Início » 04 Ensino Superior » 02 Física » Mecânica Quântica – Revisões II

Mecânica Quântica – Revisões II

Estatística do blog

  • 275,688 académicos

De modo a receber actualizações do nosso blog via email clique em Seguir.

Junte-se a 777 outros seguidores

No artigo anterior demos os primeiros passos nos métodos matemáticos da Mecânica Clássica. É objectivo deste artigo introduzimos alguns conceitos físicos e complementarmos as ferramentas matemáticas apresentadas no primeiro artigo.

— 8. Coordenadas curvilíneas —

Por vezes usar coordenadas cartesianas para descrevermos o movimento de uma partícula não é o mais eficiente e optamos por utilizar um sistema de coordenadas mais adequado ao movimento em questão e temos que utilizar coordenadas curvilíneas. Os sistemas utilizados de forma mais frequente são os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

— 8.1. Coordenadas polares —

Quando estamos a estudar sistemas a duas dimensões que exibem uma simetria circular a melhor maneira de proceder é usando coordenadas polares.

Neste sistema de coordenadas em vez de usarmos {x_1} e {x_2}, usamos uma coordenada radial {r} que expressa a distância entre um dado ponto e a origem e uma coordenada angular {\theta}. Esta coordenada angular é igual ao ângulo entre o eixo {x_1} e a posição da partícula medida no sentido contrário aos ponteiros do relógio.

A coordenada radial varia entre {0<r<\infty} e a coordenada angular varia entre {0\leq \theta \leq 2\pi}. Notem que para {r=0} o ângulo {\theta} não está definido e assim a origem é neste sistema de coordenadas uma espécie de singularidade, mas tal deve-se à nossa escolha de sistema de coordenadas e não é intrínseca ao ponto em si.

E como se pode ver na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \cos \theta}
  • {x_2=r \sin \theta}
  • {\theta=\arctan \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)}

— 8.2. Coordenadas Cilíndricas —

Ao estudarmos alguns sistemas tridimensionais muitas vezes somos confrontados com um sistema que exibe uma simetria circular em torno de um dado eixo. Nestes casos o sistema de coordenadas que nos permite escrever as equações de uma forma que a simetria do sistema é patente é o sistema de coordenadas cilíndricas.

Mais uma vez estaremos a usa uma mistura de distâncias radiais e distâncias angulares. Em primeiro lugar vamos somente considerar o plano formado pelos eixos {x_1} e {x_2}. Vamos usar este plano para projectar o vector posição de um ponto. O ângulo entre {x_1}e esta projecção é {\theta}. As outras duas coordenadas são {r} que é a distância entre o ponto em questão e a origem e {x_3} (ou {z}).

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

  • {0 < r < \infty}
  • {0\leq \theta \leq 2\pi}
  • {-\infty < z < \infty}

Como está indicado na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \cos \theta}
  • {x_2=r \sin \theta}
  • {x_3=z}

— 8.3. Coordenadas esféricas —

O último tipo de coordenadas curvilíneas que vamos considerar são as coordenadas esféricas. Este tipo de coordenadas são extremamente úteis quando o sistema em estudo exibe uma simetria circular em torno de três eixos ortogonais entre si.

Desta vez vamos usar uma coordenada radial e duas coordenadas angulares. Tal como fizemos para as coordenadas cilíndricas vamos projectar o vector posição no plano formado pelos eixos {x_1} e {x_2} e definimos {\phi} como sendo o ângulo entre {x_1} e a projecção do vector posição. {r} é a distância entre a origem e o ponto em questão e {\theta} é medido entre {x_3} e o vector posição.

Como podemos ver pela imagem as equações de transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \sin \theta \cos \phi}
  • {x_2=r \sin \theta \sin \phi}
  • {x_3=r \cos \theta}

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

  • {0 < r < \infty}
  • {0 \leq \phi \leq 2\phi}
  • {0 \leq \theta \leq \pi}

— 9. Cálculo Vectorial —

Nesta secção do nosso artigo vamos olhar brevemente para algumas noções do Cálculo Vectorial que são úteis para a Física.

