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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.

— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —

Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.

Proposição 33 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ , com ${A\neq\emptyset}$ . Então para todo ${x,y\in X}$ e ${z\in A}$ , temos:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (2)$

Demonstração: Como ${X}$ éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:

$\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

tomando o ínfimo para todo ${z\in A}$ e considerando

$\displaystyle d(x,A)=\inf_{z\in A}d(x,z)$

e

$\displaystyle d(y,A)=\inf_{z\in A}d(y,z)$

teremos, ${d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}$ , e depois trocando ${x}$ e ${y}$ se obtem:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y)$

$\Box$

Proposição 34 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, e ${x_{0}\in X}$ . Se definirmos a função distância ${f:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ , como

$\displaystyle f(x)=d(x,x_{0})$

então ${f}$ é contínua.

Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto ${a}$ se e só se ${\forall x_{n}\subset X: x_{n}\longrightarrow a\implies f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente ${(Y=\mathbb{R},\rho_{\text{usual}})}$ portanto, ${\rho(f(x),f(y))=\mid f(x)-f(y)\mid}$ .

Seja ${x_{n}}$ uma sequência de ${X}$ tal que : ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então por definição ${d(x_{n},a)<\epsilon}$ , onde ${\epsilon>0}$ . Logo,

$\displaystyle \rho(f(x_{n}),f(a))=\mid f(x_{n})-f(a)\mid=\mid d(x_{n},x_{0})-d(x_{0},a)\mid\leq d(x_{n},a)<\epsilon$

Portanto, é suficiente tomar ${\delta=\delta(a,\epsilon)=\epsilon}$ e ${d(x,a)<\delta}$ , para garantirmos a continuidade de ${f}$ . E como ${a\in X}$ é arbitrário isto significa que ${f(x)=d(x,x_{0})}$ é contínua para todo ${\mathbb{R}}$ . $\Box$

Exemplo 13

Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico discreto e ${(Y,\rho)}$ um espaço métrico qualquer, então as únicas funções contínuas ${f:x\longrightarrow Y}$ são as funções constantes.
Para provarmos isto, seja ${\epsilon>0}$ basta tomar ${\delta<1}$ , com ${d(x,a)<\delta<1}$ e como ${d}$ é a métrica discreta, i.e.,

$\displaystyle d(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.$

então obviamente ${d(x,a)=0}$ o que implica ${x=a}$ . Assim,

$\displaystyle \rho(f(x),f(a))=\rho(f(a),f(a))=0.$
A função ${f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}}$ definida como:
$\displaystyle f(k,x)=kx$

é contínua.(É facíl provar, deixada ao leitor, não esquecer que ${x\in\mathbb{R}^{n}}$ é um vector, i.e., ${x=(x_{1},\cdots,x_{n})}$ ).

Proposição 35 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ duas funções contínuas. Então:

${(f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ e ${(fg)(x)=f(x)g(x)}$ são contínuas.
Se ${f(x)\neq0}$ para todo ${x\in X}$ , então ${h(x)=\frac{1}{f(x)}}$ é uma função contínua.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.

By joaoemamuel in 00 Geral, 01 Matemática, 04 Ensino Superior, 20 Topologia on 09/22/2019.

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