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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de {5 \ \mu C} estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

{a= \ h= \ 20 \ mm}.

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova {(q_{o})} que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}

{q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}

{m-?}

.

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga {q_0} com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de {d}.

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas {q_1}, {q_2} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}

Isolando {b}, teremos:

\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+h^2=d^2

Ou:

\displaystyle d^2=b^2+h^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}

Na carga {q_0} actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}.

Então:

\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre {q_0} e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}

Substituindo {d^2}, teremos:

\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}

Calculando:

\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}

\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N

Lembre que:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}

\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N

As forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}, além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em {q_0} e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano {xOy} vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para {F_{03}} e para {F_{04}}. Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_1} e {q_3}.

O eixo {y} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_4} e {q_2}.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e {q_0}.

Neste caso:

  • {F_{01}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{02}} pertence ao plano {yOz},,
  • {F_{03}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{04}} pertence ao plano {zOz}.

As componentes horizontais (no plano {xOy}) anulam-se:

  • {F_{01x}} anula {F_{03x}},
  • {F_{02y}} anula {F_{04y}}.

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}} podem ser calculadas pelas seguintes relação:

\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta

Temos de obter o ângulo {\theta}. Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}

Substituindo {h} e {b} pelos seus valores, obtemos:

\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}

\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o

Sabemos que, pela simetria do problema {F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}. Então:

\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o

\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em {q_0}, que chamamos de {F_{el}}.

Neste caso:

\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7

\displaystyle F_{el}=866,8 \ N

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}

Então:

\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g

Ou:

\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg

Exercício 11 Uma carga de prova {q_0= \ 10 \ \mu C} de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante {K'= \ 10 \ N/m}, conforme a figura abaixo.

Uma outra carga {q_1 \ =50 \ \mu C} é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga {q_0} está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica {F_{01}} e a força elástica {(F_k)}.

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. {K'}-constante elástica e {K}– constante electrostática. O uso de {K'} em vez do habitual {K} para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio {K}.

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

{K'= \ 10 \ N/m}

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}

{q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}

{d-?}

Sabemos que, pela lei de Hook:

\displaystyle F_{k}=K' \cdot x (

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

.

Considerando que na carga {q_0} as duas forças estão em equilíbrio, temos:

\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0

Em módulo, teremos:

\displaystyle F_{k}-F_{01}=0

\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

Passando o {d^2} no membro esquerdo e a {K' \cdot x} para o membro direito, obtemos:

\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}

Substituindo os valores:

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}

\displaystyle d= \ 3, 87 \ m

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