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Continuando a falar de números

No final de deste artigo conseguimos construir os números racionais e fomos capazes de deduzir quatro operações matemáticas. À primeira vista, isso pode parecer um feito impressionante, tendo em conta as ferramentas que nos propusemos usar, mas devido a algumas incongruências que afligem a nossa construção pensamos que as coisas ainda podem melhorar.

— 1. Problemas —

Operações binárias. Com isto queremos dizer que as nossas operações matemáticas só fazem sentido quando aplicadas a dois números. Assim, por exemplo ${ 2 + 3 + 4 }$ não tem uma resposta no nosso actual estado de construção. Mas não se preocupe caro leitor, porque as coisas podem ser formalizados de uma forma rápida e simples. E não há nada muito extravagante, ou técnico nesta formalização: não é nada mais do que colocar o senso comum em acção.Como é que fazemos para somar ${ 2 + 3 + 4 }$ ? Apenas fazemos ${ 2 + 3 = 5 }$ e ${ 5 + 4 = 9 }$ . Assim, a formalização correta de ${ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n }$ simplesmente é:
$\displaystyle ((((a_1 + a_2) + a_3) + \ldots) + a_n)$

Isso quer dizer que nós definimos adição de ${ n }$ números através da adição sucessiva de dois números até chegarmos ao resultado final (o que significa ainda que a adição é binária, mas pode ser feita repetidamente).

É claro que tudo isso é válido para os três restantes operações, embora não tenhamos feito a formalização explícita d tal afirmação. Assim sendo, este é um problema pode ser considerado resolvido.
Outro problema é que temos duas operações inversas e devido à sua existência acabamos por expandir o conjunto dos números disponíveis. Mas nunca dissemos nada sobre o que acontece às propriedades das operações enquanto fazíamos essas expansões. E por falar nisso nós nunca dissemos nada sobre as propriedades das operações!
Outro problema que temos é que o nosso sistema de numeração é bastante incompleto. Podemos dizer que temos um sistema numérico que está cheio de buracos e não é muito prestável para a modelação de acontecimentos no mundo real.

— 2. Propriedades das operações matemáticas —

Para resolver o nosso segundo problema vamos falar sobre as propriedades da adição, multiplicação, subtração e divisão.

Associativa
$\displaystyle (m+n)+p = m+(n+p)$

$\displaystyle (m \times n) \times p = m\times (n \times p)$
Comutativa
$\displaystyle m+n=n+m$

$\displaystyle m \times n = n \times m$
Distributiva
$\displaystyle m \times (n+p)= m \times n + m \times p$
Elemento Neutro: Para cada número natural é:
$\displaystyle m+0 = m$

e

$\displaystyle m \times 1 = m$

Se pensarmos sobre a adição e multiplicação nos termos simples do primeiro artigo desta série é fácil ver porque essas propriedades são como são. Mas lembrem-se de que as nossas definições iniciais apenas se aplicavam aos números naturais. Enquanto alargávamos o conjunto de números com o qual estávamos a trabalhar nunca nos preocupamos com o que acontecia com essas propriedades.

Será que elas ainda mantêm em ${ \mathbb{Z} }$ e ${ \mathbb{Q} }$ ?

Podemos ter uma atitude preguiçosa e definir os conjuntos como sendo conjuntos em que estas propriedades são válidas ou podemos verificar se realmente o são.

Nós vamos tomar a rota preguiçosa, mas ainda assim quero que os leitores deste blog saibam que as coisas podem ser feitas de uma forma intelectualmente satisfatória.

— 3. Potências —

Para resolver o nosso terceiro problema, só teremos que continuar a usar a nossa ambição e ver onde ela nos leva.

Assim como nós introduzimos a multiplicação como uma abreviatura que permitir escrever de forma mais sucinta uma soma de ${ n }$ números iguais agora vamos apresentar as potências como uma forma mais sucinta de escrever um produto de factores iguais.

Assim, por exemplo, vamos escrever ${ 2 ^ 5 }$ para ${ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }$ . Em geral se temos um número ${ a }$ que multiplica ${ n }$ vezes com ele próprio vamos escrever ${ a ^ n }$ para o resultado final.

Agora que introduzimos potências como uma notação abreviada para multiplicação de fatores iguais, temos de saber como esta nova entidade se comporta com as quatro operações anteriores.

Quando somamos ou subtraímos potências primeiro temos que calcular as potências e só após isso podemos somar ou subtrair esses mesmos resultados. Por exemplo:

$\displaystyle 2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 8 + 9 = 17$

$\displaystyle 4 ^ 2 + 3 ^ 2 = 16 + 9 = 25$

$\displaystyle 5 ^ 3-10 ^ 2 = 125-100 = 25$

Mas quando multiplicamos ou dividimos potências existem algumas regras que podem ser utilizados.

— 3.1. Multiplicação de potências —

Ao contrário da adição (subtração) de potências quando multiplicamos (dividimos) potências podemos fazê-lo de uma forma mais maneira mais rápida em alguns casos:

Mesma base Por exemplo:

$\displaystyle 2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^7$

Assim, a potência final tem a mesma base que as potências iniciais e seu expoente é apenas a soma dos expoentes iniciais.

É claro que os números 2, 3 e 4 que escolhemos inicialmente não são especiais e como regra geral temos:

$\displaystyle a^n\times a^m=a^{n+m}$

Mesmo expoente Por exemplo:
$\displaystyle 3^3\times4^3=3\times3\times3\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=12^3$

Mais uma vez os números que escolhemos não têm nada de especial, assim podemos afirmar

$\displaystyle a^n\times b^n=(a\times b)^n$

Ainda que tenhamos enunciado estas propriedades assumindo que as operações envolvidas são binárias é fácil generalizar para o caso de termos mais do que dois factores envolvidos.

— 3.2. Divisão de potências —

No caso da divisão vamos indicar os teoremas e não nos preocuparemos em apresentar qualquer exemplo pois isso pode ser feito muito facilmente por um leitor interessado tomando como base os exemplos utilizados para a multiplicação.
1. Mesma base
$\displaystyle a^n/a^m=a^{n/m}$
Mesmo expoente
$\displaystyle a^n/b^n=(a/b)^n$

— 3.3. Problemas no horizonte! —

Uma vez que não abandonamos o nosso princípio de ambição até agora as questões que se colocam são:
1. Será que podemos definir a operação inversa da potenciação?
2. Que tipo de generalizações e novos resultados virão dessa definição?
A resposta à primeira pergunta é um enfático sim. A resposta à segunda questão leva-nos a lugares maravilhosos e permite-nos obter um primeiro vislumbre para resultados matemáticos maravilhosos.

A resposta a estas perguntas formará o conteúdo do nosso próximo artigo nesta matéria.