1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas e Campo Eléctrico(Parte 3)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 7 .

O sistema abaixo mostra três cargas ${ q_1= \ -1,5 \ \mu C }$ ; ${ q_2= \ 5 \ \mu C }$ e ${ q_3= \ 10 \ \mu C }$ .

Qual é a força resultante sobre ${q_2}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 7

Dados .

${ q_1= \ -1,5 \ \mu C = \ -1,5 \cdot 10 ^{-6} \ C }$ .

${ q_2= \ 5 \ \mu C = \ 5 \cdot 10^6 \ C }$ .

${ q_3= \ 10 \ \mu C = \ 10 \cdot 10 ^{-6} \ C }$

O exercícios nós pede para calcular a força resultante ${ q_2}$ .

O sistema apresenta um conjunto de 3 cargas. Neste caso, as forças na carga em questão surgem devido a interacção com as outras duas cargas.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ é de atracção, pois ambas têm sinais opostos. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{21}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ .

Denotamos por ${\vec{F_{32}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Veja a figura.

neste caso calculamos em cada caso:

Então, observamos que em ${ q_2}$ actua duas forças: ${\vec{F_{21}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ .

Para calcular o valor dos módulos destas forças vamos usar a formula obtida pela lei de Coulomb.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ temos:

$\displaystyle F_{23}= K \dfrac{| q_2 | | q_3 |}{r_{23}^2}= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(3 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{23}= \ 5 \cdot 10^4 \ N$

A distancia ${r_{23}}$ foi obtida pela diferença das coordenadas de cada carga: ${r_{23}= \ |x_3-x_2|= \ 7-4= \ 3 m}$ .

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{r_{12}^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 1,5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 5 \cdot 10 ^{-6}}{(6 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 0,1875 \cdot 10^{-4} \ N$

Como tem duas forças que interagem em ${q_2}$ podemos calcular a força resultante em ${q_1}$ .

No caso, as duas forças têm mesmo sentido e mesma direcção. Então, não existe necessidade de projectarmos ou usarmos a lei dos cossenos. A força resultante será obtida pela soma dos módulos dos vectores obtidos:

$\displaystyle F_{r2}=F_{23} + F_{21}=50.000+1.875=51.184 \ N$

Exercício 8 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. Sendo: ${q_1=q_2=q_3= \ 10 \ \mu C}$ , qual será:

O campo eléctrico no outro vértice?
A força na carga ${q_2}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 8

O problema nos pede para determinar o Campo eléctrico no ponto O e a força eléctrica resultante na carga ${q_2}$ .

Para obter o campo eléctrico no ponto ${O}$ , devemos ter em conta que o campo eléctrico obedece ao principio de super posição. Neste caso, o campo eléctrico provocado por um sistemas de cargas é igual á soma (vectorial, visto que o campo eléctrico é uma grandeza vectorial dos campos produzidos por cada carga. (Nota: aqui, quando nos referimos ao campo eléctrico, estamos a falar da sua intensidade).
Para o efeito, temos de achar o campo eléctrico produzidos por cada carga no ponto ${O}$ , para termos o campo resultante neste ponto.

No caso de forças, temos de analisar todas as interacções de ${q_2}$ . Neste caso, são duas: A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ , e a interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ é de repulsão, pois ambas têm mesmo sinal. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ também é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{21}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ .

Denotamos por ${\vec{F_{32}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Dados

${a = 0,02 \ mm = 0,02 \cdot 10^{-3} }$

${q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${ K=8,99 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${ E_{R}-? }$

${F_{q_{2}}-? }$

Para calcularmos o campo eléctrico resultante no ponto ${O}$ , vamos calcular o campo produzido por cada carga e fazer a soma vectorial deles. Como as direcções e sentidos têm importância na soma vectorial, devemos, além de calcular os módulos, representar e determinar geometricamente os ângulos entre estes vectores. Traçando os campos eléctricos no ponto ${O}$ , todos apontando para o sentido oposto as cargas que os origina (visto que as cargas são positivas), observamos que teremos neste 3 campos eléctricos: ${\vec{E_1}}$ , ${\vec{E_2}}$ e ${\vec{E_3}}$ , sendo que o primeiro é vertical e apontando para baixo, o segundo é oblíquo, dirigido paralelamente a diagonal do quadrado e o terceiro é horizontal apontando para a direita. Veja figura.

A diagonal de um quadrado faz um ângulo de ${45^o}$ com as suas arestas.

Pela relação do campo criado por uma carga pontual temos:

$\displaystyle E= K \dfrac{q}{r^2}$

Então para o caso da carga ${q_1}$ , temos:

$\displaystyle E_1=K \dfrac{q_1}{r_1^2}=K \dfrac{q_1}{a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1 =9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3})^2}= 2,25 \cdot 10^{14} \ N/C$

Para o caso da carga ${q_3}$ , não precisamos fazer o cálculo, pois ${ E_3 = E_1 }$ , por ter mesmo valor de carga e mesmas distâncias.

