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Normalização da Função de Onda

— 23.3. Normalização —

A Equação de Schroedinger é uma equação a derivadas parciais linear. Como tal, se { {\Psi(x,t)}} é uma solução, então { {A\Psi(x,t)}} (onde { {A}} é uma constante complexa) também é uma solução.

Será que isto quer dizer que um determinado problema em Mecânica Quântica tem um número infinito de soluções? Não! Não nos podemos esquecer que para além da equação de Schroedinger também temos que ter em consideração a condição de normalização. A condição de normalização para a função de onda é:

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=1 \ \ \ \ \ (41)

 

A equação anterior diz-nos que a partícula em estudo deve estar num dado local num certo instante.

Uma vez que { {A}} é uma constante complexa a condição de normalização fixa { {A}} em termos de valor absoluto mas não nos pode dizer nada quanto à sua fase.

O facto do valor da fase não estar determinado não é preocupante uma vez que a fase não tem qualquer significado físico.

Obviamente que durante a discussão anterior nós assumimos que a função de onda é normalizável. Dito de outra forma estamos a dizer que a função de onda não diverge e tende para zero com rapidez suficiente na vizinhança do infinito.

Normalmente diz-se que as funções de onda que não respeitam estas condições não representam estados físicos. No entanto esta afirmação não é totalmente verdadeira. Por exemplo, uma função de onda que não é normalizável pode representar um feixe de partículas numa experiência de scattering. Neste caso podemos interpretar a divergência do integral como sendo resultado do facto do feixe ser constituído por um número infinito de partículas.

A questão que agora se coloca é se temos garantido a consistência da normalização da Equação de Schroedinger. O que nos garante que a normalização da Equação de Schroedinger para um dado instante de tempo permanece válida para todos os outros instantes de tempo?

Vamos então olhar para a evolução temporal da Condição de Normalização 41

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2dx \ \ \ \ \ (42)

 

Calculando a derivada no lado direito da equação anterior

{ {\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2&=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* (x,t)\Psi (x,t))\\ &=\Psi^* (x,t)\frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}+\frac{\partial \Psi^* (x,t)}{\partial t}\Psi (x,t) \end{aligned}}}

O complexo conjugado da equação de Schroedinger é:

\displaystyle \frac{\partial \Psi^*(x,t)}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*(x,t)}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*(x,t) \ \ \ \ \ (43)

 

Assim para a derivada fica

{ {\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2&=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* (x,t)\Psi (x,t))\\ &=\Psi^* (x,t)\frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}+\frac{\partial \Psi^* (x,t)}{\partial t}\Psi (x,t)\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*(x,t)\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^*(x,t)}{\partial x^2}\Psi (x,t)\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*(x,t)\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\Psi(x,t) \right) \right] \end{aligned}}}

Voltando a 42

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=\frac{i\hbar}{2m}\left[ \Psi^*(x,t)\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\Psi(x,t) \right]_{-\infty}^{+\infty} \ \ \ \ \ (44)

 

Uma vez que estamos a assumir que a função de onda é normalizável, a função de onda e o seu complexo conjugado devem tender para {0} em { {+\infty}} e { {-\infty}}.

Concluindo:

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=0

Uma vez que a derivada é nula podemos concluir que o integral é constante.

Em conclusão podemos dizer que ao normalizarmos a Função de Onda para um dado instante de tempo garante que a mesma fica normalizada para todos os instantes de tempo.

 

Mecânica Quântica – A Função de Onda

— 23. A Função de Onda —

Após o artigo anterior onde fizemos uma breve revisão de probabilidades e estatística está na hora de olharmos com algum detalhe para a Mecânica Quântica propriamente dita. Deste modo vamos começar a estudar a função de onda pois este conceito é seguramente o mais importante que vamos encontrar num primeiro curso de Mecânica Quântica.

Assim sendo o objectivo desta secção é introduzir a função de onda da Mecânica Quântica e explicar qual é a sua interpretação física e relevância.

