— 1.4. Axioma da Completividade —

Como foi dito no artigo anterior a construção do conjunto dos números reais feita até agora permite alcançar um grande número de resultados, mas não permite diferenciar formalmente o conjunto do conjunto . Para fazer isso precisamos de incluir mais um Axioma na nossa teoria e também algumas noções preliminares.

— 1.4.1. Introdução —

Definição 4 Para definimos os seguintes conjuntos         O primeiro intervalo diz-se ser um intervalo fechado e o quarto intervalo diz-se ser um intervalo aberto. Para além disso, podemos ter ainda quatro tipos de intervalo ilimitados:

Definição 5 Seja e . Dizemos que o número real é um majorante de sse:   Dizemos que o número real é um minorante de sse   Dizemos que é majorado se tem pelo menos um majorante e que é minorado se tem pelo menos um minorante. diz-se ser limitado se que tem um majorante e um minorante. Finalmente um conjunto diz-se ilimitado se não for limitado.

Relativamente à última definição que fizemos para um conjunto ilimitado resta dizer que tal pode acontecer por não ter nem um limite máximo nem um limite inferior, ou apenas por não ter um daqueles limites.

Definição 6 Dado dizemos que é o elemento máximo, ou simplesmente máximo, de e denotamos por se   Dado dizemos que é o elemento mínimo, ou simplesmente mínimo, de e denotamos por se

Assim sendo, o máximo é um majorante e o mínimo é um minorante de um conjunto que pertencem ao próprio conjunto.

Definição 7 Seja e o conjunto constituído por todos os majorantes de ( sse não é majorado). O mínimo de , que vamos denotar por , é o supremo de ().

De modo análogo podemos definir o ínfimo de um conjunto:

Definição 8 Seja e o conjunto constituído por todos os minorantes de ( sse não é minorado). O máximo de , que vamos denotar por , é o ínfimo de ().

De modo a não deixarmos as anteriores definições definharem num reino de demasiada abstracção vamos utilizar alguns exemplos que nos permitirão concretizar as ideias apresentadas.

De notar que os dois últimos conjuntos não têm máximo nem mínimo ainda que tenham supremo e mínimo e consequentemente sejam majorados e minorados.

Como trabalho de casa os leitores podem tentar encontrar o , , e do conjunto vazio (preparem-se pois os resultados são surpreendentes!).

— 1.4.2. Axioma da Completividade —

Neste momento já estamos em condições de enunciar o Axioma da Completividade e desta forma terminar o nosso estudo inicial dos números reais.

Axioma 8 Qualquer subconjunto não vazio de e majorado tem um supremo real.

Este axioma é extremamente profundo e belo. Com ele podemos classificar completamente o conjunto e finalmente somos capazes de fazer uma distinção formal entre e .

A palavra chave no Axioma 8 está acentuada a negrito. Lembrem-se que o que motivou a introdução do anterior foi a necessidade de diferenciarmos o conjunto dos números reais do conjunto dos números racionais.

Seja . é um conjunto não vazio e majorado. Se quisermos podemos considerar elementos desse conjunto que sejam naturais, inteiros e racionais. Se o fizermos nunca vamos poder dizer que o supremo desses conjuntos é natural, inteiro ou racional. A única forma de podermos garantir um supremo que seja da mesma natureza dos números que estamos a considerar é se estivermos a trabalhar no domínio do números reais.

Assim sendo o Axioma 8 acaba por diferenciar o conjunto dos números reais de todos os outros conjuntos que considerámos até agora.

Recorrendo ao axioma anterior podemos demonstrar o resultado equivalente para conjuntos minorados.

Teorema 9 Qualquer subconjunto não vazio de que é minorado tem um ínfimo real. Demonstração: Demonstração omitida

Teorema 10 não é majorado. Demonstração: Demonstração omitida.

O teorema anterior permite-nos demonstrar que o conjunto dos números naturais tem um número infinito de elementos. Como sempre recomendamos aos nossos leitores que tentem fazer a demonstração deste resultado e que partilhem a sua proposta de resolução nos nossos comentários.

Este teorema afirma uma verdade muito profunda sobre . Em termos leigos o que nos diz é que em não existem números infinitesimais: se somarmos qualquer quantidade dada (não importa quão pequena ela é) um número suficiente de vezes o valor da soma será sempre ser maior do que qualquer outra quantidade dada.

Com isto concluímos o nosso estudo básico de . No próximo artigo serão feitas algumas observações sobre o conjunto para depois finalmente embarcarmos num estudo mais sério sobre a Análise Real.