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Análise Funcional – aula 2

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— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.

1.(solução)

Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

Se tomarmos {a=x-z, b=z-y}, temos que {a+b=x-y}, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid} e da desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}, temos:

\displaystyle \sqrt{\mid x-y\mid}=\sqrt{\mid (x-z)+(z-y)\mid}\leq \sqrt{\mid x-z \mid +\mid z-y\mid }=\sqrt{a+b}

\displaystyle \Longleftrightarrow \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\mid x-z\mid}+\sqrt{\mid z-y\mid}

Assim provamos que a aplicação definida por {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} é uma métrica sobre {\mathbb{R}}.

2.(solução)

a) À primeira vista a aplicação {d_{1}(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid} parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, {d_{1}(x,y)=0\Longleftrightarrow \mid x^{2}-y^{2}\mid=0\Longleftrightarrow x=y} ou {x=-y} daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em {\mathbb{R}}, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos {\mathbb{R^{+}}\cup \{0\}} ou {\mathbb{R^{-}}\cup \{0\}}.

b)Seja {x=y=1} então {d_{2}(1,1)=1\neq0} logo não é uma métrica.

c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função {f(a)=\frac{a}{1+a}}, é de facil verificação que a função {f} é crescente (usando Cálculo elementar), logo se {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid +\mid b\mid)}, então

\displaystyle \frac{\mid a+b\mid}{1+\mid a+b\mid}\leq\frac{\mid a\mid +\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}= \frac{\mid a\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}+\frac{\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}

Tomando {a=x-z} e {b=z-y}, temos o que queremos.

3.(solução)

(i) Se tomarmos {\rho(x,y)=kd(x,y)}, é facíl vermos que:

\displaystyle \rho(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow k> 0

e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.

(ii)Do mesmo modo é simples verificar que {\rho(x,y)=d(x,y)+k} é uma métrica sse {k=0}.

4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:

\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \Longleftrightarrow d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)

e a desigualdade contrária segue de

\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)

— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —

Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.

Definição 2 Dois expoentes {p} e {q} são dito conjugados sse:

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Sejam {p} e {q} dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{q})^{\frac{1}{q}} \ \ \ \ \ (2)

Se tomarmos {p=q=2} na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \ \ (3)

A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:

\displaystyle  xy\leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q} \ \ \ \ \ (4)

onde {p} e {q} são conjugados.

Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos {p=q=2}.

E por último temos a desigualdade de Minkovsky:

\displaystyle  (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}+y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}} \ \ \ \ \ (5)

Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para {p<1}, e que quando {p=1} temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos.
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica { d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}} em {\mathbb{R}^{n}}, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n})=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n})=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}}. Demonstração: O objectivo é provarmos que o par {(\mathbb{R}^{n},d_{n})} é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam {x,y,z\in \mathbb{R}^{n}} então {\exists \{x_{k}\}_{k=1}^{n}, \{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {\{z_{k}\}_{k=1}^{n}} tais que {x=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}, y=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {z=\{z_{k}\}_{k=1}^{n}}, fazendo então a substituição {a_{k}=x-z, b_{k}=z-y} temos:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}.\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}=(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}})^{2}

\Box

Consideremos agora o espaço {l^{p}(p\geq 1)} ou espaço das sequências {p}-somaveis definido da seguinte forma:

\displaystyle l^{p}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{p}<\infty\}

Reparem que os elementos do espaço {l^{p}} são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{p} )^{\frac{1}{p}}

é de facto uma métrica, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n},\cdots)} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n},\cdots)}. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).

Quando {p=2} o espaço resultante, {l^{2}}, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:

\displaystyle l^{2}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{2}<\infty\}

com a métrica definida da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{2} )^{\frac{1}{2}}

Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se {d(x,y)} é uma métrica sobre {X} então a aplicação

\displaystyle \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

também é uma métrica sobre {X}.

Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por

\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}{1+\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}

sobre o espaço das funções continuas em {(-\infty,\infty)} torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão).

