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Topologia dos Espaços Métricos

— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —

Definição 4 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ . Diz-se que ${A}$ é um conjunto aberto se para todo ${x\in A}$ existe ${r>0}$ : ${B(x,r)\subseteq A}$ . Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado se seu complementar ${X\setminus F}$ é aberto.

Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado.

Exemplo 6 Observamos que ${X}$ e ${\emptyset}$ são ambos conjuntos aberto e fechado. É claro que a condição acima é satisfeita para ambos, i.e., ${X}$ e ${\emptyset}$ são abertos, logo, novamente pela definição acima, seus complementares são fechados.

Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3. $\Box$

Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ uma família de abertos, e ${A=\cup_{i\in I}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é aberto.

Seja ${x\in \cup_{i\in I}A_{i}}$ , então existe ${i_{0}\in I}$ tal que ${x\in A_{i_{0}}}$ , pela definição 1.4 existe uma bola aberta ${B(x,r)\subseteq A_{i_{0}}}$ , como ${A_{i_{0}}\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ , concluímos que ${B(x,r)\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ . $\Box$

Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i}^{n}}$ uma família de abertos e ${A=\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é fechado.

Seja ${x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{i}}$ para todo ${i}$ . Então existem ${r_{k}>0}$ tais que ${B(x,r_{k})\subseteq A_{i}}$ . Se ${r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}}$ então ${r>0}$ e ${B(x,r)\subseteq\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ é

$\Box$

Proposição 12

Toda bola fechada num espaço métrico é um conjunto fechado.
A intersecção enumerável de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
A união finita de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
Todo conjunto finito é fechado.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 5 O interior de ${A}$ é o maior conjunto aberto contido em ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle int A=\cup\{U:U\subseteq A\text{ onde }U \text{ é aberto }\}.$

O fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é o menor conjunto fechado em ${X}$ contendo ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle \overline{A}=\cap\{K: A\subseteq K, K\text{ fechado }\}.$

Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que ${\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}$ , é tal que ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ (muito importante !!!) e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ . Para provarmos isto, suponha que ${U\subset\mathbb{R}}$ é aberto. Então, como as bolas abertas em ${\mathbb{R}}$ são intervalos, existe um intervalo ${(a,b)\subset U\subset\mathbb{R}}$ , onde ${a<b}$ . Como entre dois números reais sempre existe um número irracional, segue-se que ${(a,b)\cap \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\neq \emptyset}$ , ${U\nsubseteqq\mathbb{Q}}$ e por isso ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ . Se ${\mathbb{Q}\subset K}$ é um subespaço fechado de ${\mathbb{R}}$ , então ${\mathbb{R}\setminus K}$ é aberto e não contém racionais. Segue-se que não contêm nenhum intervalo por que qualquer intervalo não vazio de números reais contém um número racional. Assim, ${\mathbb{R}\setminus K=\emptyset}$ e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ .

Proposição 13 Seja ${A\subseteq X}$ . Então:

${x\in int A}$ se e só se existe ${r>0}$ tal que ${B(x,r)\subseteq A}$ .
${x\in \overline{A}}$ se e só se para todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: 1. Seja ${x\in intA}$ , pela Definição 1.5 significa que existe um aberto ${U}$ tal que ${x\in U\subseteq A}$ . Como ${U}$ é aberto, então existe ${r>0}$ e uma bola ${B(x;r)\subseteq U\subseteq A}$ . A implicação inversa é simples, basta notarmos que se ${B(x,r)\subseteq A}$ e ${B(x,r)}$ é um conjunto aberto, então ${B(x,r)\subseteq intA}$ .

2.Deixada ao leitor.

$\Box$

Proposição 14 Seja ${A}$ um subconjunto de ${X}$ .

${A}$ é fechado se e só se ${A=\overline{A}}$ .
${A}$ é aberto se e só se ${A=int A}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${\overline{\cup_{i=1}^{n}A_{i}}= \cup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${int(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\cap_{i=1}^{n}int(A_{i})}$ .

Demonstração: deixada ao leitor. $\Box$

Definição 6 Um subconjunto ${A}$ de um espaço métrico ${X}$ é denso se ${\overline{A}=X}$ . Um espaço métrico ${X}$ é separável se contém um subconjunto denso enumerável.

Proposição 15 Um conjunto ${A}$ é denso em ${(X,d)}$ se e só se para todo ${x\in X}$ e todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13. $\Box$

Definição 7 Seja ${A\subseteq X}$ , então um ponto ${x\in X}$ é chamado de ponto limite de ${A}$ se para todo ${\epsilon >0}$ existe um ponto ${y}$ em ${B(x,\epsilon)\cap A}$ com ${y\neq x}$ .

Proposição 16 Seja ${A\subset X}$ , onde ${X}$ é um espaço métrico, então ${\overline{A}=A\cup A'}$ , onde ${A'}$ representa o conjunto dos pontos limites de ${A}$ ou derivado de ${A}$ .

Demonstração: Por definição, o fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é fechado e por isso ${A\subset\overline{A}}$ . Segue que se ${x\in \overline{A}}$ , então existe um conjunto aberto ${U}$ contendo ${x}$ com ${U\cap A=\emptyset}$ e daí ${x\not\in A}$ e ${x\not\in A'}$ . Isto mostra que ${A\cup A' \subset \overline{A}}$ .

Por outro lado, suponhamos ${x\in\overline{A}}$ e ${V}$ um aberto contendo ${x}$ . Se ${V\cap A=\emptyset}$ , então ${A\subset(X\setminus V)}$ é um conjunto fechado e ${\overline{A}\subset(X\setminus V)}$ . Mas, ${x\not\in \overline{A}}$ , contradição. Se ${x\in \overline{A}}$ e ${x\not\in A}$ , então, para qualquer aberto ${V}$ com ${x\in V}$ , temos ${V\cap A\neq\emptyset}$ . Logo, ${x}$ é um ponto limite de ${A}$ . Assim, ${\overline{A}\subset A\cup A'}$ . $\Box$