Para o caso da carga ${q_2}$ , temos:

$\displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{r_2^2} = K \cdot \dfrac{q_2}{b^2}$

Para tal, temos de obter uma relação para ${b}$ .

Usando o teorema de Pitágoras,temos:

$\displaystyle b^2=a^2 + a^2$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a$

Logo, voltando a ${E_2}$ , temos:

$\displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{(\sqrt{2} a)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{2})^2}=1,125 \cdot 10^{14} \ N/C$

Para calcularmos o campo resultante, trabalharemos com o método de projecções. Como s campo eléctrico ${E_2}$ , vamos obter as suas projecções em ${Ox}$ e em ${Oy}$ .

$\displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2x}$

$\displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2y}$

Substituindo as projecções pelos seus equivalentes, obtemos:

$\displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o$

$\displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o$

Neste caso, o módulo do vector resultante será:

$\displaystyle E_R=\sqrt{ E_{Rx}^{2} + E_{Ry}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow E_R=\sqrt{(E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o)^2 + (E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o)^2}$

Substituindo os valores obtidos anteriormente, obtemos:

$\displaystyle E_{R}=\sqrt{( 2,25 \cdot 10^{14}+1,125 \cdot 10^{14} \cdot \cos 45^o)^2 + ( 2,25 \cdot 10^{14} + 1,125 \cdot 10^{14} \cdot \sin 45^o)^2}$

$\displaystyle E_{R}= \ 4,31 \cdot 10^{14} \ N/C$
Para determinamos a Forças resultante na carga ${q_2}$ , devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.
De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ , não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

$\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para achar a força resultante, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$\displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}$

Como ${F_{23}= F_{21}}$ , então:

$\displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ F_{23}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=3,18 \cdot 10^9$

Exercício 9 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. As cargas são: ${q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C}$ .

Qual carga(módulo e sinal) deve ser colocado no vértice do quadrado para que a força eléctrica resultante em ${q_2}$ seja igual a zero?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 9 .

Dados

${q_1 =q_2 =q_3 = \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${q_4-? }$

${F_{q_{2}}=0}$
A resolução deste problema possui dois caminhos e dois modos:

Modo 1: Calcular a força eléctrica que as cargas actuais exercem no na carga ${q_2}$ . Em seguida calcular, pela lei de Coulomb, qual carga provocaria uma força tal que anulasse esta força.

Modo 1: Representar o sistema de 4 cargas e representar as 3 forças na carga ${q_2}$ . Aplicar a resultante na carga ${q_2}$ , através das componentes e com a condição de que a força deve ser nula, calcular essa carga desconhecida.

Além dos dois modos, há ainda duas variantes de parâmetros: Podemos resolver considerando a Força eléctrica ou considerando o campo eléctrico.

Vamos resolver este problema considerando o 1º modo e usando a força eléctrica.

Primeiro, vamos calcular a força eléctrica resultante na carga ${q_2}$ no sistema, antes da adição da carga ${q_4}$

Para determinamos a força resultante na carga ${q_2}$ dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ ( ${F_{2,13}}$ ), devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ , não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

$\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para achar a força resultante dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ , visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}$

Como ${F_{23}= F_{21}}$ , então:

$\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ F_{23}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=3,18 \cdot 10^9$

Portanto, ${F_{2,13}}$ é a força resultante dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ sobre ${q_2}$ .

Para que a resultante em ${q_2}$ seja zero, é necessário adicionar no vértice ${O}$ uma carga ${q_4}$ que produza em ${q_2}$ uma força ( ${F_{24}}$ ) de igual módulo, mas de sentido oposto.

Neste caso, já concluímos que a carga ${q_4}$ deve ser negativa.

O seu módulo dever ser:

$\displaystyle F_{24} = F_{2,13}$

$\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{b^2} = F_{2,13}$

A diagonal do quadrado ${b}$ é obtida da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo que ele forma com as duas arestas do quadrado.

$\displaystyle b^2=a^2 + a^2$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a$

Então:

$\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{(\sqrt{2} a )^2} = F_{2,13}$

Então, isolando o modulo de ${q_4}$ , obtemos:

$\displaystyle | q_4| = \dfrac{ F_{2,13}(\sqrt{2} a )^2}{K \cdot| q_2 | }$

$\displaystyle \Rightarrow | q_4| = \dfrac{ 3,18 \cdot 10^9 (\sqrt{2} 0,02 \ \ \cdot 10^{-3} )^2}{ 9 \cdot 10^{9}\cdot 10 \cdot 10^{-6} }$

$\displaystyle \Rightarrow | q_4| = 2,83 \cdot 10^{-5} \ C$

Então:

$\displaystyle q_4 = \ - 2,83 \cdot 10^{-5} \ C$

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