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Natureza Jurídica do Direito Financeiro.

12/08/2018 8:40 pm / Deixe um comentário

O Direito Financeiro é um Ramo do Direito Público, pois, e em primeira instância, o mesmo, visará no seu propósito primordial, a realização de interesses de natureza colectiva ou interesses colectivos/da colectividade onde o Estado é (ou será) o sujeito activo.

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Aula 1: Estatística

09/30/2018 3:29 pm / Deixe um comentário

Elementos de Estatística Matemática

Nesta Unidade, serão abordados temas relacionados ao método estatístico. Oferecer exemplos de tabelas e gráficos que podem representar de forma sintética, as informações obtidas através de processos de pesquisa, são objectivos específicos desta unidade que têm o propósito de: Demonstrar a importância da Estatística na vida diária; Mostrar como podemos utilizar de forma correcta;

Introdução à Estatística

A palavra Estatística lembra, a maioria das pessoas, recenseamento; Os censos existem a milhares de anos e constitui um esforço imenso e caro feito pelos governos, com objectivo de conhecer seus habitante, sua condição sócio económica, sua cultura, religião, etc.

Portanto, associar à estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras ESTATÍSTICA e ESTADO têm a mesma origem latina; “STATUS”.

É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística ; No Plural (Estatísticas) indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma actividade qualquer.

Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimento, falecimento, matrimónio, desquites, etc.

As estatísticas económicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, e com outras actividades ligadas aos vários sectores de vida económica.

No singular (Estatística) indica a actividade humana, especializada, ou um corpo de técnicos ou ainda uma metodológica desenvolvida para a colecta, classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de decisões.

Importância da Estatística O mundo esta repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de informação ${?}$ Que quantidade de informação ${?}$ Após obtê-las, que fazer com elas ${?}$

A Estatística trabalha com essas informações, associando os dados ao trabalho, descobrindo como é, o que colectar, assim capacitando o pesquisador, a obter conclusões a partir dessas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.

vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1 Os Estatísticos do governo conduzem censos de população, morada, produtos, industriais, agricultura, e outros. São feitas compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento e outros dados das industriais e empresas. Essas Estatísticas informam ao administrador como a sua empresa está crescendo, seu incremento em relação a outras empresas e fornece-lhe condições de planear ações futuras. A análise dos dados é muito importante para se fazer um planeamento adequado.

Exemplo 2 Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para organização de empresas e utilização dos recursos do mundo moderno.

Em, geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, desconhecem que o aspecto essencial, é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Próximo Capítulo: Grandes áreas da Estatística….

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

09/28/2018 10:06 am / Deixe um comentário

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ convergente. Para cada ${m>p}$ a série $\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n$ também converge. Podemos então definir:

$\displaystyle r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)$

como sendo o resto de ordem ${m}$ da série $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$

Como

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n$

vem que

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m$

Assim é

$\displaystyle r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n$

Fazendo ${m \rightarrow +\infty}$ vem que $\lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0$

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem ${m}$ .

$\displaystyle \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m$

Fazendo

$\displaystyle r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}$

Podemos definir

$\displaystyle \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}$

vem que

$\displaystyle \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

$\displaystyle \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Assim

$\displaystyle - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Ou seja

$\displaystyle |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Temos assim

$\displaystyle r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m$

com

$\displaystyle |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

e portanto

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m$

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ onde ${u_n \geq 0\, \forall n \geq p}$ e seja ${S_m}$ a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

$\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n$

Logo

$\displaystyle S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0$

Assim ${S_m}$ é crescente.Se ${S_m}$ converge, ${S_m}$ é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se ${S_m}$ é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então ${S_m}$ converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim ${S_m}$ converge sse ${S_m}$ for majorada.

Mas ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ converge sse ${S_m}$ converge.

Assim ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ converge sse ${S_m}$ tem majorante.

$\Box$

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n}$ duas séries de termos gerais não negativos. Se ${u_n = O(v_n)}$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)$

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se ${v_n}$ convergente. Como ${u_n= O(v_n)}$ existe uma sucessão ${h_n}$ limitada e um índice ${k}$ tais que ${u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}$ .

Sendo então ${L}$ um majorante de ${h_n}$ vem que

$\displaystyle u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)$

Por outro lado como

$\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n$

vem que ${v_n}$ converge. Pelo Teorema 78 ${v_n}$ tem as somas parciais majoradas. Assim ${\exists n \geq 0 }$ tal que ${\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k}$ .

De 83 vem então

$\displaystyle \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k$

Assim a série $\sum_{n=k}^{+ \infty} u_n$ também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n$

(Teorema 76) vem que ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n}$ converge.

$\Box$

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem ${k}$ tal que ${u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k}$ então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

$\displaystyle \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[$

então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

$\displaystyle u_n \sim v_n$

então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

09/27/2018 9:23 am / Deixe um comentário

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ converge e ${\alpha \in \mathbb{R}}$ , então também $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ converge e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)$

Demonstração: Temos efectivamente

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}$

$\Box$

Corolário 74

Se ${\alpha \neq 0}$ as séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ têm a mesma natureza.

Demonstração: Se $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, $\sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n$ também é convergente. Ou seja, $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ é convergente $\Box$

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo ${\leftrightarrow }$ como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ queremos dizer que as séries $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}$ e $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} v_n$ são ambas convergentes então também $\sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)$ é convergente e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)$

Demonstração: ${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}}$ $\Box$

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}$ têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n$

Onde temos que ${|r|<1}$ .

Temos então

${\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}$

Assim fica

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1$

Teorema 77 Dada uma série ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ , um índice ${k>p}$ , as séries ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ e ${\sum_{n=k}^{+\infty} u_n}$ têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)$

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

$\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n$

e tomar o limite ${m \rightarrow +\infty}$ $\Box$

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

$\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p$

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

09/26/2018 9:33 am / Deixe um comentário

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Se ${A\subset X}$ não vazio, o conjunto das distâncias ${x}$ e os elementos de ${A}$ é definido por

$\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.$

Ao número real ${d(x,A)\geq 0}$ chama-se distância de ${x}$ ao conjunto ${A}$ .

Comentário 5 É óbvio que se ${x\in A}$ , então ${d(x,A)=0}$ , mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.

Exemplo 8 Se ${X=\mathbb{R}}$ e ${A=(a,b)}$ , então ${d_{1}(a,A)=0}$ e ${a\not\in A}$ . Temos também, ${d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}$ .

É evidente que ${d(A,x)=d(x,A)}$ .

Proposição 17 Seja ${A\subset X}$ e ${x,y\in X}$ . Então:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)$

Demonstração: Sejam ${x,y\in X}$ , então ${\forall a\in A}$ :

$\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

,i.e.,

$\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)$

de modo análogo,

$\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).$

Assim,

$\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).$

$\Box$

Para cada conjunto ${A}$ de ${X}$ e ${\epsilon\geq 0}$ , denotaremos o conjunto ${A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}$ , onde pode se dar o caso de ${\epsilon=\infty}$ .

Proposição 18 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Então, para cada ${A,B}$ e ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ subconjuntos de ${X}$ ,as seguintes afirmações são verdadeiras:

${d(x,\emptyset)=\infty}$ e ${d(x,A)<\infty}$ se ${A\neq\emptyset}$ .
${d(x,\{x\})=0}$ .
Se ${A\subseteq B}$ , então ${d(x,A)\leq d(x,B)}$ .
${\forall \epsilon>0}$ , ${0\leq\epsilon\leq\infty}$ , ${d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}$ .
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}$
${d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}$

Demonstração:

${d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty}$ (pela definição do ínfimo de um conjunto).
Basta tomar ${A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}$ .
Deixada ao leitor.
Seja ${a\in A_{\epsilon}}$ ,existe ${a'\in A}$ , ${d(a,a')<\epsilon}$ . Portanto,
$\displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.$
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}$
Sugestão: ${d(x,A)\geq d(x,B)}$ se ${A\subseteq B}$ .

$\Box$

Definição 9 Sejam ${A,B}$ subconjuntos de ${X}$ , onde ${(X,d)}$ é um espaço métrico. A distância entre ${A}$ e ${B}$ é o número

$\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.$

É evidente que se ${A\cap B\neq\emptyset}$ , então ${d(A,B)=0}$ , em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente ${d(A,B)=d(B,A)}$ .

Proposição 19 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A,B,C}$ e ${D}$ subconjuntos de ${X}$ , e famílias ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ , ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ de subconjuntos de ${X}$ . Então:

${d(A,B)<\infty}$ se e só se ${A}$ e ${B}$ são não vazios.
${d(A,B)=0}$ se ${A\cap B\neq\emptyset}$ .
Se ${A\subseteq B}$ e ${C\subseteq D}$ , então ${d(A,C)\leq d(B,D)}$ .
Para todo ${\epsilon,\epsilon'}$ , ${0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}$ , ${d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}$ .
${d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}$ .
${d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}$ .

Demonstração: Deixadas ao leitor. $\Box$

Definição 10 Seja ${A\subseteq X}$ , onde ${(X,d)}$ é um espaço métrico. O diâmetro de ${A}$ é definido como

$\displaystyle \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.$

Exemplo 9 ${\delta(\emptyset)=\sup \emptyset=-\infty}$ .

Proposição 20 Sejam ${A,B\subseteq X}$ . Então:

Se ${A\subseteq B}$ , então ${\delta(A)\leq\delta(B)}$ .
${\delta(A_{\epsilon})\leq 2\epsilon+\delta(A)}$ , ${\forall\epsilon>0}$ .
${\delta(A\cup B)\leq \delta(A)+\delta(B)+d(A,B)}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Topologia dos Espaços Métricos

09/26/2018 9:29 am / Deixe um comentário

— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —

Definição 4 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ . Diz-se que ${A}$ é um conjunto aberto se para todo ${x\in A}$ existe ${r>0}$ : ${B(x,r)\subseteq A}$ . Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado se seu complementar ${X\setminus F}$ é aberto.

Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado.

Exemplo 6 Observamos que ${X}$ e ${\emptyset}$ são ambos conjuntos aberto e fechado. É claro que a condição acima é satisfeita para ambos, i.e., ${X}$ e ${\emptyset}$ são abertos, logo, novamente pela definição acima, seus complementares são fechados.

Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3. $\Box$

Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ uma família de abertos, e ${A=\cup_{i\in I}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é aberto.

Seja ${x\in \cup_{i\in I}A_{i}}$ , então existe ${i_{0}\in I}$ tal que ${x\in A_{i_{0}}}$ , pela definição 1.4 existe uma bola aberta ${B(x,r)\subseteq A_{i_{0}}}$ , como ${A_{i_{0}}\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ , concluímos que ${B(x,r)\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ . $\Box$

Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i}^{n}}$ uma família de abertos e ${A=\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é fechado.

Seja ${x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{i}}$ para todo ${i}$ . Então existem ${r_{k}>0}$ tais que ${B(x,r_{k})\subseteq A_{i}}$ . Se ${r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}}$ então ${r>0}$ e ${B(x,r)\subseteq\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ é

$\Box$

Proposição 12

Toda bola fechada num espaço métrico é um conjunto fechado.
A intersecção enumerável de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
A união finita de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
Todo conjunto finito é fechado.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 5 O interior de ${A}$ é o maior conjunto aberto contido em ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle int A=\cup\{U:U\subseteq A\text{ onde }U \text{ é aberto }\}.$

O fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é o menor conjunto fechado em ${X}$ contendo ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle \overline{A}=\cap\{K: A\subseteq K, K\text{ fechado }\}.$

Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que ${\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}$ , é tal que ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ (muito importante !!!) e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ . Para provarmos isto, suponha que ${U\subset\mathbb{R}}$ é aberto. Então, como as bolas abertas em ${\mathbb{R}}$ são intervalos, existe um intervalo ${(a,b)\subset U\subset\mathbb{R}}$ , onde ${a<b}$ . Como entre dois números reais sempre existe um número irracional, segue-se que ${(a,b)\cap \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\neq \emptyset}$ , ${U\nsubseteqq\mathbb{Q}}$ e por isso ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ . Se ${\mathbb{Q}\subset K}$ é um subespaço fechado de ${\mathbb{R}}$ , então ${\mathbb{R}\setminus K}$ é aberto e não contém racionais. Segue-se que não contêm nenhum intervalo por que qualquer intervalo não vazio de números reais contém um número racional. Assim, ${\mathbb{R}\setminus K=\emptyset}$ e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ .

Proposição 13 Seja ${A\subseteq X}$ . Então:

${x\in int A}$ se e só se existe ${r>0}$ tal que ${B(x,r)\subseteq A}$ .
${x\in \overline{A}}$ se e só se para todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: 1. Seja ${x\in intA}$ , pela Definição 1.5 significa que existe um aberto ${U}$ tal que ${x\in U\subseteq A}$ . Como ${U}$ é aberto, então existe ${r>0}$ e uma bola ${B(x;r)\subseteq U\subseteq A}$ . A implicação inversa é simples, basta notarmos que se ${B(x,r)\subseteq A}$ e ${B(x,r)}$ é um conjunto aberto, então ${B(x,r)\subseteq intA}$ .

2.Deixada ao leitor.

$\Box$

Proposição 14 Seja ${A}$ um subconjunto de ${X}$ .

${A}$ é fechado se e só se ${A=\overline{A}}$ .
${A}$ é aberto se e só se ${A=int A}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${\overline{\cup_{i=1}^{n}A_{i}}= \cup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${int(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\cap_{i=1}^{n}int(A_{i})}$ .

Demonstração: deixada ao leitor. $\Box$

Definição 6 Um subconjunto ${A}$ de um espaço métrico ${X}$ é denso se ${\overline{A}=X}$ . Um espaço métrico ${X}$ é separável se contém um subconjunto denso enumerável.

Proposição 15 Um conjunto ${A}$ é denso em ${(X,d)}$ se e só se para todo ${x\in X}$ e todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13. $\Box$

Definição 7 Seja ${A\subseteq X}$ , então um ponto ${x\in X}$ é chamado de ponto limite de ${A}$ se para todo ${\epsilon >0}$ existe um ponto ${y}$ em ${B(x,\epsilon)\cap A}$ com ${y\neq x}$ .

Proposição 16 Seja ${A\subset X}$ , onde ${X}$ é um espaço métrico, então ${\overline{A}=A\cup A'}$ , onde ${A'}$ representa o conjunto dos pontos limites de ${A}$ ou derivado de ${A}$ .

Demonstração: Por definição, o fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é fechado e por isso ${A\subset\overline{A}}$ . Segue que se ${x\in \overline{A}}$ , então existe um conjunto aberto ${U}$ contendo ${x}$ com ${U\cap A=\emptyset}$ e daí ${x\not\in A}$ e ${x\not\in A'}$ . Isto mostra que ${A\cup A' \subset \overline{A}}$ .

Por outro lado, suponhamos ${x\in\overline{A}}$ e ${V}$ um aberto contendo ${x}$ . Se ${V\cap A=\emptyset}$ , então ${A\subset(X\setminus V)}$ é um conjunto fechado e ${\overline{A}\subset(X\setminus V)}$ . Mas, ${x\not\in \overline{A}}$ , contradição. Se ${x\in \overline{A}}$ e ${x\not\in A}$ , então, para qualquer aberto ${V}$ com ${x\in V}$ , temos ${V\cap A\neq\emptyset}$ . Logo, ${x}$ é um ponto limite de ${A}$ . Assim, ${\overline{A}\subset A\cup A'}$ . $\Box$

Topologia – Introdução aos Espaços Métricos

09/26/2018 9:24 am / Deixe um comentário

— 1.1.4. Alguns Exemplos de Espaços Métricos —

Na aula de hoje, daremos alguns exemplos de espaços métricos, e só depois continuaremos com a topologia dos espaços métricos. Infelizmente, pela grande variedade de espaços métricos que existem, que são infinitos, não poderemos demonstrar que cada métrica definida em um conjunto dado realmente fora um espaço métrico, por isso as respectivas demonstrações são deixadas ao leitor.

