Um corpo em MHS desloca-se entre as posições extremas e de sua trajectória, gastando 10 segundos para ir de um extremo à outro.
Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de equilíbrio e em movimento retrogrado, determine:

1. O período;
2. A equação da elongação do movimento;

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

O problema nos apresenta um corpo em MHS. Nos é dada a amplitude deste movimento, através do valor das posições dos extremos. É dado o tempo que o corpo leva a sair de um extremo para o outro.

Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximações e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:

• Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
• Sai deste 1º extremo de volta para a posição de equilíbrio.
• Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º Extremo, no lado oposto).
• Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.

Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período .

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS estaéesta duração é de ou seja, .

Para sair de um extremo ao outro, a partícula deve fazer dois destes movimentos. Então, o tempo que a partícula leva a sair de um extremo para outro corresponde então a metade do período.

Quanto a fase, este problema nos dá informação sobre sentido  do movimento e posição da partícula no momento inicial. Como vamos usar a função seno, podemos observar o gráfico generalizado da função seno.

–

Observamos que a função seno atinge o valor zero (posição de equilíbrio, no MHS) quando , , , etc.

No caso em análise, não poderemos adoptar . Porquê? A reposta está no movimento descrito no enunciado. Se repararmos no gráfico genérico da função seno, observamos que, a seguir o valor da função começa a subir. Em movimento, isso equivale a um movimento progressivo.

Como o enunciado diz que a partícula está na posição de equilíbrio, mas em movimento retrógrado, então, o ângulo de fase para este momento deve ser .

O gráfico esboçado do movimento do exercício é o seguinte:

1. Se o corpo demora para ir de um extremo ao outro, então esses correspondem à metade do período, ou seja:

   

   

   

2. A equação da elongação (ou equação horária) de um MHS pode ser dada na forma:

   

   O uso de seno ou cosseno é opcional. Usaremos a função seno, conforme descrito na análise.

   Já ficou mostrado que .

   A amplitude do movimento é definida pela coordenada do extremo. Neste caso:

   

   Com o valor do período, podemos determinar a frequência angular:

   

   

   Então, para equação do movimento, teremos:

   

   

Considere o gráfico da oscilação abaixo. Determine a amplitude deste MHS.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

O problema nos apresenta o gráfico da velocidade de um MHS.

Pela ilustração, nota-se que o período de oscilação é e a velocidade máxima da oscilação é .

Logo, sabemos que a velocidade máxima de um corpo em oscilação é dada por:

Sabemos também que:

Então, combinado as duas relações, temos:

Invertendo a igualdade, temos:

Um corpo executa um MHS ao longo do eixo x, oscilando em torno da posição de equilíbrio .
Abaixo está o gráfico de sua aceleração em função do tempo.

Determine:

1. A frequência do movimento.
2. A amplitude do movimento.
3. O módulo da velocidade do corpo em

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

O período e a amplitude da aceleração (ou aceleração máxima) deste MHS podem ser obtidos no gráfico abaixo:

Com isso conclui-se que:

1. Por definição, a frequência de um MHS é igual ao inverso do seu período, ou seja,. Logo:

   

2. Com os dados que temos, podemos calcular a amplitude (A ) do movimento partindo da equação da aceleração máxima do movimento. Sabendo que:

   

   

   Logo:

   

   

   

   

3. Para calcularmos o módulo da velocidade no instante , precisamos saber primeiro a equação da velocidade dessa partícula em MHS. Podemos fazer isso com base nos dados gráficos e nos valores já calculados.
   No instante , a aceleração é a , logo percebe-se que a partícula iniciou a sua oscilação quando estava no extremo, pois a aceleração de um MHS é máxima nos extremos. O movimento inicia-se no extremo positivo, pois a aceleração é negativa. Uma sinusoide atinge os extremos quando , , , etc. Veja gráfico da função seno.

   

   –

   Como o nosso caso é o caso em que a partícula se encontra no extremo positivo, então a fase inicial .

   A equação da aceleração é dada por ou então por . Estamos a trabalhar com a função seno.

   Logo temos que:

   

   Para um MHS em que a posição é descrita por uma função seno, a velocidade tem a seguinte equação:

   

   Sabemos também que:

   

   Então:

   

   

   Sabendo que , ; , então, substituindo estes valores na equação da velocidade, teremos:

   

   Como foi pedido para determinar a velocidade no instante , então:

   

   

Uma partícula realiza um MHS segundo a equação , no SI. A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que está partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Apesar de parecer complexo, mas o problema é Elementar . Muito elementar mesmo.
O problema nos apresenta a equação de um MHS e nos pede para determinarmos o menor tempo que a partícula leva a sair da posição de desvio máximo para a posição de equilíbrio.

Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:

• Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
• Sai deste 1º extremo para a posição de equilíbrio.
• Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º Extremo, no lado oposto).
• Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.

Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período .

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS, esta duração é de ou seja, .

Com a descrição acima, percebemos que, para sair de um extremo para a posição de equilíbrio, a partícula leva um tempo igual a um quarto do período.

O período pode ser obtido a partir de . O pode ser obtido na equação da oscilação. Olhando na equação, vemos que:

Sabemos também que:

Então:

Fazendo multiplicação cruzada, obtemos:

Ou:

Então:

Como o tempo de passagem, do extremos para a posição de equilíbrio é , então:

Com isso, percebe-se que, para sair da posição de elongação máxima para a posição de equilíbrio , a partícula demora segundo.

Está a gostar da Abordagem?

Veja também:

• • Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Mecânica (Física 1);

  • Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Termodinâmica (Física 2);

  • Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Gravitação (Física 2);

  • Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Oscilações e Ondas (Física 2);

  • Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Fluidos (Física 2);

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