Mostraremos agora que o produto cartesiano {X_{1}\times X_{2}} de dois espaços métricos {(X_{1},d_{1})} e {(X_{2},d_{2})}, também pode ser transformado em um espaço métrico.

Exemplo 6 Consideremos o conjunto {X=X_{1}\times X_{2}} onde {X_{1}} e {X_{2}} são espaços métricos, definimos nele a métrica

\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})

vamos mostrar que o par {(X,d)} é um espaço métrico, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Demonstração:

(i) É evidente que {d(x,y)\geq } já que é a soma de duas metricas não negativas. Se {d(x,y)=0 \Longleftrightarrow d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})=0} como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., {d_{1}(x_{1},y_{1})=0\Longrightarrow x_{1}=y_{1}} e {d_{2}(x_{2},y_{2})=0\Longrightarrow x_{2}=y_{2}}, o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii).

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos {d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})\leq d_{1}(x_{1},z_{1})+d_{1}(z_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},z_{2})+d_{2}(z_{2},y_{2}) } reagrupando a desigualdade obtemos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

\Box

Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.

Definição 3 Seja {(X,d)} um espaço e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}). Dizemos que o conjunto {A} é limitado se {\exists k>0} tal que

\displaystyle d(x,y)\leq k \text{ , } \forall x,y \in A

Se {A} é limitado, denotamos o diâmetro de {A} por {\delta(A)} onde

\displaystyle  \delta(A)=\sup_{x,y \in A}d(x,y)

Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto {A} é limitado sse {\delta(A)<\infty}.

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}) e {x\in X}. Chama-se distância de {x} ao conjunto {A} o número

\displaystyle d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).

A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

Podemos verificar ainda que:

  • A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois {d(x,y)\geq 0}, {\forall y\in A}.
  • Se {x\in A}, então {d(x,A)=0} (porque aí bastaria toar {x=y}).
Proposição 1 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X (A\neq \emptyset)}. Então para todo {x,y \in X} temos

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Como {d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)} é uma cota inferior então para todo {z\in A} temos:

\displaystyle d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

assim {d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,z)} é uma cota inferior do conjunto {\{d(y,z)\mid z\in A\}}, logo:

\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)

a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por {-1} e fazendo {x=y}. \Box

Definição 5 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B\subset X}, {A\neq \emptyset} e {B\neq \emptyset}. A distância entre {A} e {B} é definida do seguinte modo:

\displaystyle d(A,B)=\sup\{d(x,y)\mid x\in A, y\in B\}.

Da definição podemos notar que:

  • Se {A\cap B\neq \emptyset}, então {d(A,B)=0}.
  • Se {A\cap B= \emptyset}, não implica {d(A,B)>0}.

Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.

Problemas Propostos

Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica

\displaystyle (\mid x_{1}\mid+\cdots+\mid x_{n}\mid)^{2}\leq n(\mid x_{1}\mid ^{2}+\cdots+\mid x_{n}\mid ^{2}).

Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para {0}, mas que não esteja em nenhum espaço {l^{p}}, onde {1\leq p<\infty}.
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em {l^{p}(p>1)} mas não esteja em {l^{1}}.
Exercício 8 Mostre que:

  1. Se {A\subset B},então {\delta(A)\leq \delta(B)}.
  2. {\delta(A)=0} se e somente se {A} consiste em um único ponto.
Exercício 9 Sejam {X=X_{1}\times X_{2}} onde {(X_{1},d_{1})}, {(X_{2},d_{2})} são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em {X}:

  • {d_{1}(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}}
  • {d_{2}(x,y)=\max\{d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\}}
Exercício 10 Seja {B(A)} o conjunto das funções limitadas em {A}, com a aplicação

\displaystyle d(x,y)=\sup_{t\in A}\mid x(t)-y(t)\mid

Mostre que {(B(A),d)} é um espaço métrico se {A=[a,b]}.

Exercício 11 Mostre que se {(X,d)} é um espaço métrico, então

\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{d(x,y)}

também o é.

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