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Mecânica Quântica – Revisões II

No artigo anterior demos os primeiros passos nos métodos matemáticos da Mecânica Clássica. É objectivo deste artigo introduzimos alguns conceitos físicos e complementarmos as ferramentas matemáticas apresentadas no primeiro artigo.

— 8. Coordenadas curvilíneas —

Por vezes usar coordenadas cartesianas para descrevermos o movimento de uma partícula não é o mais eficiente e optamos por utilizar um sistema de coordenadas mais adequado ao movimento em questão e temos que utilizar coordenadas curvilíneas. Os sistemas utilizados de forma mais frequente são os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

— 8.1. Coordenadas polares —

Quando estamos a estudar sistemas a duas dimensões que exibem uma simetria circular a melhor maneira de proceder é usando coordenadas polares.

Neste sistema de coordenadas em vez de usarmos ${x_1}$ e ${x_2}$ , usamos uma coordenada radial ${r}$ que expressa a distância entre um dado ponto e a origem e uma coordenada angular ${\theta}$ . Esta coordenada angular é igual ao ângulo entre o eixo ${x_1}$ e a posição da partícula medida no sentido contrário aos ponteiros do relógio.

A coordenada radial varia entre ${0<r<\infty}$ e a coordenada angular varia entre ${0\leq \theta \leq 2\pi}$ . Notem que para ${r=0}$ o ângulo ${\theta}$ não está definido e assim a origem é neste sistema de coordenadas uma espécie de singularidade, mas tal deve-se à nossa escolha de sistema de coordenadas e não é intrínseca ao ponto em si.

E como se pode ver na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

${x_1=r \cos \theta}$
${x_2=r \sin \theta}$
${\theta=\arctan \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)}$

— 8.2. Coordenadas Cilíndricas —

Ao estudarmos alguns sistemas tridimensionais muitas vezes somos confrontados com um sistema que exibe uma simetria circular em torno de um dado eixo. Nestes casos o sistema de coordenadas que nos permite escrever as equações de uma forma que a simetria do sistema é patente é o sistema de coordenadas cilíndricas.

Mais uma vez estaremos a usa uma mistura de distâncias radiais e distâncias angulares. Em primeiro lugar vamos somente considerar o plano formado pelos eixos ${x_1}$ e ${x_2}$ . Vamos usar este plano para projectar o vector posição de um ponto. O ângulo entre ${x_1}$ e esta projecção é ${\theta}$ . As outras duas coordenadas são ${r}$ que é a distância entre o ponto em questão e a origem e ${x_3}$ (ou ${z}$ ).

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

${0 < r < \infty}$
${0\leq \theta \leq 2\pi}$
${-\infty < z < \infty}$

Como está indicado na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

${x_1=r \cos \theta}$
${x_2=r \sin \theta}$
${x_3=z}$

— 8.3. Coordenadas esféricas —

O último tipo de coordenadas curvilíneas que vamos considerar são as coordenadas esféricas. Este tipo de coordenadas são extremamente úteis quando o sistema em estudo exibe uma simetria circular em torno de três eixos ortogonais entre si.

Desta vez vamos usar uma coordenada radial e duas coordenadas angulares. Tal como fizemos para as coordenadas cilíndricas vamos projectar o vector posição no plano formado pelos eixos ${x_1}$ e ${x_2}$ e definimos ${\phi}$ como sendo o ângulo entre ${x_1}$ e a projecção do vector posição. ${r}$ é a distância entre a origem e o ponto em questão e ${\theta}$ é medido entre ${x_3}$ e o vector posição.

Como podemos ver pela imagem as equações de transformações de coordenadas são:

${x_1=r \sin \theta \cos \phi}$
${x_2=r \sin \theta \sin \phi}$
${x_3=r \cos \theta}$

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

${0 < r < \infty}$
${0 \leq \phi \leq 2\phi}$
${0 \leq \theta \leq \pi}$

— 9. Cálculo Vectorial —

Nesta secção do nosso artigo vamos olhar brevemente para algumas noções do Cálculo Vectorial que são úteis para a Física.

