Normalização da Função de Onda – Exercícios

Exercício 1 No instante de tempo ${t=0}$ uma partícula é representada pelo seguinte equação de onda:

$\displaystyle \Psi(x,0)=\begin{cases} Ax/a & \text{if } 0\leq x\leq a\\ A(b-x)/(b-a) & \text{se } a\leq x\leq b \\ 0 & \text{restante}\end{cases} \ \ \ \ \ (45)$

Onde ${A}$ , ${a}$ and ${b}$ são constantes.

Normalize ${\Psi}$

${{\begin{aligned} 1&=\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2\,dx\\ &=\int_0^a|\Psi|^2\,dx+\int_a^b|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a|x^2\,dx+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\int_a^b(b-x)^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\left[ \dfrac{(b-x)^3}{3} \right]_a^b\\ &=\dfrac{|A|^2a}{3}+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\dfrac{(b-a)^3}{3}\\ &=\dfrac{|A|^2a}{3}+|A|^2\dfrac{b-a}{3}\\ &=\dfrac{b|A|^2}{3} \end{aligned}}}$

Assim para ${A}$ é

$\displaystyle A=\sqrt{\dfrac{3}{b}}$

Represente ${\Psi(x,0)}$

De ${0\leq x \leq a}$ e ${\Psi(x,0)}$ é uma função estritamente crescente que assume de valores de ${0}$ a ${A}$ .

De ${a \leq x \leq b}$ temos que ${\Psi(x,0)}$ é uma função estritamente decrescente que vai de ${A}$ a ${0}$ . Assim o gráfico de ${\Psi(x,0)}$ é (escolhendo os seguintes valores ${a=1}$ , ${b=2}$ e ${A=\sqrt{b}=\sqrt{2}}$ ):

Onde é mais provável encontrar a partícula para ${t=0}$ ?

Uma vez que ${x=a}$ é o máximo de ${\Psi}$ o valor mais provável é ${x=a}$ .

Qual é a probabilidade de encontrar a partícula à esquerda de ${a}$ ? Verifique as respostas para ${b=a}$ and ${b=2a}$ .

${\begin{aligned} P(x<a)&=\int_0^a|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a x^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^a\\ &=\dfrac{|A|^2}{3}a\\ &=\dfrac{3}{3b}a\\ &=\dfrac{a}{b} \end{aligned}}$

Em primeiro lugar vamos olhar para o caso limite ${b=a}$ . Podemos imaginar que este caso resulta do processo de tornarmos o ponto ${b}$ cada vez mais próximo do ponto ${a}$ . Assim sendo, o domínio da a parte decrescente de ${\Psi(x,0)}$ é cada vez menor. Quando finalmente ${b=a}$ a função ${\Psi(x,0)}$ deixa de ter um domínio onde é estritamente decrescente e ${\Psi(x,0)}$ fica somente definida pela sua parte decrescente e nula (nos domínios apropriados). Ou seja à direita de ${a}$ a função toma o valor ${0}$ .

Assim a probabilidade da partícula ser encontrada à esquerda de ${a}$ é ${1}$ .

Pelo cálculo anterior vemos que ${P(x<a)_{b=a}=1}$ que é o resultado correcto..

O caso ${b=2a}$ deve ser analisado de uma forma diferente. Neste caso:

${x=a}$ é o ponto médio do domínio de ${\Psi(x,0)}$ onde ${\Psi(x,0)}$ é diferente de ${0}$ (excluindo as extremidades do domínio).
${\Psi(x,0)}$ é estritamente crescente na primeira metade do domínio ( ${0\leq x\leq a}$ ).
${\Psi(x,0)}$ é estritamente decrescente na segunda metade do domínio ( ${a\leq x\leq b}$ ).
${\Psi(x,0)}$ é contínua.

Assim podemos concluir que ${\Psi(x,0)}$ é simétrica em torno de ${a}$ e desta forma a probabilidade de encontrar a partícula de ${a}$ é ${1/2}$ .

Vimos anteriormente que ${P(x<a)_{b=2a}=1/2}$ que é o resultado correcto.

Qual é o valor médio de ${x}$ ?

${\begin{aligned} <x>&= \int_a^b x|\Psi|^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\int_0^a x^3\,dx+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\int_a^b x(b-x)^2\,dx\\ &=\dfrac{|A|^2}{a^2}\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]_0^a+\dfrac{|A|^2}{(b-a)^2}\left[ 1/2x^2b^2-2/3x^3b+x^4/4 \right]_a^b\\ &=\dfrac{2a+b}{4} \end{aligned}}$

Exercício 2 Considere a função de onda

$\displaystyle \Psi(x,t)=Ae^{-\lambda |x|}e^{-i\omega t} \ \ \ \ \ (46)$

Onde ${A}$ , ${\lambda}$ and ${\omega}$ são constantes reais e positivas.