— 23.1. A Equação de Schroedinger —

O objectivo da Mecânica Clássica é derivar a equação de movimento , { {x(t)}}, de uma partícula de massa { {m}}. Depois de determinarmos { {x(t)}} as outras quantidades dinâmicas podem ser calculadas através de { {x(t)}}.

O nosso problema é então o de calcular { {x(t)}}? Na Mecânica Clássica este problema é resolvido através da aplicação do Segundo Axioma de Newton:

\displaystyle  \displaystyle F=\frac{dp}{dt}

Para Sistemas Conservativos temos { {F=-\dfrac{\partial V}{\partial x}}} (anteriormente tínhamos usado { {U}} para denotar a energia potencial mas agora iremos usar { {V}}).

Assim para a Mecânica Clássica temos:

\displaystyle  \displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2}=-\dfrac{\partial V}{\partial x}

como a equação que nos ajudará a determinar { {x(t)}} (desde que conheçamos as condições iniciais).

No que concerne à Mecânica Quântica temos que utilizar a equação de Schroedinger para determinar a equação de movimento que especifica o Estado Físico da partícula em estudo.

Definição 14

A Equação de Schroedinger especifica o Estado Físico de uma partícula em mecânica Quântica

\displaystyle   i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi \ \ \ \ \ (40)

— 23.2. A Interpretação Estatística —

Uma vez determinada a equação de onda devemos nos perguntar qual será a sua interpretação. Esta pergunta tem uma forte razão de ser uma vez que uma partícula é algo que está localizado enquanto que uma onda é algo que ocupa uma região de espaço

De acordo com a interpretação de Born a função de onda de uma partícula está relacionada coma probabilidade de ela ocupar uma determinada região no espaço.

De forma exacta podemos dizer que { {|\Psi(x,t)|^2dx}} é a densidade de proabilidade de encontrar uma partícula entre { {x}} e { {x+dx}}.

Esta interpretação da função de onda introduz o não determinismo na Mecânica Quântica uma vez que não podemos saber com certeza a posição de uma partícula mas somente a probabilidade de encontrar a partícula num dado intervalo.

O mistério que se apresenta a nós é:

  1. Onde está a partícula imediatamente após a sua posição ser medida?
  2. O que acontece antes do acto de medição?
  3. Onde estava a partícula antes dos nossos instrumentos interagirem com ela e mostrarem-nos a sua posição?

Estas questões têm três respostas possíveis:

  1. Realista: Um Físico Realista acredita que a partícula estava na posição onde foi medida. Se esta é uma resposta válida então a Mecânica Quântica tem que ser uma teoria incompleta uma vez que não consegue prever que a partícula estava na posição onde foi medida.
  2. Ortodoxa: Um físico ortodoxo é alguem que acredita que a partícula não tinha uma posição definida antes de ser medida e que é a acção de medição que força a partícula a ocupar uma posição.
  3. Agnosticismo: um físico agnóstico é uma físico que pensa que não sabe a resposta para esta pergunta e como tal recusa respondê-la.

Até 1964 qualquer uma destas posições era aceitável no mundo da Física. Mas nesse ano John Stewart Bell provou um teorema relacionado com o paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen que mostrou que se uma partícula tem uma posição definida antes da medição então existe uma diferença observável no resultado de algumas experiências (mais para a frente iremos explicar o que queremos dizer com isto).

Assim sendo a posição agnóstica não era mais uma posição respeitável e cabia à Natureza mostrar qual das outras duas opções era a opção verdadeira.

Apesar dos três físicos descritos acima não concordarem com qual era a posição que uma partícula tinha imediatamente antes de ser medida, todos os físicos concordam com qual é a sua posição imediatamente após ser medida. Se em primeiro lugar medimos {X} então a segunda medição também tem que ser {x}.

