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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2

— 1.2.11. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2 —

Exemplo 14 Consideremos o espaço {C([0,1],\mathbb{R})} com a métrica {d_{\inf}} (mas vamos chama-la de {d_{1}}), e seja {f\in C([0,1],\mathbb{R})} uma função fixa e não identicamente nula. Então a aplicação

\displaystyle F:C_{([0,1],\mathbb{R})}\longrightarrow\mathbb{R}

definida como:

\displaystyle F(g)=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx

é continua para todo {g\in C([0,1],\mathbb{R})}.

Demonstração: Para provarmos a afirmação acima, primeiramente devemos nos lembrar da definição de continuidade, ela basicamente diz que se nós temos uma função que vai de um espaço a outro, e.g., {(X,d_{1})} e {(Y,d_{2})},

\displaystyle f:(X,d_{1})\longrightarrow (Y,d_{2})

então ela é continua se conseguirmos encontrar um delta {\delta}, único, que satisfaz {d_{1}(x,y)<\delta}, onde {x,y\in X}, para todo {\epsilon>0} tal que {d_{2}(f(x),f(y)<\epsilon}. No exemplo acima podemos escrever de modo mais detalhado a função {F} como:

\displaystyle F:(C_{([0,1],\mathbb{R})},d_{1})\longrightarrow (\mathbb{R},d_{2})

onde {d_{1}=d_{\infty}(f(x),g(x)=\max_{x\in [0,1]}\mid f(x)-g(x)\mid} e {d_{2}(F(f),F(g))=\mid F(f)-F(g)\mid}. E claro, {f,g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}.

Portanto, para avaliarmos a continuidade basta escolhermos um ponto (neste caso uma função) arbitrária {h\in C_{([0,1],\mathbb{R})}}, então

\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid=\mid \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)h(x)dx\mid\leq\mid \int_{0}^{1}f(x)(g(x)-h(x)dx\mid

aplicando a desigualdade triângular para integrais obtemos:

\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\max\mid g(x)-h(X)\mid\leq \int_{0}^{1}f(x)dx.d_{1}(g,h)

Logo, se tomarmos {\delta=\frac{\epsilon}{\int_{0}^{1}f(x)dx}} temos o que queremos. \Box

Exercício

Considere o exemplo acima,mas desta vez com {d_{1}(f,g)=\int_{0}^{1}\mid f(x)-g(x)\mid dx}.


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