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Mecânica Quântica – Revisões III

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— 10. Cálculo de Variações —

Definição 1 Um funcional é uma operação matemática que faz corresponder um elemento de um espaço vectorial a um número real.

Seja {\displaystyle J = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(x),y\prime (x),x\}dx}. Vamos supor que que {x_1} e {x_2} são constantes e que a expressão matemática de {f} é conhecida.

De acordo com a definição 1 {J} é um funcional e o objectivo do cálculo de variações é determinar {y(x)} tal que o valor de {J} é um extremo (ponto de derivada nula).

Seja {y=y(\alpha, x)} uma representação paramétrica de {y} tal que {y(0,x)=y(x)} é uma função que faz com que {J} seja um extremo.

Podemos escrever {y(\alpha, x)=y(0,x)+ \alpha\eta(x}, onde {\eta (x)} é uma função de {x} de classe {C^1} (função contínua cuja primeira derivada também é contínua) com {\eta (x_1)=\eta (x_2)=0}.

Ora {J} é da forma {\displaystyle J(\alpha) = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(\alpha, x),y\prime (\alpha, x),x\}dx}

Assim a condição de estacionaridade para {J} é

\displaystyle  \displaystyle \frac{dJ}{d\alpha}(\alpha=0)=0

Exemplo 1 Seja {y(x)=x} e {y(\alpha, x)= x+ \alpha\sin x} uma representação paramétrica de {y}. Seja {f=\left(dy/dx\right)^2}, {x_1=0} e {x_2=2\pi}. Dada a equação paramétrica anterior determine {\alpha} que minimize {J}.

Temos {\eta (0)=\eta (2\pi)=0} e {dy/dx=1+\alpha\cos x}.

Assim {\displaystyle J(\alpha)= \int_0^{2\pi}(1+2\alpha\cos x +\alpha^2\cos ^2x)dx=2\pi+\alpha^2\pi}.

Pela forma de {J(\alpha)} é trivial que {\alpha=0} minimiza {J(\alpha)}.

Exercício 1 Dado os pontos {(x_1,y_1)=(0,0)} e {(x_2,y_2)=(1,0)}, calcule a equação da curva que minimiza a distância entre os dois pontos.

Temos {y(\alpha, x)=y(0,x)+\alpha \eta (x) = 0+\alpha(x^2-x)}.

E é também {\eta (x) = x^2-x}, {ds=\displaystyle \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx}

Logo é {s= \displaystyle \int _0^1 \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx} com {dy/dx=\alpha (2x-1)}.

O resto do exercício fica para o leitor terminar.

— 11. Equação de Euler —

Nesta secção vamos analisar a condição de estacionaridade para {J}:

{\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \frac{\partial}{\partial \alpha} \int _{x_1}^{x_2}f(y,y\prime,x)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{\partial y\prime}{\partial \alpha}\right) dx \end{aligned}}

Uma vez que é {\partial y /\partial \alpha = \eta (x)} e {\partial y\prime /\partial \alpha = d\eta/dx} segue que

\displaystyle  \displaystyle \frac{\partial J}{\partial \alpha}= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta (x)+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}\right) dx

Ora

\displaystyle \displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}dx=\frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}- \int _{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx

Para o primeiro termo temos

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}=0

uma vez que {\eta (x_1)=\eta (x_2)=0} por hipótese.

Logo

{\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}- \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right) \frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx \end{aligned}}

Relembrando que {\partial J / \partial\alpha(\alpha=0)=0} e notando que {\eta (x)} é uma função arbitrária podemos concluir

\displaystyle  \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0

Que é conhecida na literatura como Equação de Euler.

Exemplo 2 Como exemplo vamos tentar determinar as equações de movimento de uma partícula que se move sob a acção de um campo de força constante iniciando o seu movimento do estado de repouso tendo como coordenadas iniciais {x_1, y_1} e coordenadas finais {x_2, y_2}.

Do enunciado sabemos que {K+U=c}. Tomando a origem como sendo o ponto de referência para o nosso potencial fica {K+U=0}.

Por definição é {k=1/2mv^2} e para a energia potencial temos {U=-Fx=-mgx}. Da equação anterior vem {v=\sqrt{2gx}}.

Da definição de velocidade vem

\displaystyle  \displaystyle t=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2} \frac{ds}{v}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gx}}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{1+y\prime^2}}{\sqrt{2gx}}dx

Seja {f=\sqrt{\frac{1+y\prime^2}{x}}}. Uma vez que {(2g)^{-1/2}} é um factor constante vamos omiti-lo da nossa análise. Dada a expressão de {f} vem que {df/dy=0} e a equação de Euler fica:

\displaystyle  \displaystyle \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0

Da equação anterior vem

\displaystyle  \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}=(2a)^{-1/2}=\mathrm{const}

Logo

{\begin{aligned} \frac{y\prime^2}{x(1+y\prime^2)} &= \frac{1}{2a} \Rightarrow\\ y &= \int \frac{x}{\sqrt{2ax-x^2}}dx \end{aligned}}

Fazendo a mudança de variável {x=a(1-\cos \theta)} temos {dx=a\sin \theta d\theta}. Assim a expressão para {y} é {y=\int a(1-\cos \theta)d\theta\Rightarrow y=a(\theta-\sin \theta)+A}. Uma vez que a nossa partícula começa o movimento na origem é {A=0}.

Assim a solução para o nosso problema é

{\begin{aligned} x &= a(1-\cos \theta) \\ y &= a(\theta-\sin \theta) \end{aligned}}

Que são as equações paramétricas de uma cicloide.

Cicloide

— 12. Equação de Euler para {n} variáveis —

Seja {f} da forma {f=f\{ y_1(x),y\prime _1(x),y_2(x),y\prime _2(x),\cdots,y_n(x),y\prime _n(x), x \}}.

Agora temos {y_i(\alpha, x)= y_i(0,x)+\alpha \eta (x)} e {\displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime} \right)\eta _i (x) dx} para cada valor de {i}. Para {\alpha=0} temos, uma vez que {\eta _i(x)} são funções independentes

\displaystyle  \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime}=0

Ou seja temos {n} equações de Euler independentes.

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1 Comentário

  1. […] função pode ser identificada com a função que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes […]

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