Concluindo a função de onda pode evoluir de dois modos:

  1. Pode ter uma evolução livre de descontinuidades (a não ser que o potencial seja ilimitado em algum ponto) regida pela Equação de Schroedinger.
  2. Colapsa para um valor único devido a uma medição

Nota Breve:

Caros leitores,

Os apontamentos anteriormente publicados tiveram como fontes Bibliográficas : o livro Direito Fiscal, de Dr. Casalta Nabais, bem como o manual de Lições de Finanças Públicas e Direito Financeiro de Dra. Elisa Rangel Nunes. E não só. Os mesmos, também foram “enriquecidos” com os resumos constantes no blog de Vieira Miguel Manuel. 

 

C A P Í T U L O II: O Orçamento Geral do Estado

  1. Noção e elementos do Orçamento de Estado.

O orçamento (do Estado) é um documento onde as despesas e as receitas [ de Estado] se encontram previstas ou,  melhor dizendo,  orçadas, e competentemente autorizadas, para o período de um ano.

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Atendendo a referida definição, teremos de ter em consideração os dois elementos, que qualquer orçamento, seja público ou privado, deverá conter: a previsão e a limitação no tempo.

No entanto, e tratando-se de um Orçamento do Estado, há que ter em atenção a autorização da Assembleia Nacional.

Neste sentido, poderemos definir o Orçamento de Estado, como um “ documento apresentado sob a forma de lei, que comporta uma descrição detalhada de todas as receitas e todas as despesas do Estado, proposto pelo Governo e autorizadas pela Assembleia” Nacional, “e previstas antecipadamente para o horizonte temporal de um ano”.

2. Orçamento de Gerência e Orçamento de Exercício.

Ao abordarmos a questão, ou questões relativas a previsão de receitas e despesas do período orçamental,  há que ter em atenção :

1.  O tipo de receitas e despesas que deverão ser inscritas.

Ou seja, 

1.1 As receitas a cobrar durante o ano e as despesas a pagar no mesmo período,

Ou  

1.2 As receitas e despesas resultantes de créditos a receber ou de dívidas a pagar naquele mesmo período?

Quanto ao previsto no 1.1,  estamos perante o Orçamento de Gerência. Isto é, aquele em que se prevêem as receitas que o Estado irá cobrar e as despesas que irá pagar durante o período financeiro. Neste sentido, estamos perante uma previsão de cobranças e de pagamentos.

Por sua vez, e de acordo com o explanado no 1.2, estaremos perante um Orçamento de Exercício, aquando da previsão das receitas que o Estado irá cobrar e as despesas que irá pagar em virtude dos créditos e das dívidas que surgirão a seu favor ou contra, durante o período financeiro.

Pelo exposto, e conforme defende Teixeira Ribeiro, o Orçamento de Exercício é uma previsão de receitas e de despesas na sua fase inicial de créditos e de dívidas.

ex: Uma empreitada no ano N é avaliada em AKZ 5.000.000,00 ( cinco milhões de kwanzas ). No entanto, a obra será efectuada em N e N+1. Ou seja, AKZ 3.000.000,00 ( três milhões de kwanzas ) e AKZ 2.000.000,00 ( dois milhões de kwanzas ), respectivamente. Como será registrada a empreitada? No orçamento de exercício inscrever-se-á a importância de AKZ 5.000.000,00 ( Cinco milhões de kwanzas ), enquanto que no orçamento de gerência o montante será de AKZ 3.000.000,00 ( três milhões de kwanzas)

Orçamento de Exercício e Orçamento de Gerência.

Do exposto anteriormente, denotamos que não existe nenhuma coincidência entre os dois orçamentos, 

pois, surgirá a duvida quanto a escolha, no sentido em que, no orçamento deverão prever-se as receitas a cobrar e as despesas que se pagarão no respectivo período, 

ou

 as receitas e despesas cujos créditos e dívidas irão surgir?

Qualquer das escolhas terá as suas vantagens e inconvenientes, a citar :

Se a escolha for o orçamento de exercício, e no que concerne a uma despesa com efeitos plurianuais, a mesma deverá ser prevista no orçamento do ano ( o mesmo para os créditos ) , em que se efectua o contrato. 