— 9.1. Gradiente, Divergência e Rotacional —

Se {\varphi=\varphi(x_1,x_2,x_3)} é uma função escalar, contínua e diferenciável, já sabemos que é {\varphi'(x_1',x_2',x_3')=\varphi(x_1,x_2,x_3)}. Desta definição segue que

\displaystyle  \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \frac{\partial \varphi}{\partial x_j }\frac{x_j}{x_i'}

A transformação inversa de coordenadas é {x_j= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k}. Calculando a derivada de {x_j} em ordem a {x_i'} é

{\begin{aligned} \dfrac{\partial x_j}{\partial x_i'} &= \dfrac{\partial}{\partial x'_i}\left( \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k \right)\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\dfrac{\partial x'_k}{\partial x_i'}\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\delta_{ik}\\ &=\lambda_{ij} \end{aligned}}

Assim é

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \lambda_{ij}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j }

Pelo que vimos no artigo anterior isto significa que a função {\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_j}} é a componente {j} de um vector.

Se introduzirmos o operador {\nabla} (às vezes chamado de del) cuja definição é

\displaystyle  \nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_3} \right)= \sum_i	\vec{e}_i \frac{\partial}{\partial x_i}

podemos definir o gradiente de uma função escalar {\varphi} como sendo

\displaystyle \nabla\varphi=\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_1},\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_2}, \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_3} \right)

A divergência de um campo escalar, {\vec{A}}, é também um escalar e por definição é:

\displaystyle  \nabla\cdot\vec{A}

Se a divergência de um campo vectorial é positiva num dado ponto tal significa que o ponto em questão é uma fonte do campo. Se a divergência é negativa num ponto então estamos na presença de um sorvedouro do campo vectorial.

Outra entidade vectorial que podemos definir com o operador {\nabla} é o rotacional de um campo vectorial:

\displaystyle  \nabla \times \vec{A}=\sum_{i,j,k}\varepsilon _{ijk}\vec{e}_i\nabla _j A_k

O último operador que vamos definir nesta secção é o Laplaciano. Este operador é o resultado de aplicarmos duas vezes o operador {\nabla}:

\displaystyle  \nabla\cdot\nabla=\sum_i \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_i \frac{\partial ^2}{\partial x^2_i}=\nabla ^2

— 9.2. Integração de vectores —

Quando estamos a lidar com a operação matemática de integração com vectores temos três hipóteses básicas:

  • Integral de volume
  • Integral de superfície
  • Integral de linha

O resultado de integrarmos um vector, {\vec{A}=\vec{A}(x_i)}, ao longo de um volume é também um vector e o resultado é:

\displaystyle   \int_V \vec{A}dv = \left( \int_V A_1 dv, \int_V A_2 dv, \int_V A_3 dv \right) \ \ \ \ \ (1)

Assim para calcularmos o integral de volume de um campo vectorial devemos integrar cada dimensão espacial separadamente.

O resultado de integrarmos a projecção de um campo vectorial {\vec{A}=\vec{A}(x_1)} ao longo de uma superfície é chamado de integral de área.

Um integral de área é sempre calculado utilizando a componente normal de {\vec{A}} ao longo de uma superfície {S}. Assim em primeiro lugar devemos sempre definir a normal da superfície num dado ponto. A normal é representada por {d\vec{a}=\vec{n}da} e temos sempre a ambiguidade de poder escolher duas possíveis direcções ambiguidade que é resolvida ao definirmos a normal como sendo a que aponta na direcção exterior da superfície.

O que temos que calcular é {\vec{A}\cdot d\vec{a}=\vec{A}\cdot \vec{n} da} com:

\displaystyle   \int_S \vec{A}\cdot d\vec{a} = \int_S \vec{A}\cdot \vec{n}da \ \ \ \ \ (2)

O integral de linha é definido ao longo da curva entre dois pontos {B} e {C}. Mais uma vez temos que considerar a normal de {\vec{A}=\vec{A}(x_i)}, sendo que desta vez o que estamos a calcular é:

\displaystyle   \int_{BC} \vec{A}\cdot d\vec{s} \ \ \ \ \ (3)

{d\vec{s}} é o elemento de caminho em {BC} e define-se como sendo positivo no sentido em que o caminho é definido.

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s

%d bloggers like this: