Função composta

— 1. Conceito —

Definição 1 Dados três conjuntos ${ A }$ , ${ B }$ e ${ C }$ não vazios. seja ${ f }$ uma função de ${ A }$ em ${ B }$ e ${ g }$ outra função de ${ B }$ em ${ C }$ . Chama-se função composta de ${ f }$ e ${ g }$ a função ${ h }$ de ${ A }$ em ${ C }$ definida por:

$\displaystyle h(x)=f(g(x)) \ \ \ \ \ (1)$

se ${\forall x\in A }$

Muita das vezes representa-se por ${ h(x)=fog \ \forall x\in A }$ e lê-se: ${ f }$ composta por ${ g }$ ,

então ${ (fog)(x)=f(g(x)) \ \forall x\in A }$

por diagrama temos:

A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:

Exercício 1

Dados os conjuntos ${ A=(1,2,3) }$ , ${ B=(-1,2,5,7) }$ e ${ C=(-1,5,11,15) }$ .

Seja a função ${ f(x)=x^2-2 }$ de ${ A }$ em ${ B }$ e a outra ${ g(x)=2x+1 }$ de ${ B }$ em ${ C }$ , calcular ${ h=gof }$

Resolução

${ f:A\rightarrow B }$ .

Para ${ x=1 }$ temos: ${ f(x)=x^2-2 \rightarrow f(1)=(1)^2-2=1-2=-1 \leftrightarrow f(1)=-1 }$

Para ${ x=2 }$ temos: ${ f(x)=x^2-2 \rightarrow f(2)=(2)^2-2=4-2=2 \leftrightarrow f(2)=2 }$

Para ${ x=1 }$ temos: ${ f(x)=x^2-2 \rightarrow f(3)=(3)^2-2=9-2=7 \leftrightarrow f(3)=7 }$

${ g:B\rightarrow C }$ , temos:

Para ${ x=-1 }$ temos: ${ g(x)=2x+1 \rightarrow g(-1)=2(-1)+1=-2+1=-1 \leftrightarrow g(-1)=-1 }$

Para ${ x=2 }$ temos: ${ g(x)=2x+1 \rightarrow g(2)=2(2)+1=4+1=5 \leftrightarrow g(2)=5 }$

Para ${ x=5 }$ temos: ${ g(x)=2x+1 \rightarrow g(5)=2(5)+1=10+1=11 \leftrightarrow g(5)=11 }$

Para ${ x=7 }$ temos: ${ g(x)=2x+1 \rightarrow g(7)=2(7)+1=14+1=15 \leftrightarrow g(7)=15 }$

Agora podemos calcular a função composta definida por ${ h(x)=gof=g(f(x)) \forall x \in A }$

Para ${ x=1 }$ temos: ${ h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(1)=g(f(1))=g(-1)=-1 \leftrightarrow h(-1)=-1 }$

Para ${ x=2 }$ temos: ${ h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(2)=g(f(2))=g(2)=5 \leftrightarrow h(2)=5 }$

Para ${ x=3 }$ temos: ${ h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(3)=g(f(3))=g(7)=15 \leftrightarrow h(3)=15 }$

por diagrama, temos:

Observando muito bem ${ h(x)=gof \forall x \in A }$ o conjunto ${ Im \subset C }$ , então temos:

${ h(x)=gof }$ de ${ A }$ em ${ C }$

Exercício 2

Dadas as funções reais ${ g(x)=x^2+4 }$ e ${ f(x)=x-3 }$ , determinar a função composta ${ h(x)=g(f(x)) }$

Resolução

Temos:

${ h(x)=g(f(x))=g(x-3)=(x-3)^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13 }$

${ \leftrightarrow h(x)=g(f(x))=x^2-6x+13 }$

Teorema 1

${ g }$ composta com ${ f }$ em geral não é igual a ${ f }$ composta com ${ g }$

$\displaystyle gof \neq fog \ \ \ \ \ (2)$

Demonstração:

Sejam ${ x \in A }$ , ${ y \in B }$ e ${ u \in B }$ e ${ v \in D }$ . Suponhamos que ${ y=f(x) }$ de ${ A }$ em ${ B }$ , ${ u=g(y) }$ de ${ B }$ em ${ C }$ e ${ v=h(u) }$ de ${ C }$ em ${ D }$ ;

temos:

