ ,

temos: ${\dfrac{-25+8k}{8}=\dfrac{7}{8} \leftrightarrow -25+8k=-7 \leftrightarrow 8k=32 \leftrightarrow k=4 }$

11 comentários

Sayonara Carvalho Machado Gonçalves diz:

09/11/2016 às 8:00 pm

otimos exercicios

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Rui Teixeira diz:

12/01/2016 às 4:29 pm

A resolução do exercício 5 usa a função apresentada no exercício 7, e a resolução do exercício 7 vice versa…

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- Rui Teixeira diz:
  
  12/01/2016 às 4:33 pm
  
  { d)} Como { \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} },temos: { f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }.
  ainda outro erro, 3/3 = 1, como tal se fosse este o valor apresentado na alinea d) o mesmo pertence ao grupo dos Z…
  
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LucianoPedrosa diz:

02/16/2017 às 6:00 pm

Muito ruim a resolução no exercício 4,foi direto sem explicação,
em f(-6)= -6 +2. que dois é esse?

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Elisa Pimentel diz:

03/26/2017 às 10:36 pm

o exercício 9 está errado -4x-3x-3 é -36
6 ao quadrado é 36 -36 =0 e não 72

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- Sergio diz:
  
  09/29/2017 às 12:01 pm
  
  Esta corecta a resoluçao tenx k prestar os sinais
  -4×(-3)×3=+36
  
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- Sergio Muaqueia diz:
  
  09/29/2017 às 12:08 pm
  
  Copiaram erradamente a funçao na resoluçao. seria -3x²+6x+3, e nao -3x²+6x-3
  
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Poliana Alessa Gomes das Neves diz:

06/08/2017 às 6:41 pm

OLÁ,Gostei das resoluções desse site, mais fiquei em duvidas na resolução da questão três, como eu já sei minha imagem, sem fazer o calculo, na hora da ligações do elementos, fiquei perdida. Alguém pode me ajudar?

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- Sergio Muaqueia diz:
  
  09/29/2017 às 12:18 pm
  
  Essa figura apenas é um exemplo de funçao. Nao se calcula nada. O importante era pra demonstrar o domínio ou conjunto d Objectos, q sao os elementos d A ou ond partem as setas. E o contradominio ou imagem sao os elementos de B mas q tem pelomenos um correspondent em A. Espero ter t ajudad
  
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Sergio Muaqueia diz:

09/29/2017 às 12:23 pm

Oy gostei muito da resoluçao dos problemas, sugiro k nas proximas ocasioes incluem problemas como funçoes compostas e radiciaçao…

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qwsqwsqw diz:

02/19/2018 às 9:36 pm

TUDO ERRADO,TUDO ERRADO.

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