Comentário 3 É importante notarmos que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas.

Exemplo 5

Seja , este é sem dúvida o espaço métrico mais importante, podemos definir nele as seguintes métricas:
- ${d_{1}(x,y)=\mid x-y\mid }$ , ${\forall x,y\in \mathbb{R},}$ . Esta é a métrica usual ou euclidiana.
- ${d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}}$ , ${\forall x,y\in \mathbb{R}}$ . (Sugestão: para provarmos que esta métrica satisfaz a desigualdade triangular podemos aplicar a desigualdade: ${\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ , ${\forall a,b\in \mathbb{R}}$ ).
- ${\rho(x,y)=\frac{d_{1}(x,y)}{1+d_{1}(x,y)}}$ , onde ${d_{1}}$ é a métrica usual euclidiana.(sugestão: a função ${f(a)=\frac{a}{1+a}}$ é crescente, logo, ${\mid a+b\mid\leq\mid a\mid+\mid b\mid\Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid + \mid b\mid)}$ ).
Se podemos definir as seguintes métricas:
- ${d_{t}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid}$ , onde ${x=(x_{1},x_{2})}$ e ${y=(y_{1},y_{2})}$ . Esta métrica é conhecida como métrica do táxi.
- ${d_{2}(x,y)=\sqrt{( x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$ , ${x,y\in\mathbb{R}^{2}}$ . Esta é a métrica euclidiana no plano.
- ${d_{max}(x,y)=\max{\mid x_{1}-y_{1}\mid,\mid x_{2}-y_{2}\mid}}$ , é a métrica do máximo.
Se , temos:
- ${d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ , onde ${x=(x_{1},...,x_{n})}$ e ${y=(y_{1},...,y_{n})}$ .(sugestão: use a desigualde de Cauchy-Schwarz: ${(\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid)^{2}\leq (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2})^{2}}$ , ${\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}}$ ).
- ${d_{\infty}(x,y)=\max\{\mid x_{i}-y_{i}\mid:1\leq i\leq n\}}$ , ${x,y\in \mathbb{R}^{n}}$ .
- Para ${p\geq 1}$ , definimos a métrica:
  $\displaystyle d_{p}(x,y):=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}-y_{i}\mid^{p}}$
  
  também é uma métrica em ${\mathbb{R}^{n}}$ .(sugestão: use a desigualdade de Minkovsky: ${\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{1}\mid}\leq\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid^{p}}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid^{p}}}$ , ${\forall p\geq 1}$ ).
Seja ${B(A)}$ o conjunto de todas as funções limitadas no conjunto ${A}$ , então a métrica ${d_{\infty}:B(A)\times B(A)\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ definida por
$\displaystyle d_{\infty}(f,g):=\sup\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in A\}$

torna-o num espaço métrico ${\forall f,g\in B(A)}$ .
Seja , o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo é um espaço métrico com as métricas:
- ${d(f,g):=\max\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in [a,b]\}}$ , ${\forall f,g\in C_{[a,b]} }$ .
- ${d_{p}(f,g):=\sqrt[p]{\int_{a}^{b}\mid f(x)-g(x)\mid^{p}dx}}$ . (sugestão: para a desigualdade triangular use o equivalente integral da desigualdade de Minkovsky)
Terminamos com a métrica ${d_{0}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ , definida por
$\displaystyle d_{0}(x,y):=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}$

onde ${d}$ é uma métrica em ${X}$ . Demonstração: É evidente que ${d_{0}(x,y)\geq 0}$ e que ${d_{0}(x,y)=0}$ se e só se ${x=y}$ . Também é fácil verificar que ${d_{0}(x,y)=d_{0}(y,x)}$ , vamos portanto mostrar apenas a desigualdade triangular,

${d_{0}(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}}$

${\leq\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})+d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}=}$

${\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})}{2^{i}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}}$

${=d_{0}(x,z)+d(z,y)}$

$\Box$

Definição 3 Seja ${d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ uma aplicação, o par ${(X,d)}$ é chamado de pseudométrica ou pseudodistância em ${X}$ se,