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Topologia – Introdução aos Espaços Métricos

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— 1.1.4. Alguns Exemplos de Espaços Métricos —

Na aula de hoje, daremos alguns exemplos de espaços métricos, e só depois continuaremos com a topologia dos espaços métricos. Infelizmente, pela grande variedade de espaços métricos que existem, que são infinitos, não poderemos demonstrar que cada métrica definida em um conjunto dado realmente fora um espaço métrico, por isso as respectivas demonstrações são deixadas ao leitor.

Comentário 3 É importante notarmos que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas.
Exemplo 5

  1. Seja {X=\mathbb{R}}, este é sem dúvida o espaço métrico mais importante, podemos definir nele as seguintes métricas:
    • {d_{1}(x,y)=\mid x-y\mid }, {\forall x,y\in \mathbb{R},}. Esta é a métrica usual ou euclidiana.
    • {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}}, {\forall x,y\in \mathbb{R}}. (Sugestão: para provarmos que esta métrica satisfaz a desigualdade triangular podemos aplicar a desigualdade: {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}, {\forall a,b\in \mathbb{R}}).
    • {\rho(x,y)=\frac{d_{1}(x,y)}{1+d_{1}(x,y)}}, onde {d_{1}} é a métrica usual euclidiana.(sugestão: a função {f(a)=\frac{a}{1+a}} é crescente, logo, {\mid a+b\mid\leq\mid a\mid+\mid b\mid\Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid + \mid b\mid)}).
  2. Se {X=\mathbb{R}^{2}} podemos definir as seguintes métricas:
    • {d_{t}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid}, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Esta métrica é conhecida como métrica do táxi.
    • {d_{2}(x,y)=\sqrt{( x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}, {x,y\in\mathbb{R}^{2}}. Esta é a métrica euclidiana no plano.
    • {d_{max}(x,y)=\max{\mid x_{1}-y_{1}\mid,\mid x_{2}-y_{2}\mid}}, é a métrica do máximo.
  3. Se {X=\mathbb{R}^{n}}, temos:
    • {d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}, onde {x=(x_{1},...,x_{n})} e {y=(y_{1},...,y_{n})}.(sugestão: use a desigualde de Cauchy-Schwarz: {(\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid)^{2}\leq (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2})^{2}}, {\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}}).
    • {d_{\infty}(x,y)=\max\{\mid x_{i}-y_{i}\mid:1\leq i\leq n\}}, {x,y\in \mathbb{R}^{n}}.
    • Para {p\geq 1}, definimos a métrica:

      \displaystyle d_{p}(x,y):=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}-y_{i}\mid^{p}}

      também é uma métrica em {\mathbb{R}^{n}}.(sugestão: use a desigualdade de Minkovsky: {\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{1}\mid}\leq\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid^{p}}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid^{p}}}, {\forall p\geq 1}).

  4. Seja {B(A)} o conjunto de todas as funções limitadas no conjunto {A}, então a métrica {d_{\infty}:B(A)\times B(A)\longrightarrow \mathbb{R}^{+}} definida por

    \displaystyle d_{\infty}(f,g):=\sup\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in A\}

    torna-o num espaço métrico {\forall f,g\in B(A)} .

  5. Seja {C_{[a,b]}}, o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo {[a,b]\subset \mathbb{R}} é um espaço métrico com as métricas:
    • {d(f,g):=\max\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in [a,b]\}}, {\forall f,g\in C_{[a,b]} }.
    • {d_{p}(f,g):=\sqrt[p]{\int_{a}^{b}\mid f(x)-g(x)\mid^{p}dx}}. (sugestão: para a desigualdade triangular use o equivalente integral da desigualdade de Minkovsky)
  6. Terminamos com a métrica {d_{0}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}, definida por

    \displaystyle d_{0}(x,y):=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}

    onde {d} é uma métrica em {X}. Demonstração: É evidente que {d_{0}(x,y)\geq 0} e que {d_{0}(x,y)=0} se e só se {x=y}. Também é fácil verificar que {d_{0}(x,y)=d_{0}(y,x)}, vamos portanto mostrar apenas a desigualdade triangular,

    {d_{0}(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}}

    {\leq\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})+d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}=}

    {\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})}{2^{i}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}}

    {=d_{0}(x,z)+d(z,y)}

    \Box

Definição 3 Seja {d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}} uma aplicação, o par {(X,d)} é chamado de pseudométrica ou pseudodistância em {X} se,

  1. {d(x,y)=0} se {x=y},
  2. {d(x,y)=d(y,x)} para todo {x,y\in X},
  3. {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} para todo {x,y,z \in X}.
Exercício 1 Seja dada a aplicação {f:X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}, a aplicação

\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

definida por

\displaystyle d(x,y)= \left \{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{, } x= y\\ f(x)+f(y) & \mbox{, } x\neq y \end{array}\right.

é uma pseudométrica se e só se {f^{-1}(0)} tem no máximo um elemento.

Exercício 2 Prove que se

\displaystyle d_{i}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}\,\,\,(i\in \mathbb{N})

é uma família enumerável de pseudométricas e

\displaystyle \alpha:\mathbb{R}_{\geq0}^{\mathbb{N}}\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

é uma função que satisfaz:

  • {\alpha(x)=0} se e só se {x=0},
  • Se {x\leq y}, então {\alpha(x)\leq\alpha(y)}
  • {\alpha(x+y)\leq\alpha(x)+\alpha(y)}

então a função

\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

definida por

\displaystyle d(x,y):=\alpha(d_{1}(x,y),...,d_{n}(x,y),...),

é uma pseudométrica, e que é uma métrica se e só se para todo {x,y\in X}, com {x\neq y}, existe {i\in \mathbb{N}} tal que {d_{i}(x,y)>0}.

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