Mecânica Quântica – Revisões III

— 10. Cálculo de Variações —

Definição 1 Um funcional é uma operação matemática que faz corresponder um elemento de um espaço vectorial a um número real.

Seja $J = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(x),y\prime (x),x\}dx$ . Vamos supor que que ${x_1}$ e ${x_2}$ são constantes e que a expressão matemática de ${f}$ é conhecida.

De acordo com a definição 1 ${J}$ é um funcional e o objectivo do cálculo de variações é determinar ${y(x)}$ tal que o valor de ${J}$ é um extremo (ponto de derivada nula).

Seja ${y=y(\alpha, x)}$ uma representação paramétrica de ${y}$ tal que ${y(0,x)=y(x)}$ é uma função que faz com que ${J}$ seja um extremo.

Podemos escrever ${y(\alpha, x)=y(0,x)+ \alpha\eta(x}$ , onde ${\eta (x)}$ é uma função de ${x}$ de classe ${C^1}$ (função contínua cuja primeira derivada também é contínua) com ${\eta (x_1)=\eta (x_2)=0}$ .

Ora ${J}$ é da forma $J(\alpha) = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(\alpha, x),y\prime (\alpha, x),x\}dx$

Assim a condição de estacionaridade para ${J}$ é

$\displaystyle \displaystyle \frac{dJ}{d\alpha}(\alpha=0)=0$

Exemplo 1 Seja ${y(x)=x}$ e ${y(\alpha, x)= x+ \alpha\sin x}$ uma representação paramétrica de ${y}$ . Seja ${f=\left(dy/dx\right)^2}$ , ${x_1=0}$ e ${x_2=2\pi}$ . Dada a equação paramétrica anterior determine ${\alpha}$ que minimize ${J}$ .

Temos ${\eta (0)=\eta (2\pi)=0}$ e ${dy/dx=1+\alpha\cos x}$ .

Assim $J(\alpha)= \int_0^{2\pi}(1+2\alpha\cos x +\alpha^2\cos ^2x)dx=2\pi+\alpha^2\pi$ .

Pela forma de ${J(\alpha)}$ é trivial que ${\alpha=0}$ minimiza ${J(\alpha)}$ .

Exercício 1 Dado os pontos ${(x_1,y_1)=(0,0)}$ e ${(x_2,y_2)=(1,0)}$ , calcule a equação da curva que minimiza a distância entre os dois pontos.

Temos ${y(\alpha, x)=y(0,x)+\alpha \eta (x) = 0+\alpha(x^2-x)}$ .

E é também ${\eta (x) = x^2-x}$ , ${ds=\displaystyle \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx}$

Logo é ${s= \displaystyle \int _0^1 \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx}$ com ${dy/dx=\alpha (2x-1)}$ .

O resto do exercício fica para o leitor terminar.

— 11. Equação de Euler —

Nesta secção vamos analisar a condição de estacionaridade para ${J}$ :

${\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \frac{\partial}{\partial \alpha} \int _{x_1}^{x_2}f(y,y\prime,x)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{\partial y\prime}{\partial \alpha}\right) dx \end{aligned}}$

Uma vez que é ${\partial y /\partial \alpha = \eta (x)}$ e ${\partial y\prime /\partial \alpha = d\eta/dx}$ segue que

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial J}{\partial \alpha}= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta (x)+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}\right) dx$

Ora

$\displaystyle \displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}dx=\frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}- \int _{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx$

Para o primeiro termo temos

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}=0$

uma vez que ${\eta (x_1)=\eta (x_2)=0}$ por hipótese.

Logo

${\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}- \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right) \frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx \end{aligned}}$

Relembrando que ${\partial J / \partial\alpha(\alpha=0)=0}$ e notando que ${\eta (x)}$ é uma função arbitrária podemos concluir

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0$

Que é conhecida na literatura como Equação de Euler.

Exemplo 2 Como exemplo vamos tentar determinar as equações de movimento de uma partícula que se move sob a acção de um campo de força constante iniciando o seu movimento do estado de repouso tendo como coordenadas iniciais ${x_1, y_1}$ e coordenadas finais ${x_2, y_2}$ .

Do enunciado sabemos que ${K+U=c}$ . Tomando a origem como sendo o ponto de referência para o nosso potencial fica ${K+U=0}$ .

Por definição é ${k=1/2mv^2}$ e para a energia potencial temos ${U=-Fx=-mgx}$ . Da equação anterior vem ${v=\sqrt{2gx}}$ .

Da definição de velocidade vem

$\displaystyle \displaystyle t=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2} \frac{ds}{v}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gx}}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{1+y\prime^2}}{\sqrt{2gx}}dx$

Seja ${f=\sqrt{\frac{1+y\prime^2}{x}}}$ . Uma vez que ${(2g)^{-1/2}}$ é um factor constante vamos omiti-lo da nossa análise. Dada a expressão de ${f}$ vem que ${df/dy=0}$ e a equação de Euler fica:

$\displaystyle \displaystyle \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0$

Da equação anterior vem

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}=(2a)^{-1/2}=\mathrm{const}$

Logo

${\begin{aligned} \frac{y\prime^2}{x(1+y\prime^2)} &= \frac{1}{2a} \Rightarrow\\ y &= \int \frac{x}{\sqrt{2ax-x^2}}dx \end{aligned}}$

Fazendo a mudança de variável ${x=a(1-\cos \theta)}$ temos ${dx=a\sin \theta d\theta}$ . Assim a expressão para ${y}$ é ${y=\int a(1-\cos \theta)d\theta\Rightarrow y=a(\theta-\sin \theta)+A}$ . Uma vez que a nossa partícula começa o movimento na origem é ${A=0}$ .

Assim a solução para o nosso problema é

${\begin{aligned} x &= a(1-\cos \theta) \\ y &= a(\theta-\sin \theta) \end{aligned}}$

Que são as equações paramétricas de uma cicloide.

cycloid

— 12. Equação de Euler para ${n}$ variáveis —

Seja ${f}$ da forma ${f=f\{ y_1(x),y\prime _1(x),y_2(x),y\prime _2(x),\cdots,y_n(x),y\prime _n(x), x \}}$ .

Agora temos ${y_i(\alpha, x)= y_i(0,x)+\alpha \eta (x)}$ e $\int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime} \right)\eta _i (x) dx$ para cada valor de ${i}$ . Para ${\alpha=0}$ temos, uma vez que ${\eta _i(x)}$ são funções independentes

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime}=0$

Ou seja temos ${n}$ equações de Euler independentes.

1 Comentário

Mecânica Quântica – Revisões IV « Luso Academia diz:

07/19/2015 às 11:03 am

[…] função pode ser identificada com a função que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes […]

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