Início » 00 Geral » Espaços Métricos e Sequências

Espaços Métricos e Sequências

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, ${\mathbb{R}}$ , procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico ${X}$

Definição 11 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação ${x:\mathbb{N}\longrightarrow X}$ , onde os ${(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ são pontos em ${(X,d)}$ .

Exemplo 10 Em particular se tomarmos ${X=\mathbb{R}}$ retornaremos ao conceito usual de sequências.

Definição 12 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ , i.e., ${x_{n}\longrightarrow x}$ , se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists N>0}$ : ${d(x_{n},x)<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N(\epsilon)}$ .

Exemplo 11 Seja ${(X,d)}$ o espaço métrico discreto, então uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ se e só se existe um inteiro ${N}$ tal que ${x_{n}=x}$ sempre que ${n\geq N}$ .

Proposição 21 Se ${x_{n}\longrightarrow x}$ em ${X}$ e ${\{x_{n_{k}}\}}$ é uma subsequência, então ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 13 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ é de Cauchy se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists n_{0}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{m},x_{n})<\epsilon}$ , para todo ${m,n\geq n_{0}}$ .

Proposição 22 Toda sucessão ${x_{n}}$ convergente de ${X}$ é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, ${x_{n}\longrightarrow x}$ , então pela definição 1.12, ${d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ para algum ${\epsilon>0}$ e para todo ${n\geq n_{0}}$ , onde ${n_{0}\in\mathbb{N}}$ . De modo similar, a partir de uma certa ordem, ${m}$ , temos ${d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , com ${m\geq n_{0}}$ . Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

$\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

$\Box$

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão ${x_{n}=\frac{1}{n}}$ no espaço ${X=\mathbb{R}-\{0\}}$ com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se ${\{x_{n}\}}$ é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de ${X_{n}}$ converge para ${x}$ , então ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Por hipótese temos que ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ para algum ${\epsilon>0}$ . Seja ${N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , para todo ${n_{k}\geq N_{1}}$ . Por outro lado, como ${x_{n}}$ é umasequência de Cauchy, então ${d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}$ , para ${m,n\geq N_{2}}$ . Fixemos ${n_{k}>N}$ e seja ${N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ , então: