Neste artigo pretendemos contar uma história concisa e aperfeiçoada de como e porquê os números apareceram na civilização humana. Por favor não esperem que este artigo seja um relato factual de todas as dificuldades e atribulações que acompanharam o processo. Por exemplo, não nos focaremos em apontar todos os equívocos que atormentaram a concepção dos números negativos durante larga parte da história, nem vamos expor de forma detalhada como números complexos entraram em cena. Aqui, a história não terá falsos começos, nem becos sem saída e tudo fluirá de forma perfeita e racional.

— 1. Operações —

Vamos primeiro introduzir o conceito de uma operação. Para nós, uma operação é um processo onde efectuamos una acção num dado conjunto de números e cujo resultado final é outro número.

Seguidamente vamos somente listar (e não definir) as operações inicialmente consideradas.

• Adição: é representada pelo símbolo , e simbolicamente é .
• Subtracção é definida como a operação inversa de adição e é representada pelo símbolo . Dizemos se e só se .
• Multiplicação é representada pelo símbolo ou e também associa dois números iniciais a um terceiro: .
• Divisão é a operação inversa da multiplicação e é representada pela símbolo . Dizemos que se e só se b. Outra forma de representar é pelo símbolo .

Felizmente para nós,estas não são as únicas operações disponíveis, mas por enquanto são tudo o que precisamos.

Alguns leitores podem estar surpreendidos com o nível de abstração que utilizamos e com o facto de que ainda não sabermos realmente o que de facto são esses números. Para esses leitores dizemos que em Matemática esta é a maneira normal de apresentar as coisas (na verdade a minha exposição carece de algum rigor). Sim, daqui em diante a nossa exposição será um pouco mais descontraída (o que certamente não será de agrado a pessoas com uma exigência maior perante o rigor matemático), mas queríamos dar um pequeno vislumbre do que é a normal exposição destes temas em meios mais formais.

— 2. Números —

Bem, vamos então falar sobre números. Os primeiros números que vamos considerar são os chamados números naturais. O símbolo que os denota é e historicamente apareceram devido à necessidade de enumerarmos quantos objetos de uma determinada classe possuímos:

Onde os símbolos denotam que a lista destes números não termina. Notem que incluímos o número nesta lista. A história do número é fascinante e recomendo aos nossos leitores a investigá-la.

— 2.1. Operações com números naturais —

A fim de amenizar o nível de abstração que utilizamos aquando da introdução de operações matemáticas vamos ver como utilizá-las com números naturais e quais são os seus resultados.

• Adição. No caso especial dos números naturais a adição

  

  pode ser interpretada do seguinte modo:

  é o número onde começamos e é o número de passos que damos e é o número onde paramos após dar os passos.

  é o mesmo que não dar nenhum passo, é o que definimos como dar um passo, e os números naturais que se seguem são definidos em relação a . Por exemplo: nós definimos e assim nós interpretamos como dar um passo e mais um passo a partir de ponto de . Todos os números naturais que se seguem têm as definições e interpretações que os leitores esperam.

• Subtração é a operação inversa da adição. Podemos ver , como sendo um trajecto que se inicia em dando passos para a direita. Assim pode ser visto como sendo um trajecto que se inicia em dando passos para a esquerda.
• Multiplicação é definida como sendo adições consecutivas. Com isso queremos dizer que podemos interpretar como sendo e como sendo . Como podemos ver temos . Em geral, podemos dizer que, para cada número natural é
• Divisão é a operação inversa da multiplicação e, portanto, pode ser vista como subtracções consecutivas.Por exemplo, vamos calcular .Temos . Agora vamos pegar no resultado e subtrair enquanto for possível. e . Visto que foi possível efectuar três subtrações e o resultado final foi dizemos que com o resto .Outro exemplo é . Desta vez é , e aqui não podemos continuar. Visto que fizemos duas subtrações e o resultado final foi dizemos que a dividir por é igual a com resto .

