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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2

— 1.2.11. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2 —

Exemplo 14 Consideremos o espaço ${C([0,1],\mathbb{R})}$ com a métrica ${d_{\inf}}$ (mas vamos chama-la de ${d_{1}}$ ), e seja ${f\in C([0,1],\mathbb{R})}$ uma função fixa e não identicamente nula. Então a aplicação

$\displaystyle F:C_{([0,1],\mathbb{R})}\longrightarrow\mathbb{R}$

definida como:

$\displaystyle F(g)=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$

é continua para todo ${g\in C([0,1],\mathbb{R})}$ .

Demonstração: Para provarmos a afirmação acima, primeiramente devemos nos lembrar da definição de continuidade, ela basicamente diz que se nós temos uma função que vai de um espaço a outro, e.g., ${(X,d_{1})}$ e ${(Y,d_{2})}$ ,

$\displaystyle f:(X,d_{1})\longrightarrow (Y,d_{2})$

então ela é continua se conseguirmos encontrar um delta ${\delta}$ , único, que satisfaz ${d_{1}(x,y)<\delta}$ , onde ${x,y\in X}$ , para todo ${\epsilon>0}$ tal que ${d_{2}(f(x),f(y)<\epsilon}$ . No exemplo acima podemos escrever de modo mais detalhado a função ${F}$ como:

$\displaystyle F:(C_{([0,1],\mathbb{R})},d_{1})\longrightarrow (\mathbb{R},d_{2})$

onde ${d_{1}=d_{\infty}(f(x),g(x)=\max_{x\in [0,1]}\mid f(x)-g(x)\mid}$ e ${d_{2}(F(f),F(g))=\mid F(f)-F(g)\mid}$ . E claro, ${f,g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}$ .