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O Princípio da Incerteza

— 23.5. O Princípio da Incerteza —

Imagine que tem uma corda na mão. Essa a corda está amarrada a uma parede de tijolos. Se alguém puxar a corda repentinamente, causaria a formação de um pulso de onda que percorreria a corda até atingir a parede. A cada instante de tempo, poderíamos atribuir uma posição a esse pulso de onda, mas, por outro lado, se lhe pedissem para calcular seu comprimento de onda, não saberia como fazê-lo, pois esse fenómeno não é periódico.

Imagine agora que, em vez de apenas produzir um empurrão, movimenta continuamente a corda para que produzir uma onda estacionária . Neste caso, o comprimento de onda é perfeitamente definido, já que este é um fenómeno que é periódico, mas a posição da onda perde seu significado.

A mecânica quântica, como veremos em artigos posteriores, pede uma descrição de partículas que é dada em termos de pacotes de ondas. De modo geral, um pacote de ondas é o resultado da soma de um número infinito de ondas (com diferentes comprimentos de onda e fases) que exibem interferência construtiva em apenas uma pequena região do espaço. Um número infinito de ondas com diferentes momentos é necessário para garantir uma interferência construtiva e destrutiva nas regiões apropriadas do espaço.

Assim, vemos que, somando mais e mais ondas, somos capazes de tornar a posição da partícula cada vez mais definida, ao mesmo tempo que tornamos seu momento cada vez menos definido (lembre-se de que as ondas que estamos a somar têm momentos diferentes).

Em uma linguagem mais formal, alguém diria que estamos a trabalhar em dois espaços diferentes. O espaço de {x} e o espaço de {p}.

Assim sendo, no formalismo de pacotes de ondas é impossível ter um fenómeno que esteja perfeitamente localizado em ambos os espaços ao mesmo tempo.

Fisicamente falando, isso significa que, para uma partícula, a sua posição e momento têm uma distribuição inerente. Podemos, teoricamente, fazer com que a dispersão de uma das quantidades seja tão pequena quanto se deseja, mas isso faria com que a dispersão na outra quantidade fosse maior e maior. Isso quer dizer que quanto mais localizada uma partícula é, mais seu momento é disperso e quanto mais preciso for o momento de uma partícula, mais difusa será sua posição.

Este resultado é conhecido como o Princípio da Incerteza de Heisenberg e podemos torná-lo matematicamente rigoroso, mas por enquanto este argumento é suficiente.

Com isso, já podemos ver que a Mecânica Quântica precisa de um novo modo radical de confrontar a realidade.

Por enquanto, vamos apenas colocar este resultado em uma base quantitativa e deixar a sua demonstração para um artigo posterior.

\displaystyle \sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (54)

 

Podemos interpretar o princípio da incerteza na linguagem das medições feitas em um conjunto de sistemas preparados de forma idêntica. Imagine que preparamos um ensemble cujas medidas de posição são muito definidas. Isso quer dizer que sempre que medimos a posição de uma partícula, os resultados são muito parecidos. Neste caso, caso fizéssemos medições do momento de cada partícula, veríamos que os valores de momento seriam muito diferentes.

Por outro lado, podíamos obter um conjunto de partículas cujas medições de momento tivessem pequenas diferenças entre eles. Nesse caso, o preço a pagar seria que as posições das partículas ficassem totalmente espalhadas.

Evidentemente, entre esses dois extremos, há uma infinidade de possíveis resultados. A única limitação que o princípio da incerteza estipula é que o produto das dispersões das duas quantidades tem que ser maior do que {\dfrac{\hbar}{2}}.

Exercício 5 Uma partícula de massa {m} está no estado

\displaystyle \Psi(x,t)=Ae^{-a\left[\dfrac{mx^2}{\hbar}+it\right]} \ \ \ \ \ (55)

 

Onde {A} e {a} são constantes positivas.

Determine o valor de {A}

Para calcular o valor de {A} é preciso normalizar a função de onda

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx\\ &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2a\dfrac{mx^2}{\hbar}}\, dx\\ &= |A|^2 \sqrt{\dfrac{\hbar\pi}{2am}} \end{aligned}}

portanto

\displaystyle A=\sqrt[4]{\frac{2am}{\hbar\pi}}

Qual função de energia potencial {V(x)} faz {\Psi} satisfazer a equação de Schroedinger?

A equação de Schroedinger é

\displaystyle i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi

Para o primeiro termo segue

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-ia\Psi

A primeira derivada de {x} é

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial x}=-\frac{2amx}{\hbar}\Psi

A segunda derivada de {x} é

{\begin{aligned} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} &= -\frac{2am}{\hbar}\Psi+ \dfrac{4a^2m^2x^2}{\hbar ^2}\Psi\\ &= -\dfrac{2am}{\hbar}\left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \end{aligned}}

Substituindo essas expressões na equação de Schroedinger

{\begin{aligned} V\Psi &= i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\\ &= a\hbar\Psi+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\\ &= a\hbar\Psi-a\hbar\Psi+\hbar a\dfrac{2amx^2}{\hbar}\Psi\\ &= 2ma^2x^2\Psi \end{aligned}}

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\displaystyle V=2ma^2x^2

Calcular os valores médios de {x} , {x^2} , {p} e {p^2}.

O valor médio de {x}

\displaystyle <x>=|A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx=0

O valor médio de {p}

\displaystyle <p>=m\frac{d<x>}{dt}=0

O valor médio de {x^2}

{\begin{aligned} <x^2> &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx\\ &= 2|A|^2\dfrac{1}{4(2m/\hbar)}\sqrt{\dfrac{\pi\hbar}{2am}}\\ &= \dfrac{\hbar}{4am} \end{aligned}}

O valor médio de {p^2}

{\begin{aligned} <p^2> &= \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} \right)^2\Psi\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\, dx\\ &= 2am\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi\, dx\\ &= 2am\hbar\left[ \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^*\Psi\, dx -\dfrac{2am}{\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* x^2 \Psi\, dx\right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}<x^2> \right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}\dfrac{\hbar}{4am}\right]\\ &=2am\hbar\left( 1-1/2 \right)\\ &=am\hbar \end{aligned}}

Calcule {\sigma_x} e {\sigma_p}. O seu produto é consistente com o princípio da incerteza ?

\displaystyle \sigma_x=\sqrt{<x^2>-<x>^2}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}

\displaystyle \sigma_p=\sqrt{<p^2>-<p>^2}=\sqrt{am\hbar}

E o produto das duas quantidades anteriores é

\displaystyle \sigma_x \sigma_p=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}\sqrt{am\hbar}=\frac{\hbar}{2}

O produto é consistente com o princípio da incerteza.


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