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Continuidade em Espaços Métricos

— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —

Definição 15 Seja ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ dois espaços métricos, uma função ${f:X\longrightarrow Y}$ é contínua no ponto ${a}$ em ${X}$ se para todo ${\epsilon>0}$ exise um ${\delta>0}$ tal que quando ${d(a,x)<\delta}$ segue que ${\rho(f(a),f(x)<\epsilon}$ .

Comentário 6 Uma função ${f}$ é contínua se é contínua em cada ponto de ${X}$ .

Comentário 7 Se na definição acima fazermos ${X=Y=\mathbb{R}}$ torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo ${\epsilon>0}$ existe um ${\delta>0}$ tal que ${\mid x-a\mid<\delta}$ temos ${\mid f(a)-f(x)\mid}$ .

Proposição 31 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então ${f}$ é contínua em ${a}$ se e somente se sempre que ${x_{n}\subset X}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ em ${Y}$ .

Demonstração: Suponhamos que ${f}$ é contínua em ${a}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ . Como ${f}$ é contínua, então para algum ${N\geq 1}$ tal que ${d(x_{n},a)<\delta}$ quando ${n\geq N}$ . Portanto, ${\rho(f(x_{n}),f(a)<\epsilon}$ quando ${n\geq N}$ . Como ${\epsilon}$ é arbitrário, isto significa que ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que ${f}$ não é contínua em ${a}$ , i.e., existe um ${\epsilon>0}$ tal que para todo ${\delta>0}$ existe pelo menos um ${x}$ com ${d(x,a)<\delta}$ , mas ${\rho(f(x),f(a))\geq \epsilon}$ .

Em particular, tomando ${\delta=\frac{1}{n}}$ temos que para todo ${n\geq1}$ existe um ${x_{n}}$ com ${d(x_{n},a)<\frac{1}{n}}$ e ${\rho(f(x_{n}),f(a))\geq\epsilon}$ . Quando ${n\longrightarrow\infty}$ então ${x_{n}\longrightarrow a}$ , e ${f(x_{n})}$ não converge a ${f(a)}$ . $\Box$

Teorema 32 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então as seguintes afirmações são equivalentes:

${f}$ é uma função contínua em ${X}$ .
Se ${U}$ é um subconjunto aberto de ${Y}$ , então ${f^{-1}(U)}$ é um subconjunto aberto de ${X}$ .
Se ${V}$ é um subconjunto fechado de ${Y}$ , então ${f^{-1}(V)}$ é um subconjunto fechado de ${X}$ .

Demonstração: 2. implica 3.:

Note que ${f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U)}$ e ${f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)}$ .

1.implica 2.: Seja ${a\in f^{-1}(U)}$ tal que ${\alpha=f(a)\in U}$ . Como ${U}$ é aberto, existe um ${\epsilon>0}$ talque ${B(\alpha,\epsilon)\subseteq U}$ . Como ${f}$ é contínua exise um ${\delta>0}$ tal que ${d(a,x)<\delta}$ implica ${\rho(f(a),f(x))<\epsilon}$ . Em outras palavras, ${B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(\alpha,\epsilon))\subseteq f^{-1}(U)}$ . Como ${a}$ era um ponto arbitrário em ${f^{-1}(U)}$ , isto significa que ${f^{-1}(U)}$ é aberto. $\Box$