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Demonstração do Teorema de Cantor

Demonstração: Na proxima aula. $\Box$

ilon>0}&fg=000000$, seja ${N}$ tal que ${diam F_{n}<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N}$ . Assim, se ${m,n\geq N}$ , então ii) implica que ${F_{N}\subseteq F_{n,m}}$ ,i.e., ${diam F_{N}<diam F_{n}<\epsilon}$ , logo ${x_{n}}$ é uma sequência de Cauchy, e como ${(X,d)}$ é completo, então ${\exists x\in X}$ : ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Como cada ${F_{n}}$ é fechado, então ${x\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ . Se ${\exists y\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ , então ${d(x,y)\leq diam F_{n}}$ , logo ${x=y}$ .

Seja agora ${x_{n}}$ uma sequência de Cauchy. Tomando ${F_{n}=\overline{\{x_{n+1}, x_{n},\cdots\}}}$ . Claramente ${F_{n}}$ é fechado e decrescente. Seja ${\epsilon>0}$ e seja ${N}$ tal que ${d(x_{n},x_{m})<\epsilon}$ , ${\forall m,n\geq N}$ . Como ${diam F_{k}=\sup\{d(x_{n},x_{m}):m,n\geq k\}\leq\epsilon\Longrightarrow diam F_{k}\longrightarrow0}$ .