Luso Academia

Exercício 2 Achar os valores de para os quais é uma solução das equações diferenciais abaixo: . .

Exercício 3 Se . Demonstrar que: é solução geral da equação acima. Se , mostrar que é uma solução particular. Explicar porque é uma solução singular.

Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto do plano está dada por . Estabeleça a equação diferencial da familia. Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem. Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.

Exercício 5 Se e são duas soluções de . Mostre que: também é uma solução da equação, onde e são constantes arbitrárias. Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições , .

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem , se satisfaz as seguintes condições: é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região do plano (podendo conter todos os pontos). é real, finita, simples valorada e continua em . Então, existe uma e só uma solução em tal que , quando , isto é, .

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional.

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto em passará uma e só uma curva cuja tangente em qualquer ponto de está dada por . A solução representa a equação desta curva em .

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

onde a função à direita depende tanto de quanto de , e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a e , i.e., , infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar .

Exemplo 11 A equação não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada .

Em cada ponto da região podemos construir uma linha com tangente igual a , ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.