${ (gof)(x)=g(f(x))=g(y)=u \leftrightarrow gof=u }$

${ (fog)(y)=f(g(y))=f(u) \leftrightarrow fog=f(u) }$ contradição porque

${ u \in C }$ e ${ f: A \rightarrow B }$

logo: ${ gof \neq fog }$

$\Box$

Exercício 3

Sejam as funções ${ f(x)=-2x+3 }$ e ${ g(x)=x-x^2 }$ , Calcular ${ gof }$ e ${ fog }$

Resolução: Temos:

${ gof=g(f(x))=-2(x-x^2)+3=-2x+2x^2+3=x^2-2x+3 }$

${ \leftrightarrow gof=x^2-2x+3 }$

${ fog=f(g(x))=(-2x+3)-(-2x+3)^2=(-2x+3)-(4x^2-6x+9)}$

${ \leftrightarrow f(f(x))=-2x+3-4x^2+6x-9=-4x^2+4x-6 }$

${ \leftrightarrow fog=-4x^2+4x-6 }$

Verificando o teorema

${ gof\neq fog }$

Exercício 4

Sejam as funções ${ f(x)=x^2-5x+6 }$ e ${ g(x)=x^2 }$ , Calcular: ${ (gof)(1) }$ e ${ (fog)(1) }$

Temos:

${ gof=g(f(x))=(x^2-5x+6)^2=x^4-10x^3+37x^2-60x+36 }$

calculando ${ (gof)(1) }$ ,

temos:

${ (gof)(1)=g(f(1))=1^4-10(1)^3+37(1)^2-60(1)+36=4 \leftrightarrow (gof)(1)=4 }$

${ (fog)=f(g(x))=(x^2)^2-5x^2+6=x^4-5x^2+6 \leftrightarrow fog=x^4-5x^2+6 }$

Calculando ${ (fog)(1)}$ , temos:

${ (fog)(1)=f(g(1))=(1)^4-5(1)^2+6=2 ,\leftrightarrow (gof)(1)=4 }$

Verificando o teorema, vemos que ${ gof \neq fog }$

Exercício 5

Sejam as funções ${ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }$ e ${ g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} }$ definidas por ${ f(x)=x+2 }$ e ${ g(x)=\dfrac{2}{x^2} }$ , determinar ${ f(g(x)) }$ e ${ g(f(x)) }$

Resolução:

Temos:

${ f(g(x))=\dfrac{2}{x^2}+2=\dfrac{2+2x^2}{x^2} \leftrightarrow f(g(x))= \dfrac{2+2x^2}{x^2} }$

${\leftrightarrow f(g(x)): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} }$

isto é verdade; logo ${ f(g(x))=\dfrac{2+2x^2}{x^2} }$ de ${ \mathbb{N} }$ em ${ \mathbb{R} }$

${ g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} \leftrightarrow g(f(x)):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }$ que não é verdade

como ${ x\in R }$ , tomemos ${ x=-2 }$ a função ${ g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} }$ não está definida; logo não é uma função de ${ R }$ em ${ R }$

Teorema 2

A função composta é associativa.

$\displaystyle (hog)of=ho(fog) \ \ \ \ \ (3)$

Demonstração:

Sejam os elementos ${ x\in A }$ , ${ y\in B }$ , ${ u\in C }$ e ${ v\in D }$ . Suponhamos que ${ y=f(x) }$ de ${ A }$ em ${ B }$ , ${ u=g(y) }$ de ${ B }$ em ${ C }$ e

${ v=h(u) }$ de ${ C }$ em ${ D }$ ;

temos:

${ (hog)of=(hog)of)x=(hog)f(x)=(hog)y=h(g(y))=h(u)=v }$

${\leftrightarrow (hog)of=v }$

${ ho(gof)(x)=ho(g(f(x)))=ho(g(y))=h(u)=v \leftrightarrow ho(gof)=v }$

Assim mostramos que: ${ (hog)of=ho(fog) }$

$\Box$

Exercício 6

Dadas as funções ${ f(x)=3-x }$ e ${ g(x)=(x+1)^2 }$ e ${ h(x)=3x }$ ,

Calcular ${ (hog)of }$ e ${ ho(fog)}$ e verifique o teorema.

temos:

${ (hog)of=(h(g(x))of=3(x+1)^2=3f(x)^2+6f(x)+3=3(3-x)^2+6(3-x)+3 }$

${ \Longrightarrow (hog)of=3x^2-24x+48 }$

${ ho(gof)=ho(g(f(x)))=h(-x+4)^2)=3(-x+4)^2=3x^2-24x+48 }$

Claramente que são iguais

Teorema 3

Se ${ f }$ e ${ g }$ são sobrejectivas então a função composta

$\displaystyle fog \ \ \ \ \ (4)$

também é sobrejectira

Demonstração:

