— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —
Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.
Proposição 33 Seja |
Demonstração: Como éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:
tomando o ínfimo para todo e considerando
e
teremos, , e depois trocando
e
se obtem:
Proposição 34 Seja então |
Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto se e só se
.
É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente portanto,
.
Seja uma sequência de
tal que :
, então por definição
, onde
. Logo,
Portanto, é suficiente tomar e
, para garantirmos a continuidade de
. E como
é arbitrário isto significa que
é contínua para todo
.
Exemplo 13
|
Proposição 35 Seja
|
Demonstração: Deixada ao leitor.
O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.