Normalize ${\Psi}$

${\begin{aligned} 1&=\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi|^2\,dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} |A|^2e^{-2\lambda |x|}\,dx\\ &=2|A|^2\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda |x|}\,dx \\ &=2|A|^2\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda x}\,dx \\ &=-\dfrac{|A|^2}{\lambda}\left[ e^{-2\lambda x} \right]_0^{+\infty}\\ &=\dfrac{|A|^2}{\lambda} \end{aligned}}$

Logo temos

$\displaystyle A=\sqrt{\lambda}$

Determine ${<x>}$ and ${<x^2>}$ ${\begin{aligned} <x>&=\int_{-\infty}^{+\infty} x|\Psi|^2\,dx\\ &=|A|^2\int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-2\lambda |x|}\,dx\\ &=0 \end{aligned}}$

Este integral definido é igual a ${0}$ pois estamos a integrar uma função ímpar entre limites simétricos.

${\begin{aligned} <x^2>&=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2|\Psi|^2\,dx\\ &=2\lambda\int_0^{+\infty} x^2e^{-2\lambda x}\,dx\\ &=2\lambda\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{4}\dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\left( e^{-2\lambda x} \right)\,dx\\ &=\dfrac{\lambda}{2} \dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda\,dx} x \,dx\\ &= \dfrac{\lambda}{2} \dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2} \left[ -\dfrac{e^{-2\lambda\,dx}}{2\lambda} \right]_0^{+\infty}\\ &= \dfrac{\lambda}{2}\dfrac{\partial^2}{\partial \lambda ^2}\left(\dfrac{1}{2\lambda} \right)\\ &=\dfrac{\lambda}{2}\dfrac{\partial}{\partial \lambda}\left(-\dfrac{1}{\lambda ^2} \right)\\ &=\dfrac{\lambda}{2}\dfrac{1}{\lambda^3}\\ &= \dfrac{1}{2\lambda^2} \end{aligned}}$

Calcule o desvio de padrão de ${x}$ . Faça o gráfico de ${\Psi ^2}$ . Qual é a probabilidade de encontrar a partícula fora do domínio ${[<x>-\sigma,<x>+\sigma]}$ ?

$\displaystyle \sigma ^2=<x^2>-<x>^2=\frac{1}{2\lambda ^2}-0=\frac{1}{2\lambda ^2}$

Assim o desvio padrão é

$\displaystyle \sigma=\dfrac{\sqrt{2}}{2\lambda}$

O quadrado da função de onda é proporcional a ${e^{-2\lambda |x|}}$ . Assim a função, primeira derivada e segunda derivada da função de onda em ordem a ${x}$ são da forma:

$\displaystyle |\Psi|^2=\begin{cases} e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (47)$

$\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial x}|\Psi ^2|=\begin{cases} 2\lambda e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ -2\lambda e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (48)$

$\displaystyle \dfrac{\partial ^2}{\partial x ^2}|\Psi|^2=\begin{cases} 4\lambda ^2 e^{2\lambda x} & \text{se } x < 0\\ 4\lambda ^2 e^{-2\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ (49)$

Como podemos ver a primeira derivada de ${|\Psi|^2}$ muda de sinal em ${0}$ de positivo para negativo. Assim ${|\Psi|^2}$ era estritamente crescente antes de ${0}$ e estritamente decrescente depois de ${0}$ . Assim ${0}$ é um máximo de ${|\Psi|^2}$ .

A segunda derivada é sempre positiva, logo ${|\Psi|^2}$ tem a concavidade voltada para cima.

Assim a sua representação gráfica é:

A probabilidade de encontrar a partícula fora do domínio ${[<x>-\sigma, <x>+\sigma ]}$ é

${\begin{aligned} P(<x>-\sigma, <x>+\sigma)&= 2\int_\sigma^{+\infty}|\Psi|^2\,dx\\ &= 2\lambda\int_\sigma^{+\infty}e^{2\lambda x}\\ &= 2\lambda\left[ -\dfrac{e^{2\lambda x}}{2\lambda} \right]_\sigma^{+\infty}\\ &=\lambda \dfrac{e^{2\lambda x}}{2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda\dfrac{\sqrt{2}}{2\lambda}}\\ &=e^{-\sqrt{2}} \end{aligned}}$

1 Comentário

Luso Academia diz:

03/24/2019 às 12:09 pm

[…] Normalização da Função de Onda – Exercícios […]

GostarGostar

Responder

Deixe um comentário Cancelar resposta

Insira aqui o seu comentário...

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Email (obrigatório) (O endereço nunca será tornado público)

Nome (obrigatório)

Site da Web

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Facebook ( Terminar Sessão / Alterar )

Cancelar

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Luso Academia

Normalização da Função de Onda – Exercícios

Estatística do blog

Artigos recentes

Siga o nosso blog via Email

Arquivos

1 Comentário

Deixe um comentário Cancelar resposta

Donativos

Categorias

Artigos & páginas mais populares

Comentários recentes

Localização

Luso Academia

Normalização da Função de Onda – Exercícios

Estatística do blog

Artigos recentes

Siga o nosso blog via Email

Arquivos

Partilhar

Gostar disto:

Relacionado

1 Comentário

Deixe um comentário Cancelar resposta

Donativos

Categorias

Artigos & páginas mais populares

Comentários recentes

Localização