Sejam os elementos ${ x\in A }$ , ${ y\in B }$ , ${ u\in C }$ e ${ v\in D }$ . Suponhamos que ${ y=f(x) }$ de ${ A }$ em ${ B }$ , ${ u=g(y) }$ de ${ B }$ em ${ C }$ e

${ v=h(u) }$ de ${ C }$ em ${ D }$ ;

temos:

Como ${ g }$ é sobrejectiva, então

${ \forall u\in C }$ , ${ \exists y\in B }$ de modo que ${ g(y)=u }$

a função ${ g }$ é sobrejectiva, então

${ \forall y\in B }$ , ${ \exists x\in A }$ de modo que ${ f(x)=y }$ então,

${ \forall u\in C, \exists x\in A: u=g(y)=g(f(x))=(gof)(x) }$

Assim provamos que ${ gof }$ sobrejectiva.

$\Box$

Teorema 4

Se duas funções ${ f }$ e ${ g }$ são injectivas, então a função composta

$\displaystyle fog \ \ \ \ \ (5)$

também é injectiva

Demonstração:

Seja ${ \forall x_{1} \in A }$ e ${ \forall x_{2} A }$ . Suponhamos ${ (gof)(x_{1})=(gof)(x_{2}) }$ logo, ${ g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }$ . Como ${ g }$ é injectiva, então

${ g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }$ , como ${ f }$ também é, então ${ x_{1}=x_{2} }$ implica que ${ gof }$ é injectiva.

$\Box$

Teorema 5

Sejam as função ${ f: A\rightarrow B }$ e ${ f^{-1}: B \rightarrow A }$ ,então

$\displaystyle f^{-1}of= \vert_{A} \ e \ fof^{-1}= \vert_{B} \ \ \ \ \ (6)$

onde: ${ \vert_{A} \ e \ \vert_{B} }$ são funções identidade.

Demonstração:

Sejam os elementos ${ x \in A }$ , ${ y \in B }$ e ${ u \in C }$ . Suponhamos que ${ y=f(x) }$ de ${ A }$ em ${ B }$ e a inversa ${ x=f(y) }$ de ${ B }$ em ${ A }$ ,temos:

${ \forall x \in A (f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{1}(y)=x \leftrightarrow (f^{-1}of)(x)=x }$ , é verdade que ${ x \in A }$

${\forall y \in B (fof^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y \leftrightarrow (fof^{-1})(y)=y }$ é verdade que ${ y \in B }$

$\Box$

Teorema 6

Se a função ${ f:A \rightarrow B }$ e ${ g:B \rightarrow C }$ são bijectivas então:

$\displaystyle (gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} \ \ \ \ \ (7)$

Demonstração:

Sejam ${ x\in A }$ , ${ y \in B }$ e ${ u \in C }$ . Suponhamos que ${ y=f(x) }$ de ${ A }$ em ${ B }$ e a inversa ${ u=g(y) }$ de ${ B }$ em ${ A }$ .

Vamos supor também que ${ f }$ e ${ g }$ são mesmo bijectivas, logo ${ gof }$ de ${ A }$ em ${ C }$ também é bijectiva ,então ${ (gof)^{-1} }$ de ${ C }$ em ${ A }$

Sendo assim; demonstrar que ${(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} }$ equivale mostrar que ${ (f^{-1}og^{-1})o(gof)=\vert_{A} }$ e ${(gof)o(f^{-1}og^{-1}=\vert_{C} }$

Temos:

${ (f^{-1}og^{-1})o(gof)=((f^{-1}og^{-1})og)of=(f^{-1}(g^{-1}og))of=(f^{-1}o\vert_{B})of=f^{-1}of=\vert_{A} }$

${ (gof)(f^{-1}og^{-1})=((gof)of^{-1})og^{-1}=( g(fof^{-1}))og^{-1}=(go\vert_{A})og^{-1}=gog^{-1}=\vert_{c}}$

Assim demonstramos que ${(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} }$ se ${ f }$ e ${ g }$ forem bijectivas.

