CONCEITO DE FUNÇÃO

— 1. Conceito de funções —

Definição 1

Sejam dois conjuntos ${A}$ e ${B}$ , ambos diferentes do conjunto vazio e ${f}$ uma relação de ${A}$ em ${B}$ , diz-se que ${f}$ é uma função definida de ${A}$ em ${B}$ se, e somente se, para todo ${x}$ que pertence ao conjunto ${A}$ existe um, e só um elemento ${y}$ que pertence ao conjunto ${B}$ de maneira que o par ordenado ${(x,y)}$ pertença a função ${f}$ .

Em simbolos, temos:

${ f }$ é uma função de ${ A }$ em ${ B }$

$\displaystyle \leftrightarrow \forall_x \in A,\exists y \in B \ tal \ que \ (x,y) \in f . \ \ \ \ \ (1)$

Nota: podemos dizer que ${ f }$ é uma função ou ${ f }$ é uma aplicação.

Exercício 1 Dados os conjuntos ${A= (-2, 1, 2, 3) }$ e ${ B=(-2,-1,1,5,6,13)}$ e a seguinte relação ${ D= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace}$ de ${A}$ em ${B}$ . É uma função? Resolução

Vamos começar a resolver: Como ${ x \in A }$ segundo a definição, então temos:

Para ${x=-2}$ , temos ${ y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( -2+1)^2 -3\rightarrow y=-2\rightarrow y\in B }$ , logo ${(-2,-3)\in f }$ .

Para ${x=1}$ , temos ${y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 1+1)^2 -3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B }$ , logo ${(1,1)\in f }$ .

Para ${x=2}$ , temos ${y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 2+1)^2 -3\rightarrow y=6\rightarrow y\in B }$ , logo ${(3,6)\in f }$ .

Para ${x=3}$ , temos ${ y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 3+1)^2 -3\rightarrow y=13 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(3,13)\in f}$ . como todos elementos de ${A}$ correspondem a um, e só um elemento de ${B}$ , então a relação ${D= \lbrace(x,y) f \rbrace \in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace}$ é uma função.

Exercício 2 Dados os conjuntos ${ A=\lbrace 0,1,3,4,5\rbrace }$ e ${ B=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid 1\leq x\leq 2\rbrace }$ pela lei de transformação ${y=\dfrac{x+3}{x+2}}$ . Mostre que é uma função de ${A}$ em ${B}$ . Resolução: Como ${x}$ é do conjunto ${A}$ , então temos:

Para ${ x=0 \rightarrow y=\dfrac{0+3}{0+2} \rightarrow y=\dfrac{3}{2} \rightarrow y\in B\rightarrow (0,\dfrac{3}{2})\in f }$ . Para ${ x=1 \rightarrow y=\dfrac{1+3}{1+2} \rightarrow y=\dfrac{4}{3}\rightarrow y\in B\rightarrow (1,\dfrac{4}{3})\in f }$ .

Para ${ x=3\rightarrow y=\dfrac{3+3}{3+2} \rightarrow y=\dfrac{6}{5}\rightarrow y\in B\rightarrow (3,\dfrac{6}{5})\in f}$ .

Para ${ x=4 \rightarrow y=\dfrac{4+3}{4+2} \rightarrow y=\dfrac{7}{6} \rightarrow y\in B\rightarrow (4,\dfrac{7}{6})\in f}$ .

Para ${ x=5 \rightarrow y=\dfrac{5+3}{5+2} \rightarrow y=\dfrac{8}{7} \rightarrow y\in B\rightarrow (5,\dfrac{8}{7})\in f}$ .

vimos que todos elementos do conjunto ${A}$ correspondem a um, e somente um elemento do conjunto ${B}$ , então ${y=\dfrac{x+3}{x+2}}$ é uma aplicação de ${A}$ em ${B}$ .

Exercício 3 Seja a relação ${ f(x)=26-x^2 }$ aplicada de ${ A }$ em ${ \mathbb{N}}$ , onde ${ =\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\rbrace }$ , mostre que não é uma aplicação de ${A}$ em ${ \mathbb{N} }$ Resolução: Vamos lá resolver esse exercício:

Segundo a linguagem do exercício, garante-nos, seguramente, que não é uma função(ou não é uma aplicação) de ${A}$ em ${\mathbb{N}}$ , logo temos que provar que existe um elemento ${x}$ do conjunto ${A}$ que não corresponde a um elemento ${y}$ do conjunto ${\mathbb{N}}$ ou,que corresponde mais de um elemento de conjunto ${\mathbb{N}}$ .

