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Normalização da Função de Onda – Exercícios

Exercício 1 No instante de tempo {t=0} uma partícula é representada pelo seguinte equação de onda:

\displaystyle \Psi(x,0)=\begin{cases} Ax/a & \text{if } 0\leq x\leq a\\ A(b-x)/(b-a) & \text{se } a\leq x\leq b \\ 0 & \text{restante}\end{cases} \ \ \ \ \ (45)

 

Onde {A}, {a} and {b} são constantes.

Normalize {\Psi}

{{\begin{aligned} 1&=\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2\,dx\\ &=\int_0^a|\Psi|^2\,dx+\int_a^b|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a|x^2\,dx+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\int_a^b(b-x)^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\left[ \dfrac{(b-x)^3}{3} \right]_a^b\\ &=\dfrac{|A|^2a}{3}+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\dfrac{(b-a)^3}{3}\\ &=\dfrac{|A|^2a}{3}+|A|^2\dfrac{b-a}{3}\\ &=\dfrac{b|A|^2}{3} \end{aligned}}}

Assim para {A} é

\displaystyle A=\sqrt{\dfrac{3}{b}}

Represente {\Psi(x,0)}

De {0\leq x \leq a} e {\Psi(x,0)} é uma função estritamente crescente que assume de valores de {0} a {A}.

De {a \leq x \leq b} temos que {\Psi(x,0)} é uma função estritamente decrescente que vai de {A} a {0}. Assim o gráfico de {\Psi(x,0)} é (escolhendo os seguintes valores {a=1}, {b=2} e {A=\sqrt{b}=\sqrt{2}}):

Onde é mais provável encontrar a partícula para {t=0}?

Uma vez que {x=a} é o máximo de {\Psi} o valor mais provável é {x=a}.

Qual é a probabilidade de encontrar a partícula à esquerda de {a}? Verifique as respostas para {b=a} and {b=2a}.

{\begin{aligned} P(x<a)&=\int_0^a|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a x^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a\\ &=\dfrac{|A|^2}{3}a\\ &=\dfrac{3}{3b}a\\ &=\dfrac{a}{b} \end{aligned}}

Em primeiro lugar vamos olhar para o caso limite {b=a}. Podemos imaginar que este caso resulta do processo de tornarmos o ponto {b} cada vez mais próximo do ponto {a}. Assim sendo, o domínio da a parte decrescente de {\Psi(x,0)} é cada vez menor. Quando finalmente {b=a} a função {\Psi(x,0)} deixa de ter um domínio onde é estritamente decrescente e {\Psi(x,0)} fica somente definida pela sua parte decrescente e nula (nos domínios apropriados). Ou seja à direita de {a} a função toma o valor {0}.

Assim a probabilidade da partícula ser encontrada à esquerda de {a} é {1}.

Pelo cálculo anterior vemos que {P(x<a)_{b=a}=1} que é o resultado correcto..

O caso {b=2a} deve ser analisado de uma forma diferente. Neste caso:

  • {x=a} é o ponto médio do domínio de {\Psi(x,0)} onde {\Psi(x,0)} é diferente de {0} (excluindo as extremidades do domínio).
  • {\Psi(x,0)} é estritamente crescente na primeira metade do domínio ({0\leq x\leq a}).
  • {\Psi(x,0)} é estritamente decrescente na segunda metade do domínio ({a\leq x\leq b}).
  • {\Psi(x,0)} é contínua.

Assim podemos concluir que {\Psi(x,0)} é simétrica em torno de {a} e desta forma a probabilidade de encontrar a partícula de {a} é {1/2}.

Vimos anteriormente que {P(x<a)_{b=2a}=1/2} que é o resultado correcto.

Qual é o valor médio de {x}?

{\begin{aligned} <x>&= \int_a^b x|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a x^3\,dx+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\int_a^b x(b-x)^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]_0^a+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\left[ 1/2x^2b^2-2/3x^3b+x^4/4 \right]_a^b\\ &=\dfrac{2a+b}{4} \end{aligned}}

Exercício 2 Considere a função de onda

\displaystyle \Psi(x,t)=Ae^{-\lambda |x|}e^{-i\omega t} \ \ \ \ \ (46)

 

Onde {A}, {\lambda} and {\omega} são constantes reais e positivas.