$\Box$

— 2. Exercícios complementares —

Exercício 7 Sejam as funções ${ g(x)=2x+3 }$ e

${ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-2x & se \ x \geq 2;\\ x^2 & se \ x < 2 \end{array} \right. }$ determinar ${ f(g(x) }$

Resolução Temos: fazer ${ y=g(x) }$ ${ 1 }$ ) Para ${ x\geq 2 \leftrightarrow 2x+3 \geq 2 \leftrightarrow x \geq - \dfrac{1}{2} }$

${ f(g(x))= (2x+3)^2-2(2x+3)=4x^2+12x+9-4x-6=4x^2+8x+3 }$

${ 2 }$ ) para ${ x<2 \rightarrow 2x+3<2 \leftrightarrow x<-\dfrac{1}{2} }$

${ f(g(x))=-3(2x+3)+2=-6x-9+=-6x-7 }$

então,

${ \left.f(g(x))=\lbrace \begin{array}{ll} x^2+8x+3 & se \ x\geq -\dfrac{1}{2};\\ -6x-7 & se \ x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. }$

Exercício 8

Dadas as funções ${ g(x)=\sqrt{x} }$ e ${ s(x)=\sqrt{1-x^2} }$ ,

determinar ${ gos }$ e ${ sog }$

Resolução Temos:

${ gos=g(s(x))=\sqrt{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt[4]{1-x^2} }$

${ sog=s(g(x))=\sqrt{1-\sqrt{x^2}}=\sqrt{1-x} }$

Exercício 9

Dadas as funções ${ f(g(x))=4x+11 }$ e ${ g(x)=x+2 }$ determinar ${ f(g(x) }$

Resolução Temos:

${ f(g(x))=4x+11 \leftrightarrow f(x+2)=4x+11}$

fazendo ${ t=x+2 \leftrightarrow x=t-2 }$ ,

tem-se: ${ f(t)=4(t-2)+11=4t-8+11=4t+3 \rightarrow f(x)=4x+3}$

Exercício 10 Dadas as funções ${ g(f(x))=4x^2-12x+10 }$ e ${ f(x)=2x-3 }$ determinar ${ g(-4) }$

Resolução Temos:

${ g(f(x))=4x^2-12x+10 \leftrightarrow f(2x-3)=4x^2-12x+10 }$

fazendo ${ t=2x-3 \leftrightarrow x=\dfrac{t+3}{2} }$ ,

tem-se:

${ g(t)=4(\dfrac{t+3}{2})^2-12(\dfrac{t+3}{2})+10 }$

${\leftrightarrow g(t)=4(\dfrac{t^2+6t+9}{4})-6(t+3)+10=t^2+6t+9-6t-18+10 }$

${ \leftrightarrow g(t)=t^2+1 \rightarrow g(x)=x^2+1}$

Calculando ${ g(-4) }$ ,

temos:

${ g(-4)=(-4)^2+1=16+1=17 }$

Exercício 11 Dadas as funções ${ g(x)=ax+b }$ e ${ f(x)=cx^2+d }$ .

a) Qual é a condição que satisfaz a igualdade ${ f(g(x))=g(f(x))}$ ?

b) Mostre que ${ (fog)(0))-g(f(0))=d(a-1)+b(c-b) }$

Resolução Temos:

a) ${ f(g(x))=a(cx^2+d)+b=acx^2+ad+b }$

${ g(f(x))=c(ax+b)^2+d=c(a^2x^2+2abx+b^2)+d=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }$

para que ${ f(g(x))=g(f(x)) }$ , temos:

${ acx^2+ad+b=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }$

Utilizando identidade de polinómios, temos:

${ abc=0 }$ e ${cb^2+d=b }$

Resolvendo o sistema resulta: ${ f(g(x))=g(f(x)) }$

${ \left.f(g(x))=g(f(x)) \leftrightarrow \lbrace \begin{array}{ll} cd^2+d=b & se \ a=0 ;\\ d=b & se \ c=0 \end{array} \right. }$

b) ${(fog)(0))-g(f(0))=(ac(0)^2+ad+b)-(ca^2(0)^2+2cab(0)+cb^2+d)}$ ${ \leftrightarrow (fog)(0)=ad+b -cb^2-d=d(a-1)+b(c-b) }$

Exercício 12

Dadas as funções ${ f(x)=2x+y }$ e ${ g(x)=\dfrac{1}{4} }$ ,

determinar o produto de ${ fof }$ com ${ gog }$ sabendo que ${ a \in N }$ e ${ y \in N }$ e ${ a \neq y }$ .

Resolução: Vamos resolver ${ f(f(x)) }$ , isto é, composta de ${ f }$ por si mesmo, assim temos: ${ f(f(x))=2(2x+y)+y=2x+3y }$ e ${ g(g(x))=\dfrac{a}{4} }$