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Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Se ${A\subset X}$ não vazio, o conjunto das distâncias ${x}$ e os elementos de ${A}$ é definido por

$\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.$

Ao número real ${d(x,A)\geq 0}$ chama-se distância de ${x}$ ao conjunto ${A}$ .

Comentário 5 É óbvio que se ${x\in A}$ , então ${d(x,A)=0}$ , mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.

Exemplo 8 Se ${X=\mathbb{R}}$ e ${A=(a,b)}$ , então ${d_{1}(a,A)=0}$ e ${a\not\in A}$ . Temos também, ${d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}$ .

É evidente que ${d(A,x)=d(x,A)}$ .

Proposição 17 Seja ${A\subset X}$ e ${x,y\in X}$ . Então:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)$

Demonstração: Sejam ${x,y\in X}$ , então ${\forall a\in A}$ :

$\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

,i.e.,

$\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)$

de modo análogo,

$\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).$

Assim,

$\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).$

$\Box$

Para cada conjunto ${A}$ de ${X}$ e ${\epsilon\geq 0}$ , denotaremos o conjunto ${A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}$ , onde pode se dar o caso de ${\epsilon=\infty}$ .

Proposição 18 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Então, para cada ${A,B}$ e ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ subconjuntos de ${X}$ ,as seguintes afirmações são verdadeiras:

${d(x,\emptyset)=\infty}$ e ${d(x,A)<\infty}$ se ${A\neq\emptyset}$ .
${d(x,\{x\})=0}$ .
Se ${A\subseteq B}$ , então ${d(x,A)\leq d(x,B)}$ .
${\forall \epsilon>0}$ , ${0\leq\epsilon\leq\infty}$ , ${d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}$ .
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}$
${d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}$

Demonstração:

${d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty}$ (pela definição do ínfimo de um conjunto).
Basta tomar ${A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}$ .
Deixada ao leitor.
Seja ${a\in A_{\epsilon}}$ ,existe ${a'\in A}$ , ${d(a,a')<\epsilon}$ . Portanto,
$\displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.$
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}$
Sugestão: ${d(x,A)\geq d(x,B)}$ se ${A\subseteq B}$ .

$\Box$

Definição 9 Sejam ${A,B}$ subconjuntos de ${X}$ , onde ${(X,d)}$ é um espaço métrico. A distância entre ${A}$ e ${B}$ é o número

$\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.$

É evidente que se ${A\cap B\neq\emptyset}$ , então ${d(A,B)=0}$ , em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente ${d(A,B)=d(B,A)}$ .

Proposição 19 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A,B,C}$ e ${D}$ subconjuntos de ${X}$ , e famílias ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ , ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ de subconjuntos de ${X}$ . Então:

${d(A,B)<\infty}$ se e só se ${A}$ e ${B}$ são não vazios.
${d(A,B)=0}$ se ${A\cap B\neq\emptyset}$ .
Se ${A\subseteq B}$ e ${C\subseteq D}$ , então ${d(A,C)\leq d(B,D)}$ .
Para todo ${\epsilon,\epsilon'}$ , ${0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}$ , ${d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}$ .
${d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}$ .
${d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}$ .