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Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado em ${(X,d)}$ , se e só se, toda sequência de pontos em ${F}$ converge para um ponto em ${F}$ . ( ${\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}$ ).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se ${x_{n}\subset F}$ , ${ x_{n}\longrightarrow x}$ e ${F}$ é fechado, então ${x\in F}$ .

Suponhamos pelo contrário que ${x\notin F}$ , então ${x\in X-F}$ que é aberto, logo pela definição 1.4, ${\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}$ , então a partir de uma certa ordem deve existir um ${N}$ , tal que para todo ${n\geq N}$ , ${d(x_{n},x)<r}$ , i.e., ${x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}$ , o que é uma contradição,já que por hipótese ${x_{n}\in F}$ . Portanto, ${x\in F}$ .

Se ${x\in F}$ , então ${x\in\widehat{F}}$ , pela definição 1.5 ${B(x,r)\cap F\neq\emptyset}$ ${\forall r>0}$ . Em particular, para todo natural ${n}$ existe umponto ${x_{n}}$ em ${B(x,\frac{1}{2n})\cap F}$ . Por isso ${x_{n}\subset F}$ e ${d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}$ , assim ${x_{n}\longrightarrow x}$ e ${x\in F}$ . $\Box$

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.

Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.

Lema 25 Se ${x_{n}}$ é uma sucessão de Cauchy de elementos de ${\mathbb{R}}$ , então sua imagem é um conjunto limitado.

Teorema 26 ${\mathbb{R}}$ é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Proposição 27 Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo e ${Y\subseteq X}$ , então ${(Y,d)}$ é completo se e só se ${Y}$ é fechado em ${X}$ .

Corolário 28 Os subconjuntos fechados de ${\mathbb{R}}$ são espaços métricos completos.

Proposição 29 Todo producto ${X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ de espaços métricos completos ${X_{1},\cdots, X_{n}}$ , é um espaço métrico completo.

Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo se e só se sempre que ${\{F_{n}\}}$ é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

Cada ${F_{n}}$ é fechado;
${F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots}$ ;
${diam F_{n}\longrightarrow 0}$ , então ${\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ é um único ponto.