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Como calcular quantidades dinâmicas utilizando a função de onda

— 23.4. Momento e Outras Quantidades Dinâmicas —

Vamos supor que temos uma partícula descrita pela função de onda {\Psi} então o valor médio da sua posição é (como vimos em Normalização da Função de Onda ? Exercícios):

\displaystyle <x>=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\, dx

Os neófitos interpretam a equação anterior como se estivesse dizendo que o valor médio coincide com a média de várias medições da posição de uma partícula descrita por {\Psi}.

Esta interpretação está errada, pois a primeira medição fará com que a função de onda colapse para o valor que é realmente obtido. Assim, as medidas da posição feitas imediatamente a seguir terão todas o mesmo valor que primeira medição.

Na realidade {<x>} é a média de medições de posição de partículas que são todas descritas pelo estado {\Psi}.

Isso quer dizer que temos duas maneiras de realmente realizar o que está implícito na interpretação anterior de {<x>}:

  1. Temos uma única partícula. Então, depois que uma medição de posição é feita, temos que ser capazes de fazer com que a partícula retorne ao seu estado inicial, {\Psi}, antes de fazermos uma nova medição.
  2. Temos uma coleção – um ensemble estatístico é um nome mais respeitável – de um grande número de partículas (para que seja estatisticamente significante) e preparamos todas elas para estarem no estado {\Psi}. Se realizarmos a medição da posição de todas essas partículas, então a média das medições deve ser {<x>}.

Para ser mais sucinto:

O valor médio resulta da média de medições repetidas em um conjunto de sistemas preparados de forma idêntica.

Uma vez que {\Psi} é um objeto matemático dependente do tempo, é óbvio que {<x>} também é uma quantidade dependente do tempo:

{\begin{aligned} \dfrac{d<x>}{dt}&= \int_{-\infty}^{+\infty}x\dfrac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\, dx \\ &= \dfrac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}x\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}-\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right)\, dx \\ &= -\dfrac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}-\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right)\,dx \\ &= -\dfrac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx \end{aligned}}

onde usamos a integração por partes e o facto de que o quadrado da função de onda tem que ser integrável, o que significa dizer que a função é infinitamente pequena em {x} quando este tende para infinito.

(Rigorosamente falando o espaço de Hilbert não é o melhor espaço matemático para construir o formalismo matemático da mecânica quântica. O problema com a abordagem dos espaços de Hilbert para a mecânica quântica é tem duas vertentes:

  1. as funções que estão no espaço de Hilbert têm necessariamente o seu quadrado integrável. O problema é que muitas vezes precisamos calcular quantidades que não dependem de uma dada função, mas de sua derivada (por exemplo), mas apenas porque uma função tem o seu quadrado integrável não significa que sua derivada também seja. Portanto, não temos nenhuma garantia matemática de que a maioria das integrais que estamos calculando realmente convergem.
  2. O segundo problema é que quando estamos lidando com espectros contínuos (mais tarde veremos o que isso significa) e as funções próprias (também vamos definir isto mais tarde) são divergentes.

A equação anterior não expressa a velocidade média de uma partícula quântica. Na nossa construção da mecânica quântica, nada nos permite falar sobre a velocidade da partícula. Na verdade, nem sequer sabemos qual é o significado de

velocidade de uma partícula.

em mecânica quântica!

Como uma partícula não tem uma posição definida antes da medição, ela também não pode ter uma velocidade bem definida.

Mais adiante veremos como construir a densidade de probabilidade para velocidade no estado {\Psi}.

Para os propósitos da presente secção, apenas postularemos que o valor médio da velocidade é igual à derivada de tempo do valor médio da posição.

\displaystyle <v>=\dfrac{d<x>}{dt} \ \ \ \ \ (50)

 

Como vimos no formalismo lagrangeano e formalismo hamiltoniano do nosso blog, é mais usual (já que é mais poderoso) trabalhar com o momento em vez da velocidade.

Uma vez que {p=mv} a equação relevante para o momento é:

\displaystyle <p>=m\dfrac{d<x>}{dt}=-i\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx \ \ \ \ \ (51)

 

Uma vez que {x} representa o operador posição, podemos dizer, de uma forma análoga, que

\displaystyle \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}

representa o operador momentuo. Uma maneira de entender por que essa definição faz sentido é reescrever a definição do valor médio da posição

\displaystyle <x>=\int \Psi^* x \Psi \, dx

e reescrever a equação 51 de uma forma mais conveniente

\displaystyle <p> = \int \Psi^*\left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi \, dx

Depois de saber como calcular o valor médio dessas duas grandezas dinâmicas, a questão agora é como calcular o valor médio de outras quantidades dinâmicas?

Sabemos que todas as grandezas dinâmicas podem ser expressas como funções de {x} e {p}. Levando isso em conta, basta escrever a função apropriada da grandeza em termos de {p} e {x} e, em seguida, calcule o valor médio.

De uma forma mais formal a equação para o valor médio de uma quantidade dinâmica {Q=Q(x,p)} é

\displaystyle <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx \ \ \ \ \ (52)

 

Como exemplo, vamos ver qual seria a expressão relevante para a energia cinética.

Daqui em diante usaremos {T} para denotar a energia cinética em vez de {K}.

\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}

Portanto, o valor médio

\displaystyle <T>=-\frac{\hbar ^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}\, dx \ \ \ \ \ (53)

 

 


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