Deste modo, o orçamento de exercício permite-nos saber se os montantes de que o Estado se vai tornar credor são ou não suficientes para cobrir as importâncias de que se vai tornar devedor,

 dando-nos assim a situação financeira do Estado. O que é uma vantagem. 

No entanto, nem todos os créditos serão cobrados ou dívidas serão pagas… no ano previsto. Pelo que, no orçamento de exercício, surgirá a dificuldade de avaliar a situação de Caixa do estado. 

No Orçamento de Gerência, surgirá a dificuldade de responsabilização de cada Governo pela elaboração e execução dos orçamentos que lhe serão imputáveis, pois, casos haverá em que a execução de determinadas despesas ( plurianuais ) admitirão o seu desfecho de contas num período complementar. N+1

3. Funções do Orçamento

Após abordagem anterior sobre a definição de Orçamento Geral de Estado e, consequente, caracterização das receitas e despesas que o mesmo encerra em si, no presente título abordaremos as Funções do Orçamento, ou seja, para que serve ou servirá um orçamento de Estado.

Neste sentido, e…

atendendo as suas funções como instrumento legal que garantirá, 

 1. uma [melhor] redistribuição de rendimentos, 2. estabilização económica e 3. afectação dos recursos económicos, a priori, ressaltar-nos-a a ideia de que o Orçamento Geral de Estado possui Funções económicas.

Assim, 

o Orçamento velará pela racionalidade económica e a gestão eficiente dos recursos comuns, bem como será responsável pela definição de políticas sociais para as famílias e políticas de apoio às entidades colectivas, 

enquadradas num plano financeiro eficaz, estruturando e organizando toda a actividade financeira do Estado.

Por outro lado, o Orçamento Geral de Estado incorpora em si Funções Políticas, 

pois, 

e atendendo a sua definição legal, o mesmo carece de autorização política para a sua aprovação, materializando-se, assim,

 numa das garantia dos direitos fundamentais e numa garantia de equilíbrio e separação dos poderes entre os diversos orgãos de soberania.

Quanto a sua Função Jurídica, a mesma revela-se pelo facto de o orçamento se constituir, materialmente, como uma lei da República com carácter de força obrigatória. 

Ou seja,

 o orçamento possui as mesmas características que a lei, isto é, no que se concerne a sua coercibilidade e generalidade, e sua natureza imperativa.

Ou seja,

 “ ao seu caracter imperativo, deverão ser observados os ditames por ele estabelecidos em todos os seus aspectos. Pois, tem natureza vinculativa e não meramente orientadora da acção financeira pública.

NOTA IMPORTANTE : 

Segundo o Dr. Ricardo Catarino, no seu livro Finanças Públicas e Direito Financeiro,

 o orçamento possui, também, uma dimensão limitadora dos poderes executivos, pois, necessita ou melhor tem de respeitar o princípio do consentimemto prévio dos povos, no lançamento dos tributos, ou seja, é uma forma de garantia pelo respeito aos valores de utilização racional dos recurso públicos, da utilização dos impostos como instrumento de financiamento e regulação da economia.

Assim, denotamos um desdobramento das funções jurídicas, pois, a lei/o orçamento, limita e impõe ordem a ser cumprida nos termos em que se encontra estabelecida.

4. O Orçamento ( seus elementos) e figuras afins 

Quanto aos seus elementos, e de acordo com as suas funções, constataremos que o Orçamento possui os seguintes elementos:

Económico, ao tratar-se de uma previsão da gestão orçamental do Estado;

Político, pois, como plano ou projecto de gestão do aparelho do Estado, carecerá sempre de uma autorização política de modos a que vigore;

Jurídico, que o confere força de lei, atribuindo poderes financeiros aos orgãos da Administração.

Estes elementos permitirão ao Orçamento ter uma configuração/caracterização, diferente de outras figuras afins, como os orçamentos das pessoas privadas, da conta do Estado, do Balanço do Estado e do Plano Económico global do Estado 

Fontes do direito financeiro.

  • A Constituição ( da República de Angola) ;
  • Tratados e Acordos Internacionais;
  • Leis e Decreto-Lei

“ A Lei formal reservará à CRA determinadas matérias relacionadas a criação de impostos, autorização de empréstimos e outras operações de crédito, estabelecendo as condições gerais para a aprovação do Orçamento Geral do Estado, definição das infracções fiscais e financeiras e respectivas sanções”

  • Regulamentos Financeiros

Que poderão assumir diversas formas, tais como, por exemplo: 

Despacho Ministerial;

Resolução do Conselho de Ministros; 

Portarias;

Decreto Regulamentar;

Instruções dos responsáveis Administrativos.

Relações do direito financeiro com outros ramos do direito.

Ou seja,

Áreas normativas que o direito financeiro abrange,

Direito Constitucional (financeiro)

  • Os Princípios e normas constitucionais que definem a organização e o exercício do poder político em matéria financeira e ;
  • Os Princípios gerais que orientam essa actividade financeira do Estado.

Direito Administrativo ou Direito da Administração Financeira:

Normas jurídicas de organização interna da Administração Financeira do Estado

Direito Orçamental

Conjunto de princípios e de normas jurídicas que presidem à elaboração, execução, controlo/fiscalização do Orçamento Geral Estado.

Direito das Receitas

Direito Fiscal

Direito de Crédito Público

Direito Processual Financeiro.

Conjunto de normas que regulam a organização e funcionamento dos tribunais financeiros.

Natureza jurídica e autonomia do direito financeiro

Natureza jurídica e autonomia do direito financeiro

Tal como vimos anteriormente,

 a actividade financeira do Estado consubstancia-se por ser o conjunto de acções que o Estado desempenha com o objectivo de obter recursos económico-financeiros necessários para sua sustentabilidade, 

visando a realização das receitas, dos gastos e despesas (previstas) para a concretização das necessidades colectivas/públicas.

Pelo que, e para o exercício “eficaz” desta mesma actividade, o Estado deverá munir-se de um conjunto de normas jurídicas que disciplinam a sua actividade financeira e dos demais entes públicos, direito financeiro. 

Neste sentido, deparamo-nos com a “ existência de um conjunto de princípios ou de regras que regulam a actividade financeira do Estado” que se estenderá em dois planos:

Natureza jurídica e autonomia do direito financeiro

Plano da 

  1. Organização do funcionamento interno da actividade financeira do Estado,

ou seja, 

  1. em Matéria de Controlo e Execução Orçamental; 
  2. Normas que definem qual a estrutura financeira do Estado 

II. Relação Financeira entre o Estado e outras entidades privadas/particulares e das normas que disciplinam a arrecadação de recursos pelo Estado,  e que protegem os particulares, subentendendo-se o conceito de Direito Fiscal, e de suas normas que estão subordinadas a CR.

Autonomia do Direito Financeiro.

Assim, e do exposto, deduziremos que as normas de Direito Financeiro, possuem o 

Poder de conceder as entidades publicas a possibilidade de terem orçamentos próprios, e de os gerir de acordo com as respectivas despesas e receitas , decidindo apenas sobre elas; autonomia orçamental,

Na medida em que, algumas entidades públicas poderão decidir sobre as suas próprias receitas, autonomia de receitas,

E do seu património, autonomia patrimonial, que consistirá no poder das entidades públicas possuirem o seu património, e deterem poderes de gestão sobre o mesmo.

Quanto a Autonomia Creditícia, versará ou consistirá na faculdade que determinada entidade pública possui para recorrer ao crédito, assumindo as correspondentes responsabilidades

Por fim,  e quanto ao poder de gerir automaticamente os recursos monetários próprios em execução ou não do orçamento, consistirá na  Autonomia de Tesouraria.

Ao preceituado sobre Autonomia de Tesouraria, surge o conceito de Desorçamentação, ou seja, uma actividade orçamental paralela ao orçamento do Estado, que deverá ser feita em conformidade e de acordo com a lei.

Ex: Sacos Azuis, financiamentos ilegais de determinadas actividades orçamentadas do OGE.

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