1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

Exercício 4 Considere o micro-sistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que na temperatura de ${16 \ ^oC}$ , a peça I, tem tamanho igual ${2 \ cm}$ , enquanto que a peça II possui apenas ${1 \ cm}$ de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas por uma pequena distância ${d}$ igual à ${6 \cdot 10^{-3}\ cm}$ . Sabendo que o coeficiente de dilatação linear da peça I é igual a ${4 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ e que o coeficiente de dilatação linear dada peça II é igual à ${5 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ , qual deverá ser a temperatura do sistema, em graus Celsius, para que as duas peças estejam afastadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .
Trata-se de um exercício sobre dilatação linear, quando um corpo o sistema é submetido a variações de temperaturas.A figura do enunciado, na situação 1 apresenta o fenómeno quando o sistema estava em uma temperatura ${t_o}$ e as peças tinham comprimentos ${l_{o1}}$ e ${l_{o2}}$ , respectivamente, e estavam separadas a uma distância ${d}$ .

A situação 2, representada na figura a seguir, apresenta o fenómeno de dilatação, quando o sistema sofre variação de temperatura ${t_o}$ para ${t}$ e as dimensões das peças também variam de ${l_{o1}}$ para ${l_1}$ e de ${l_{o2}}$ para ${l_2}$ , respectivamente, e a distâncias entre as peças aumenta de ${d}$ para ${2d}$ .

Dados

${t_o =16 \ ^oC}$

${l_{o1} = 2 \ cm}$

${l_{o2} = 1 \ cm}$

${d = 6 \cdot 10^{-3} \ cm}$

${\alpha_1 = 4 \cdot 10^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${ \alpha_2 = 5 \cdot 10^{-5} \ ^o C^{-1}}$

${t \longrightarrow ?}$ ${d' = 2d}$

Temos a equação de dilatação linear que é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o\Delta t$

A equação da dilatação para as peças será:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccccc} \Delta l_1 &=& \alpha_1 l_{o1}\Delta t\ \ (1)\\ \Delta l_2 &=& \alpha_2 l_{o2}\Delta t\ \ (2) \end{array} \right.$

Para que as peças estejam separadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ , é necessário que as duas peça se comprimam a uma distância total igual a ${d}$ , como vimos na figura anterior.

Assim é suficiente que:

$\displaystyle \Delta l_1 = l_1 - l_{o1}\ \ \ e\ \ \Delta l_2 = l_2 - l_{o2}$

Sabemos que: ${\Delta l_1+ \Delta l_2=-d}$ . A diminuição total de comprimento deve ser d. O sinal de menos (-) aparece devido ao facto de estarmos a lidar com uma diminuição de comprimento (variação negativa). Então:

$\displaystyle -d = \alpha_1 l_{o1}\Delta t + \alpha_2 l_{o2}\Delta t$

$\displaystyle \Rightarrow -d = \Delta t (\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2})$

Isolando ${\Delta t}$ na equação, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-d}{\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2}}$

Substituindo os valores:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-6 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} }{4 \cdot 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-5} \cdot 1 \cdot 10^{-2} }$

$\displaystyle \Delta t = -46,15 \ ^oC$

Sabemos que a variação da temperatura é dada por:

$\displaystyle \Delta t = t - t_o$

$\displaystyle ou \ t - t_o = \Delta t$

Isolando ${t}$ , tem-se:

$\displaystyle t = \Delta t + t_o$

Substituindo os valores de ${\Delta t}$ e ${t_o}$ , tem-se:

$\displaystyle t = -46,15 \ ^oC + 16 \ ^oC$

$\displaystyle t = -30,15 \ ^oC$

Exercício 5 Dois corpos, A e B, de massas ${ m_{A} = 600 \ g }$ e ${ m_{B} = 300 \ g }$ , são aquecidos separadamente por uma mesma fonte que lhes fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min}$ . O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura ${ \theta }$ dos corpos em função do tempo ${t}$ para o aumento dessa temperatura.

Determine:

A relação entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos ${ (c_{B}/c_{A})}$ .
Depois de quanto tempo o corpo A atinge a temperatura de ${ 90 \ ^{o}C }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .O problema em questão está relacionado a calorimetria. São dados dois corpos A e B que são aquecidos separadamente através de uma mesma fonte que fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min }$ . Esta quantidade de calor por unidade de tempo que a fonte fornece aos corpos representa a potência da fonte, isto é: ${ P_{F}=300 \ cal/min }$ . Então temos os seguintes dados.

Dados

${ m_{A}=600 \ g}$

${ m_{B}=300 \ g}$

${ P_{F}=300 \ cal/min}$

Buscaremos as equações da quantidade de calor para os corpos A e B.Da calorimetria sabemos que:
$\displaystyle Q=m \cdot c \cdot \Delta \theta \ \ \ \ \ (9)$

Onde:
m – massa da substância;
c – calor específico da substância;
${ \Delta \theta}$ = ${(\theta_{f} - \theta_{i})}$ – variação de temperatura.

Então temos para o corpo A:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA}) \ \ \ \ \ (10)$

Para o corpo B:

$\displaystyle Q_{B}=m_{B} \cdot c_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iB}) \ \ \ \ \ (11)$

Por outro lado, sabe-se que ambos os corpos, A e B, são aquecidos por uma mesma fonte com potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ . De acordo com gráfico, os dois corpos são aquecidos durante um intervalo de tempo ${ \Delta t=10 \ minutos }$ .

Sendo assim, os dois corpos recebem a mesma quantidade de calor, isto é, ${ Q_{A}=Q_{B}=P_F \cdot \Delta t}$ .

Dividindo a equação 5 pela 5, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{Q_{B}}{Q_{A}}= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB}-\theta_{iB}}{\theta_{fA}-\theta_{iA}})$

$\displaystyle \Rightarrow 1= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}})$

Isolando a razão ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}}$ , obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_A}= \dfrac{1}{\dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}}}$

Aplicando a regra de divisão de frações, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{m_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})}{m_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iA})}$

O gráfico inicial dá-nos para o corpo A:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC\\ \theta_{fA}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Para o corpo B:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iB}=20 \ ^oC\\ \theta_{fB}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Substituindo os dados, obtemos: ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{600 \cdot(30-10)}{300 \cdot(30-20)}}$

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$

Então, a razão entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos é:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$
Para determinamos o tempo em que o corpo A atinge a temperatura de ${90 ^oC}$ , precisaremos conhecer em primeiro lugar o seu calor específico( ${c_A}$ ). Vamos obter o valor de ${ c_{A}}$ (calor especifico do corpo A) fazendo a análise através do gráfico.Para o corpo A:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC \\ \theta_{fA}=30 \ ^oC \\ \end{array}\right.$

Consideremos a equação:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{a} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Entretanto, sabemos que:

$\displaystyle P_{F}=\dfrac{Q_{A}}{\Delta t}$

Isolando ${Q_{A}}$ , temos:

$\displaystyle Q_{A}=P_{F} \cdot \Delta t$

Neste caso:

$\displaystyle P_{F} \cdot \Delta t=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Onde: ${ \Delta t=(t_{f} - t_{i})}$ – Intervalo de tempo.

Então:

$\displaystyle P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando ${ c_{A}}$ :

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})}{m_{A}(\theta_{fA} - \theta_{iA})}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{300 \cdot(10-0)}{600 \cdot(30-10)}=0,25$

$\displaystyle c_{A}=0,25 \ cal/g \cdot \ ^oC$

Obs: Não fizemos conversão pelo SI, mas determinamos a unidade equivalente.

Agora, analisando para um novo intervalo de tempo desconhecido, buscamos o tempo necessário para que o corpo A atinja a temperatura de ${ 90 \ ^oC}$ , isto é, ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ .

Sabemos que:

$\displaystyle Q_{A} =m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

$\displaystyle \Rightarrow P_{F} \cdot(t_{F} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A}\cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando o intervalo de tempo ${ t_{f} - t_{i}}$ , obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{m_{A} \cdot c_{A}(\theta_{FA} - \theta_{iA})}{P_{F}}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{600 \cdot 0,25 \cdot(90-10)}{300}$

$\displaystyle ( t_{f} - t_{i})=40 \ min$

Como no inicio, de acordo ao gráfico, o corpo A em ${ t_{i}=0}$ tem temperatura ${ \theta_{iA}=10 \ ^oC}$ , como substituindo acima, então temos:

$\displaystyle t_{f}- 0 =40 \ min$

$\displaystyle t_{f}=40 \ min$

Portanto, o corpo A atinge de ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ depois de ${ 40 \ min}$ sendo aquecido pela fonte de potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ .

Exercício 6 Como resultado de um aumento de temperatura de ${36 \ ^oC}$ , uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (ver figura abaixo). Se a distância fixa ${L_o}$ é de ${3,78\ m}$ e o coeficiente de dilatação linear da barra é de ${26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$ , determine a altura ${x}$ do centro da barra.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 6Trata-se do fenómeno de dilatação térmica devido a variação de temperatura. Quando a barra se dilatar, o seu tamanho (comprimentos) aumenta. Fruto desse aumento de comprimento e do orifício já existente, a barra divide-se em duas partes iguais. Se a barra dilatada tem comprimento final ${ L }$ , então cada uma das partes (metades) da barra dilatada mede ${ \dfrac{L}{2} }$ .

Na figura acima, designamos:

A – ponto fixo de ligação da barra a uma extremidade:

B – centro da distancia fixa ${ L_o }$ ;

C – ponto onde, acima do centro, onde a barra se dobra.

{Dados}

${ \Delta t = 36 \ ^oC}$

${ L_o = 3,78 \ m}$

${ \alpha = 26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$

${ x \longrightarrow? }$

Do triângulo ABC, é válido o Teorema de Pitágoras:

$\displaystyle \Big( \dfrac{L}{2} \Big)^2 = x^2 + \Big( \dfrac{L_o}{2} \Big)^2$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{L^2}{4} = x^2 + \dfrac{ L_o^2 }{4}$

$\displaystyle x^2 = \dfrac{L^2}{4} - \dfrac{L_o^2}{4} = \dfrac{L^2 - L_o^2 }{4}$

Isolando ${x}$ :

$\displaystyle x = \sqrt{ \dfrac{ L^2 - L_o^2 }{4}} \Rightarrow x= \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2}}{\sqrt{4}}$

$\displaystyle x = \dfrac{\sqrt{L^2 - L_o^2}}{2} \ \ \ \ \ (12)$

Antes da variação da temperatura a barra tinha o comprimento igual à ${L_o}$ . Depois da variação da temperatura a barra passou a ter um comprimento igual à ${L}$ .

Pela lei da dilatação linear, temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T$

Com ${ \alpha }$ em ${ ^oC^{-1}}$ e ${ \Delta t }$ em ${ ^o C }$ . A partir desta equação podemos determinar ${L}$ .

Como ${ \Delta L = L - L_o }$ , então:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T \Rightarrow L - L_o = \alpha L_o \Delta T$

$\displaystyle L = \alpha L_o \Delta t + L_o \Rightarrow L = L_o (\alpha\Delta t + 1) \ \ \ \ \ (13)$

Substituindo 13 em 12, tem-se:

$\displaystyle x = \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{[L_o (\alpha\Delta t + 1)]^2 - L_o^2}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2(\alpha\Delta t + 1)^2 - L_o^2}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\sqrt{L_o^2[(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1]}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{L_o\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{L_o}{2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{3,78 \ m}{2} \cdot \sqrt{(26 \cdot 10^{-6} \cdot 36 \ + 1)^2 - 1}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 0,082 \ m \ \Rightarrow x= 8,2 \ cm$

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1 Comentário

edsonernesto diz:

10/03/2020 às 9:44 pm

Batido 👏👏👏👏

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