Normalize {\Psi}

{\begin{aligned} 1&=\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2\,dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} |A|^2e^{-2\lambda |x|}\,dx\\ &=2|A|^2\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda |x|}\,dx \\ &=2|A|^2\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda x}\,dx \\ &=-\dfrac{|A|^2}{\lambda}\left[ e^{-2\lambda x} \right]_0^{+\infty}\\ &=\dfrac{|A|^2}{\lambda} \end{aligned}}

Logo temos

\displaystyle A=\sqrt{\lambda}

Determine {<x>} and {<x^2>} {\begin{aligned} <x>&=\int_{-\infty}^{+\infty} x|\Psi|^2\,dx\\ &=|A|^2\int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-2\lambda |x|}\,dx\\ &=0 \end{aligned}}

Este integral definido é igual a {0} pois estamos a integrar uma função ímpar entre limites simétricos.

{\begin{aligned} <x^2>&=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2|\Psi|^2\,dx\\ &=2\lambda\int_0^{+\infty} x^2e^{-2\lambda x}\,dx\\ &=2\lambda\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{4}\dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\left( e^{-2\lambda x} \right)\,dx\\ &=\dfrac{\lambda}{2} \dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda\,dx} x \,dx\\ &= \dfrac{\lambda}{2} \dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2} \left[ -\dfrac{e^{-2\lambda\,dx}}{2\lambda} \right]_0^{+\infty}\\ &= \dfrac{\lambda}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\left(\dfrac{1}{2\lambda} \right)\\ &=\dfrac{\lambda}{2}\dfrac{\partial}{\partial \lambda}\left(-\dfrac{1}{\lambda ^2} \right)\\ &=\dfrac{\lambda}{2}\dfrac{1}{\lambda^3}\\ &= \dfrac{1}{2\lambda^2} \end{aligned}}

Calcule o desvio de padrão de {x}. Faça o gráfico de {\Psi ^2}. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula fora do domínio {[<x>-\sigma,<x>+\sigma]}?

\displaystyle \sigma ^2=<x^2>-<x>^2=\frac{1}{2\lambda ^2}-0=\frac{1}{2\lambda ^2}

Assim o desvio padrão é

\displaystyle \sigma=\dfrac{\sqrt{2}}{2\lambda}

O quadrado da função de onda é proporcional a {e^{-2\lambda |x|}}. Assim a função, primeira derivada e segunda derivada da função de onda em ordem a {x} são da forma:

\displaystyle |\Psi|^2=\begin{cases} e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (47)

 

\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial x}|\Psi ^2|=\begin{cases} 2\lambda e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ -2\lambda e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (48)

 

\displaystyle \dfrac{\partial ^2}{\partial x ^2}|\Psi|^2=\begin{cases} 4\lambda ^2 e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ 4\lambda ^2 e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (49)

 

Como podemos ver a primeira derivada de {|\Psi|^2} muda de sinal em {0} de positivo para negativo. Assim {|\Psi|^2} era estritamente crescente antes de {0} e estritamente decrescente depois de {0}. Assim {0} é um máximo de {|\Psi|^2}.

A segunda derivada é sempre positiva, logo {|\Psi|^2} tem a concavidade voltada para cima.

Assim a sua representação gráfica é:

A probabilidade de encontrar a partícula fora do domínio {[<x>-\sigma, <x>+\sigma ]} é

{\begin{aligned} P(<x>-\sigma, <x>+\sigma)&= 2\int_\sigma^{+\infty}|\Psi|^2\,dx\\ &= 2\lambda\int_\sigma^{+\infty}e^{2\lambda x}\\ &= 2\lambda\left[ -\dfrac{e^{2\lambda x}}{2\lambda} \right]_\sigma^{+\infty}\\ &=\lambda \dfrac{e^{2\lambda x}}{2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda\dfrac{\sqrt{2}}{2\lambda}}\\ &=e^{-\sqrt{2}} \end{aligned}}


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  1. […] Normalização da Função de Onda – Exercícios […]

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