— 9.1. Gradiente, Divergência e Rotacional —

Se ${\varphi=\varphi(x_1,x_2,x_3)}$ é uma função escalar, contínua e diferenciável, já sabemos que é ${\varphi'(x_1',x_2',x_3')=\varphi(x_1,x_2,x_3)}$ . Desta definição segue que

$\displaystyle \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \frac{\partial \varphi}{\partial x_j }\frac{x_j}{x_i'}$

A transformação inversa de coordenadas é ${x_j= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k}$ . Calculando a derivada de ${x_j}$ em ordem a ${x_i'}$ é

${\begin{aligned} \dfrac{\partial x_j}{\partial x_i'} &= \dfrac{\partial}{\partial x'_i}\left( \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k \right)\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\dfrac{\partial x'_k}{\partial x_i'}\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\delta_{ik}\\ &=\lambda_{ij} \end{aligned}}$

Assim é

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \lambda_{ij}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j }$

Pelo que vimos no artigo anterior isto significa que a função ${\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_j}}$ é a componente ${j}$ de um vector.

Se introduzirmos o operador ${\nabla}$ (às vezes chamado de del) cuja definição é

$\displaystyle \nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_3} \right)= \sum_i \vec{e}_i \frac{\partial}{\partial x_i}$

podemos definir o gradiente de uma função escalar ${\varphi}$ como sendo

$\displaystyle \nabla\varphi=\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_1},\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_2}, \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_3} \right)$

A divergência de um campo escalar, ${\vec{A}}$ , é também um escalar e por definição é:

$\displaystyle \nabla\cdot\vec{A}$

Se a divergência de um campo vectorial é positiva num dado ponto tal significa que o ponto em questão é uma fonte do campo. Se a divergência é negativa num ponto então estamos na presença de um sorvedouro do campo vectorial.

Outra entidade vectorial que podemos definir com o operador ${\nabla}$ é o rotacional de um campo vectorial:

$\displaystyle \nabla \times \vec{A}=\sum_{i,j,k}\varepsilon _{ijk}\vec{e}_i\nabla _j A_k$

O último operador que vamos definir nesta secção é o Laplaciano. Este operador é o resultado de aplicarmos duas vezes o operador ${\nabla}$ :

$\displaystyle \nabla\cdot\nabla=\sum_i \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_i \frac{\partial ^2}{\partial x^2_i}=\nabla ^2$

— 9.2. Integração de vectores —

Quando estamos a lidar com a operação matemática de integração com vectores temos três hipóteses básicas:

Integral de volume
Integral de superfície
Integral de linha

O resultado de integrarmos um vector, ${\vec{A}=\vec{A}(x_i)}$ , ao longo de um volume é também um vector e o resultado é:

$\displaystyle \int_V \vec{A}dv = \left( \int_V A_1 dv, \int_V A_2 dv, \int_V A_3 dv \right) \ \ \ \ \ (1)$

Assim para calcularmos o integral de volume de um campo vectorial devemos integrar cada dimensão espacial separadamente.

O resultado de integrarmos a projecção de um campo vectorial ${\vec{A}=\vec{A}(x_1)}$ ao longo de uma superfície é chamado de integral de área.

Um integral de área é sempre calculado utilizando a componente normal de ${\vec{A}}$ ao longo de uma superfície ${S}$ . Assim em primeiro lugar devemos sempre definir a normal da superfície num dado ponto. A normal é representada por ${d\vec{a}=\vec{n}da}$ e temos sempre a ambiguidade de poder escolher duas possíveis direcções ambiguidade que é resolvida ao definirmos a normal como sendo a que aponta na direcção exterior da superfície.

O que temos que calcular é ${\vec{A}\cdot d\vec{a}=\vec{A}\cdot \vec{n} da}$ com:

$\displaystyle \int_S \vec{A}\cdot d\vec{a} = \int_S \vec{A}\cdot \vec{n}da \ \ \ \ \ (2)$

O integral de linha é definido ao longo da curva entre dois pontos ${B}$ e ${C}$ . Mais uma vez temos que considerar a normal de ${\vec{A}=\vec{A}(x_i)}$ , sendo que desta vez o que estamos a calcular é: