Mecânica Quântica – Revisões VI

— 19. Resolução de Exercícios —

Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:

Uma partícula de massa ${m}$ que se move ao longo de uma elipse.
Seja ${ {x=a\cos\theta}}$ e ${ {y=b\sin\theta}}$ . Então a coordenada generalizada é ${ {\theta}}$ . Para o caso do leitor ter ficado surpreso com o facto de só precisarmos de uma coordenada para descrevermos um sistema que aparentemente é bidimensional lembre-se que a nossa partícula está restringida a mover-se ao longo de uma linha que ainda que seja curva não deixa de ser unidimensional. Outra maneira de ver é pensando que temos ${2}$ coordenadas originais e ${1}$ equação de ligação. Assim pelo que vimos em Mecânica Quântica Revisões IV isto quer dizer que temos ${2-1=1}$ graus de liberdade, logo só precisamos de uma coordenada generalizada para descrever os estado mecânico do sistema.
Um cilindro que se move num plano inclinado.
Se o cilindro descreve um movimento de rotação precisamos de ${ {x}}$ a distância percorrida e ${ {\theta}}$ que é o ângulo de rotação. Se o cilindro não tem um movimento de rotação só precisamos de ${ {x}}$ .
Duas massas num pêndulo duplo

As coordenadas generalizadas são ${ {\theta_1}}$ e ${ {\theta_2}}$ .

Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.

Temos:

${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$

Exercício 4 Mostre que é:

$\displaystyle {\dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial \dot{q}_\alpha}=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}$

Temos

${ {\begin{aligned} \vec{r}_\nu&=\vec{r}_\nu(q_1,q_2,\cdots,q_n,t)\Rightarrow \\ \dot{\vec{r}_\nu}&=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_1}\dot{q}_1+\cdots+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_n}\dot{q}_n+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial t} \Rightarrow \\ \dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial\dot{q}_\alpha}&=\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \end{aligned}}}$

Que é o resultado pretendido

Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento ${ {dq_j}}$ nas suas coordenadas generalizadas. Derive a seguinte expressão ${ {dW=\displaystyle \sum_\alpha \Phi_\alpha dq_\alpha}}$ para o trabalho total realizado pela força que actua no sistema e interprete fisicamente o factor ${ {\Phi_\alpha}}$ .

Primeiro vamos notar que é

$\displaystyle \displaystyle d\vec{r}_\nu =\sum_{\alpha=1}^n \dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}dq_\alpha$

Para ${ {dW}}$ é

${ {\begin{aligned} dW &=\sum_{\nu=1}^N\vec{F}_\nu\cdot d\vec{r}_\nu\\ &=\sum_{\nu=1}^N\left( \sum_{\alpha=1}^n \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \right) dq_\alpha\\ &= \sum_{\alpha=1}^n \Phi_\alpha dq_\alpha \end{aligned}}}$

e ${ {\displaystyle \Phi_\alpha=\sum_{\nu=1}^N \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}}$ é a força generalizada.

Exercício 6 Mostre que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Temos

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\frac{\partial W}{\partial q_\alpha}dq_\alpha}$

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\Phi_\alpha dq_\alpha}$

Logo

$\displaystyle {\displaystyle \sum_\alpha\left( \Phi_\alpha- \frac{\partial W}{\partial q_\alpha}\right)dq_\alpha=0}$

Uma vez que ${ {dq_\alpha}}$ são linearmente independentes (ou se preferir, são arbitrários) vem que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento

A coordenada generalizada para o pêndulo simples é ${ {\theta}}$ e as equações de transformação de coordenadas são ${ {x=l\sin\theta}}$ and ${ {y=-l\cos\theta}}$ .

A energia cinética é ${ {K=1/2mv^2=1/2m(l\dot{\theta})^2=1/2ml^2\dot{\theta}^2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=mgl(1-\cos\theta)}}$ .

Assim o lagrangiano é

$\displaystyle {L=K-V=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos\theta)}$

Uma vez que temos

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=-mgl\sin\theta}$

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot{\theta}}$

E a equação de Euler-Lagrange fica

${ {\begin{aligned} \frac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\dfrac{\partial L}{\partial \theta}&=0\Rightarrow\\ ml^2\dot{\theta}+mgl\sin\theta&=0\Rightarrow\\ \ddot{\theta}+g/l\sin\theta &=0 \end{aligned}}}$

Exercício 8

Duas partículas de massa ${ {m}}$ estão ligadas entre si e a duas paredes por molas de constante ${ {k}}$ . As partículas deslocam-se ao longo de uma direcção. Use as equações de Euler-Lagrange para descrever o movimento das massas.

A energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=1/2kx^2_1+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2kx^2_2}}$ .

Logo o lagrangiano é ${ {L=K-V=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2-1/2kx^2_1-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx^2_2}}$ .

As derivadas parciais do lagrangiano são:

${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_1}=k(x_2-x_1)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_2}=k(x_1-x_2)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\dot{x}_1}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_2}}=m\dot{x}_2}}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam:

${ {m\ddot{x}_1=k(x_2-x_1)}}$
${ {m\ddot{x}_2=k(x_1-2x_2)}}$

Exercício 9

Uma partícula de massa ${ {m}}$ move-se sob a acção de um campo central e conservativo. Use coordenadas cilíndricas para derivar:

O lagrangiano A energia cinética é ${ {K=1/2m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})}}$ . A energia potencial é ${ {V=V(\rho,\phi,z)}}$ . Logo o lagrangiano é
$\displaystyle L=\frac{1}{2}m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})-V(\rho,\phi,z)$
As equações de movimento
- ${ {m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^2)=-\dfrac{\partial v}{\partial \rho}}}$
- ${ {m\dfrac{d}{dt}\left(\rho^2\dot{\phi}\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial \phi}}}$
- ${ {m\ddot{z}=-\dfrac{\partial V}{\partial z}}}$

Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:

O lagrangiano
As equações para as transformações de coordenadas são
- ${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
- ${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
- ${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
- ${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$
Aplicando ${ {\dfrac{d}{dt}}}$ às equações anteriores
- ${ {\dot{x}_1=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dot{y}_1=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1}}$
- ${ {\dot{x}_2=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1-l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dot{y}_2=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1+l_2\dot{\theta}_2\cos\theta_2}}$
Logo a energia cinética é

$\displaystyle K=1/2m_1l^2_1\theta^2_1+1/2m\left[ l^2_1\dot{\theta}^2_1+l^2_2\dot{\theta}^2_2+2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \right]$

E a energia potencial é

$\displaystyle V=m_1g(l_1+l_2-l_1\cos\theta_1)+m_2g\left[l_1+l_2-(l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2)\right]$

Como sempre o lagrangiano é ${ {L=K-V=\cdots}}$
As equações de movimento
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_1gl_1\sin\theta_1-m_2gl_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}}=m_1 l_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
Assim é

$\displaystyle {(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)gl\sin\theta_1}$

e

$\displaystyle {m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2gl_2\sin\theta_2}$
Faça ${ {m_1=m_2=m}}$ e ${ {l_1=l_2=l}}$ e escreva as equações de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.
Escreva as equações anteriores no limite das pequenas oscilações.
Se ${ {\theta\ll 1}}$ sabemos que ${ {\sin \theta\approx\theta}}$ e ${ {\cos \theta\approx1}}$ .

E as equações de movimento ficam

${ {2l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-2g\theta_1}}$

${ {l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-g\theta_2}}$

Exercício 11 Uma partícula move-se no plano ${ {xy}}$ sujeita a uma força central que é uma função da distância entre a partícula e a origem.

Calcule o Hamiltoniano do sistema.
As coordenadas generalizadas são ${ {r}}$ e ${ {\theta}}$ .

A energia potencial é da forma ${ {V=V(r)}}$ .

O lagrangiano é ${ {L=1/2m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)}}$ .

Os momentos conjugados são:

$\displaystyle {p_r=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}}$

$\displaystyle {p_\theta=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}}$

O Hamiltoniano fica

${ {\begin{aligned} H&=\displaystyle \sum_{\alpha=n}^np_\alpha\dot{q}_\alpha\\ &=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-(1/2m(\dot{r^2}+r^2\dot{\theta}^2)-V(r))\\ &=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_theta^2}{2mr^2}+V(r) \end{aligned}}}$
Escreva as equações de movimento:
- ${ {\dot{r}=\dfrac{\partial H}{\partial p_r}=\dfrac{p_r}{m}}}$
- ${ {\dot{\theta}=\dfrac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2}}}$
- ${ {\dot{p}_r=-\dfrac{\partial H}{\partial r}=\dfrac{p_\theta}{mr^3}-V'(r)}}$
- ${ {\dot{p}_\theta=-\dfrac{\partial H}{\partial \theta}=0)}}$

Exercício 12

Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma

$\displaystyle F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}$

Onde ${ {k}}$ e ${ {\tau}}$ são constantes positivas. Calcule o lagrangiano e hamiltoniano. Compare o hamiltoniano com a energia total e discuta se existe conservação de energia para este sistema.

Uma vez que ${ {F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}}}$ vem que ${ {U=\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}}$ .

Para a energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2}}$ . Assim o lagrangiano é

$\displaystyle L=1/2m\dot{x}^2-\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}$

Ora ${ {p_x=m\dot{x}\Rightarrow\dot{x}=\dfrac{p_x}{m}}}$ .

E o hamiltoniano é

$\displaystyle {H=p_x\dot{x}-L=\dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}$

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial L}{\partial t}\neq 0}}$ o sistema não é conservativo.

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0}}$ sabemos que é ${ {H=E}}$ .

Exercício 13

Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, ${ {g(q_k,p_k)}}$ e ${ {h(q_k,p_k)}}$ . O parênteses de Poisson é definido como:

$\displaystyle [g,h]=\sum_k \left(\frac{\partial g}{\partial q_k}\frac{\partial h}{\partial p_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial h}{\partial q_k}\right)$

Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:

${ {\dfrac{dg}{dt}=[g,H]+\dfrac{\partial g}{\partial t}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {\dot{q}_j=[q_j,H]}}$ e ${ {\dot{p}_j=[p_j,H]}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[p_k,p_j]=0}}$ e ${ {[q_k,q_j]=0}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[q_k,p_j]=\delta_{ij}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
Mostre que se uma função ${ {f}}$ não depende explicitamente de ${t}$ então ${ {[f,H]=0}}$ . ${f}$ diz-se uma constante de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.

Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam.

1 Comentário

Luso Academia diz:

03/24/2019 às 12:09 pm

[…] vimos no formalismo lagrangeano e formalismo hamiltoniano do nosso blog, é mais usual (já que é mais poderoso) trabalhar com o momento em vez da […]

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