A beleza inerente a este conjunto de números e às quatro operações definidas é que agora todo um reino novo de coisas interessantes e úteis brotam de forma gratuita. Tudo o que precisamos fazer é pensar e ser ambiciosos.

Em primeiro lugar vamos olhar com mais atenção para as operações inversas e os seus resultados e ver o que advém da sua utilização de forma ambiciosa.

— 3. Mais tipos de números… —

— 3.1. Os números negativos —

Primeiro vamos olhar para a subtração quando aplicada aos números naturais. Os números naturais são . Por exemplo e . Esta noção de operação inversa da adição parece funcionar muito bem. No entanto, não precisamos ir muito longe para encontrar alguns possíveis problemas. Calculemos por exemplo . No nosso actual sistema de números não podemos ir sete passos para a esquerda, a partir de três. Mas, naturalmente, queremos que a subtração seja uma operação que esteja sempre definida.

Assim sendo a única opção viável é introduzir números ao conjunto de números que estávamos a considerar até agora. Definimos e , , E assim por diante. Agora subtração é sempre possível. Por exemplo, o anteriormente problemático, fica igual a e o novo sistema de números com que acabamos por ficar é . A este conjunto damos o nome de números inteiros.

Além de fazerem com que a operação de subtracção seja sempre possível os números negativos podem ser utilizados para representar dívidas, alturas abaixo de um nível de referência, etc.

— 3.2. Números racionais —

Depois de termos obtido um novo conjunto de números através da subtração vamos agora construir um novo subconjunto de números, com o fim de tornar a divisão uma operação uma operação bem definida , desde que divisor seja diferente de .

Agora, os casos problemáticos são com . Vamos supor que temos sete pães para dividir por 10 pessoas. Como você faria isso? Se nos limitarmos a números em os pães não podem ser divididos. Assim, para tornar a divisão sempre possível (problema que certamente não carece de motivação prática), temos de aumentar ainda mais o conjunto dos números que estão disponíveis para nós. Estes novos números são chamados de números fracionários. Para o conjunto que é formado pela união do conjunto números fracionários e o conjunto de números inteiros () nós damos o nome de números racionais .

Assim, por exemplo, imaginemos que tem um só pão e você quer compartilhá-lo entre você e dois amigos. Basta simplesmente dividir o pão em três pedaços iguais e já está! O número que representa este processo é . Uma das coisas desconcertantes sobre números fracionários é que eles permitem um número infinito de representações. Temos:

Este problema é contornado com a noção de classes equivalentes, mas uma forma mais pedestre de pensar é voltarmos ao exemplo de divisão de pães e você verá porque as fracções têm o mesmo valor.

— 4. Sumarizando e sintetizando —

Neste ponto, podemos estar muito felizes com o nosso trabalho. Começamos com os vulgares números naturais, a operação de adição e a noção de operação inversa.

Após definirmos o significado de adição no contexto dos números naturais introduzimos a noção de subtracção como sendo a operação inversa de adição. Multiplicação foi definido como sendo uma forma de estenografia para adições repetidas.

Após a definição de multiplicação, mais uma vez queríamos saber o que seria a sua operação inversa. Definimos a divisão como sendo subtrações consecutivas e mais uma vez uma operação apareceu como uma abreviação para uma operação já conhecida.

Depois de termos chegado a estas quatro operações (a partir de apenas uma) tomamos a liberdade de aplicá-las aos números naturais sem qualquer reserva. Dessa forma, chegámos à conclusão de que os números com que estávamos trabalhando não eram suficientes ou que tínhamos de colocar limites para as aplicações das operações inversas. A segunda opção não era compatível com o nosso princípio de ambição, então tivemos que aumentar a quantidade de números à nossa disposição:

— Visões de um futuro próximo —

No próximo artigo vamos continuar na nossa busca de coerência e um maior âmbito de aplicação para as operações inversas. Potências e radicais serão introduzidos e vamos ver que a operação de extração de radicais nos obriga a mais uma vez alargar o conjunto de números, e desta vez não será apenas uma, mas sim duas vezes!