Como o conjunto de partida ${A}$ é infinito, o processo que fizemos nos exemplos anteriores é trabalhoso demais que é, analisar um elemento por cada elemento correndo risco de fazê-lo ${-l0 }$ cem vezes. Sendo assim, é suficiente mostrar que existe um elemento ${x}$ de ${A}$ que não corresponde a ${y}$ de ${\mathbb{N} }$ ou, que corresponde mais de um elemento de ${\mathbb{N}}$ . Temos:

Para ${ x=-6 \rightarrow f(6)=26-(-6)^2 \rightarrow f(6)=26-36 \rightarrow f(6)=-10 }$ Como ${-10}$ não pertence ao conjunto dos números natural ${ \mathbb{N} }$ , implica que ${ f(x)=26-x^2}$ não é uma função ${A}$ em ${ \mathbb{N}}$ .

Exercício 4 Dados os conjuntos ${ A=(-2, 1, 2, 3)}$ e ${B=(-2,1,4,5,7,9)}$ definida por ${y=-2x+3}$ de ${A}$ em ${B}$ . É uma função?

Resolução: Como ${x \in A }$ , então temos:

Para ${ x=-2 \rightarrow y=-2x+3 \rightarrow y=4+3 \rightarrow y=7 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(-2,7)\in f}$ .

Para ${x=1}$ , temos ${ y=-2x+3 \rightarrow y=-2+3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B}$ , logo ${(1,1) \in f }$ .

Para ${ x=2 }$ , temos ${y=-2x+3\rightarrow y=-4+3\rightarrow y=-1}$ , ${y}$ não pertence a função.

Como existe um elemento do conjunto ${ A}$ que não corresponde a nenhum elemento de ${B}$ , então a relação dada não é uma função de ${A}$ em ${B}$ . Não precisas terminar o processo, basta indicar um elemento do conjunto ${ A }$ cujo resultado não é de ${ B }$ é suficiente dizer que não é uma função.

Exercício 5 Seja a relação ${ y^2 =(x-2)^2 +x }$ de ${\mathbb{R}^+}$ em ${\mathbb{R}}$ . Mostre se é uma aplicação.

Resolução:

Vamos mostrar ao contrário que não é uma aplicação, isto equivale dizer, existe um elemento ${x}$ de ${\mathbb{R}^+}$ que não se relaciona com um, ou que se relaciona com mais de um elemento ${y}$ de ${\mathbb{R}}$ . A relação ${y^2 =(x-2)^2 +x }$ de ${\mathbb{R}^+}$ em ${\mathbb{R}}$ para ${x=3}$ ,temos: ${ y^2 =(3-2)^2 +3 \rightarrow y^2 =(1)^2 +3 \rightarrow y^2 =1+3 \rightarrow y^2 =4 \rightarrow y=\pm2}$ , logo não é uma função porque para ${3}$ de ${ \mathbb{R}^+ }$ , existem ${ -2 }$ e ${ 2 }$ em ${\mathbb{R}}$ . Apenas um elementos em ${\mathbb{R}}$ neste caso.

Exercício 6 A relação ${ f(x)=\frac{x^3}{3} }$ é uma função de ${A}$ em ${\mathbb{R}}$ , onde ${ A=\lbrace x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x \leq2\rbrace}$ ? Resolução:

Como é impossível numerar os elementos do conjunto ${A}$ é mais fácil provar ao contrário que não é uma aplicação indicando um elemento de ${A}$ que não resulta um elemento de ${\mathbb{R} }$ ou que resulta dois ou mais elementos de ${\mathbb{R}}$ .

É evidente que não existe nenhum elemento de ${A}$ cujo o resultado de ${f(x)}$ não seja real ou seja, para todos os elementos de ${A}$ existe, claramente, um numero real, por isso é uma aplicação ou é uma função de ${A}$ em ${ \mathbb{R}}$ .

Exercício 7 Dados os conjuntos ${ A= (-2, 1, 2, 3) }$ e ${ B=(-3 ,-2,-1,1,4,5,6,9)}$ e a lei definida por ${ C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace }$ de ${A}$ em ${B}$ , prove se é uma função.

Resolução:

Como ${ x \in A }$ , então temos:

Para ${ x=-2 }$ , temos ${y=7-x\rightarrow y=7+2 \rightarrow y=9 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(-2,9)\in f }$ .

Para ${ x=1 }$ , temos ${ y=7-x \rightarrow y=7-1 \rightarrow y=6 \rightarrow y\in B }$ , logo ${(1,6) \in f }$ .

Para ${ x=2 }$ , temos ${ y=7-x\rightarrow y=7-2 \rightarrow y=5\rightarrow y\in B }$ , logo ${(2,5)\in f }$ .

Para ${ x=3 }$ , temos ${ y=7-x\rightarrow y=7-3 \rightarrow y=4\rightarrow y\in B }$ , logo ${(3,4)\in f }$ . Vimos que para todos elementos de ${x}$ que pertencem ao conjunto ${A}$ , pela lei de transformação ${y=7-x}$ , corresponde a um único elemento do conjunto ${B}$ , logo a relação ${ C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace }$ de ${A}$ em ${B}$ é uma função ou é uma aplicação de ${A}$ em ${B}$ .