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Natureza Jurídica do Direito Financeiro.
O Direito Financeiro é um Ramo do Direito Público, pois, e em primeira instância, o mesmo, visará no seu propósito primordial, a realização de interesses de natureza colectiva ou interesses colectivos/da colectividade onde o Estado é (ou será) o sujeito activo.
Aula 1: Estatística
Elementos de Estatística Matemática
Nesta Unidade, serão abordados temas relacionados ao método estatístico. Oferecer exemplos de tabelas e gráficos que podem representar de forma sintética, as informações obtidas através de processos de pesquisa, são objectivos específicos desta unidade que têm o propósito de: Demonstrar a importância da Estatística na vida diária; Mostrar como podemos utilizar de forma correcta;
Introdução à Estatística
A palavra Estatística lembra, a maioria das pessoas, recenseamento; Os censos existem a milhares de anos e constitui um esforço imenso e caro feito pelos governos, com objectivo de conhecer seus habitante, sua condição sócio económica, sua cultura, religião, etc.
Portanto, associar à estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras ESTATÍSTICA e ESTADO têm a mesma origem latina; “STATUS”.
É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística ; No Plural (Estatísticas) indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma actividade qualquer.
Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimento, falecimento, matrimónio, desquites, etc.
As estatísticas económicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, e com outras actividades ligadas aos vários sectores de vida económica.
No singular (Estatística) indica a actividade humana, especializada, ou um corpo de técnicos ou ainda uma metodológica desenvolvida para a colecta, classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de decisões.
Importância da Estatística O mundo esta repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de informação Que quantidade de informação
Após obtê-las, que fazer com elas
A Estatística trabalha com essas informações, associando os dados ao trabalho, descobrindo como é, o que colectar, assim capacitando o pesquisador, a obter conclusões a partir dessas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.
vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1 Os Estatísticos do governo conduzem censos de população, morada, produtos, industriais, agricultura, e outros. São feitas compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento e outros dados das industriais e empresas. Essas Estatísticas informam ao administrador como a sua empresa está crescendo, seu incremento em relação a outras empresas e fornece-lhe condições de planear ações futuras. A análise dos dados é muito importante para se fazer um planeamento adequado. |
Exemplo 2 Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para organização de empresas e utilização dos recursos do mundo moderno. |
Em, geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, desconhecem que o aspecto essencial, é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.
Próximo Capítulo: Grandes áreas da Estatística….
Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II
Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.
Definição 50 Seja
como sendo o resto de ordem |
Como
vem que
Assim é
Fazendo vem que
Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem .
Fazendo
Podemos definir
vem que
e
Assim
Ou seja
Temos assim
com
e portanto
Teorema 78
Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada. Demonstração:
Seja Por definição é Logo
Assim
Reciprocamente, se
Então
Assim
Mas
Assim
|
Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.
Teorema 79 {Critério da Comparação}
Sejam Demonstração: Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.
Suponha-se
Sendo então Por outro lado como
vem que De 83 vem então
Assim a série Como (Teorema 76) vem que
|
Corolário 80
Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Corolário 81
Nas condições do teorema anterior, se então
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Corolário 82
Nas condições do teorema anterior, se então
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:
Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.
Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas
— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —
Teorema 73 Se Demonstração: Temos efectivamente
|
Corolário 74
Se
Demonstração: Se
Reciprocamente, suponha-se que |
Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.
Assim quando escrevermos queremos dizer que as séries
e
têm a mesma natureza.
Teorema 75 Se
Demonstração: |
Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Como aplicação do teorema anterior vamos calcular
Onde temos que .
Temos então
Assim fica
Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:
Podemos então dizer o seguinte:
A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.
Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro
— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —
Definição 8 Seja Ao número real |
Comentário 5 É óbvio que se |
Exemplo 8 Se |
É evidente que .
Proposição 17 Seja |
Demonstração: Sejam , então
:
,i.e.,
de modo análogo,
Assim,
Para cada conjunto de
e
, denotaremos o conjunto
, onde pode se dar o caso de
.
Proposição 18 Seja
|
Demonstração:
-
(pela definição do ínfimo de um conjunto).
- Basta tomar
.
- Deixada ao leitor.
- Seja
,existe
,
. Portanto,
-
- Sugestão:
se
.
Definição 9 Sejam |
É evidente que se , então
, em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente
.
Proposição 19 Seja
|
Demonstração: Deixadas ao leitor.
Definição 10 Seja |
Exemplo 9 |
Proposição 20 Sejam
|
Demonstração: Deixada ao leitor.
Topologia dos Espaços Métricos
— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —
Definição 4 Seja |
Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado. |
Exemplo 6 Observamos que |
Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto. |
Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3.
Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto. |
Demonstração: Seja uma família de abertos, e
. Temos de mostrar que
é aberto.
Seja , então existe
tal que
, pela definição 1.4 existe uma bola aberta
, como
, concluímos que
.
Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto. |
Demonstração: Seja uma família de abertos e
. Temos de mostrar que
é fechado.
Seja para todo
. Então existem
tais que
. Se
então
e
é
Proposição 12
|
Demonstração: Deixada ao leitor.
Definição 5 O interior de O fecho de |
Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que |
Proposição 13 Seja
|
Demonstração: 1. Seja , pela Definição 1.5 significa que existe um aberto
tal que
. Como
é aberto, então existe
e uma bola
. A implicação inversa é simples, basta notarmos que se
e
é um conjunto aberto, então
.
2.Deixada ao leitor.
Proposição 14 Seja
|
Demonstração: deixada ao leitor.
Definição 6 Um subconjunto |
Proposição 15 Um conjunto |
Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13.
Definição 7 Seja |
Proposição 16 Seja |
Demonstração: Por definição, o fecho de ,
, é fechado e por isso
. Segue que se
, então existe um conjunto aberto
contendo
com
e daí
e
. Isto mostra que
.
Por outro lado, suponhamos e
um aberto contendo
. Se
, então
é um conjunto fechado e
. Mas,
, contradição. Se
e
, então, para qualquer aberto
com
, temos
. Logo,
é um ponto limite de
. Assim,
.
Topologia – Introdução aos Espaços Métricos
— 1.1.4. Alguns Exemplos de Espaços Métricos —
Na aula de hoje, daremos alguns exemplos de espaços métricos, e só depois continuaremos com a topologia dos espaços métricos. Infelizmente, pela grande variedade de espaços métricos que existem, que são infinitos, não poderemos demonstrar que cada métrica definida em um conjunto dado realmente fora um espaço métrico, por isso as respectivas demonstrações são deixadas ao leitor.
Comentário 3 É importante notarmos que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas. |
Exemplo 5
|
Definição 3 Seja
|
Exercício 1 Seja dada a aplicação definida por é uma pseudométrica se e só se |
Exercício 2 Prove que se
é uma família enumerável de pseudométricas e é uma função que satisfaz:
então a função definida por é uma pseudométrica, e que é uma métrica se e só se para todo |