Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos ${x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)}$ e ${y=(1,0,0,\cdots)}$ e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar ${x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}}$ e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia ${x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}$ .

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que ${\delta(A)}$ é uma cota superior do conjunto ${\{d(x,y): x,y\in A\}}$ e usarmos a propriedade ${A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}$ .

b)A primeira implicação é facíl, já que se ${\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}$ . A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que ${d_{1}(x,y)}$ satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam ${x,y, z\in X}$ temos:

$\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}$

$\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}$

$\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)$

no ultimo passo usamos a desigualdade ${\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}$ .

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

$\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})$

$\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]$

$\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})$

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade ${\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ .

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado ${x \in (X,d)}$ e ${r>0}$ , temos as seguintes definições:

(Bola aberta) ${B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}$ .
(Bola fechada) ${\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$
(Esfera) ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}$

Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em ${\mathbb{R}^{3}}$ . Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }$ , para isso, basta tomarmos ${r\neq1}$ .

Exemplo 7 Em ${\mathbb{R}}$ , as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: ${B(x,r)=(x-r,x+r)}$ .

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 3 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

Proposição 4 Sejam ${B(x,r_{1})}$ e ${B(y,r_{2})}$ , tais que ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}$ . Se ${a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ , então existe uma bola aberta de centro ${a}$ contida na intersecção ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ .

Demonstração: Seja ${a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ , então pela Proposição anterior existe ${B(a,r_{3})}$ , tal que ${B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})}$ e ${B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}$ . Seja ${r=\min\{r_{1},r_{2}\}}$ , então

$\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).$

$\Box$

Proposição 5 Sejam ${B(x_{1},r_{1})}$ e ${B(x_{2},r_{2})}$ duas bolas abertas. Se ${r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}$ , então

$\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.$

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que ${B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}$ , então ${\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}$ , logo

$\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.$

$\Box$

Proposição 6 O diâmetro de uma bola ${B(x,r)}$ satisfaz:

$\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r$

Demonstração: Sejam ${y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r}$ e ${d(z,x)<r}$ , então

$\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r$

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

$\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.$

$\Box$

Definição 7 Dado um conjunto ${A\subset(X,d)}$ . Dizemos que ${x}$ é um ponto interior de ${A}$ se para todo ${r>0}$ existe uma bola ${B(x,r)}$ tal que:

$\displaystyle B(x,r)\subset A$

O conjunto de todos os pontos interiores de ${A}$ , denotado por ${int(A)}$ ou ${A^{\circ}}$ , ou seja, ${A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}$ . Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de ${X}$ é uma topologia em ${X}$ .

Demonstração: Deixada para o leitor. $\Box$

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., ${\emptyset}$ e ${X}$ são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. $\Box$

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam ${A_{1}}$ e ${A_{2}}$ dois conjuntos abertos e ${A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}$ . Se ${x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}$ , basta tomarmos ${r=\min\{r_{1},r_{2}\}}$ , daí ${B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}$ . $\Box$

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam ${A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}}$ abertos, então ${\cap_{k=1}^{n}A_{k}}$ é um aberto.

Demonstração: Seja ${x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}}$ para todo ${k}$ . Então existem ${r_{k}>0}$ tais que ${B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}$ . Se ${r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}}$ então ${r>0}$ e ${B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}}$ é um aberto. $\Box$

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em ${\mathbb{R}}$ o conjunto ${A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}$ .

Proposição 11 Sejam ${A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}}$ abertos, então ${\cup_{i\in I}A_{i}}$ é um aberto, onde ${I}$ é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. $\Box$

Definição 8 Sejam ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ dois espaços métricos. Uma aplicação ${f:X\longrightarrow Y}$ é contínua no ponto ${x_{0}}$ se para todo ${\epsilon >0}$ existe um ${\delta >0}$ tal que ${\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon}$ para todo ${x}$ satisfazendo ${d(x,x_{0})<\delta}$ , f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de ${X}$ .

Teorema 12 Uma aplicação ${f}$ de um espaço métrico ${X}$ em um espaço métrico ${Y}$ é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de ${Y}$ é um subconjunto aberto de ${X}$ .

Demonstração: Deixada para o leitor. $\Box$

Definição 9 Seja ${E\subset X}$ . ${x_{0}\in X}$ (pode ou não pertencer a ${E}$ ) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de ${E}$ se em toda vizinhança de ${x_{0}}$ existe pelo menos um ponto ${y\in E}$ distinto de ${x_{o}}$ . O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de ${E}$ é chamado de fecho de ${E}$ e é denotado por ${\overline{E}}$ . Um subconjunto ${E}$ de um espaço métrico ${X}$ é denso em ${X}$ se

$\displaystyle \overline{E}=X.$

Um espaço métrico ${X}$ é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

Deixe um comentário Cancelar resposta

Insira aqui o seu comentário...

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Email (obrigatório) (O endereço nunca será tornado público)

Nome (obrigatório)

Site da Web

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Twitter ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Facebook ( Terminar Sessão / Alterar )

Cancelar

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Luso Academia

Análise Funcional -Aula 3

Estatística do blog

Artigos recentes

Siga o nosso blog via Email

Arquivos

Deixe um comentário Cancelar resposta

Donativos

Categorias

Artigos & páginas mais populares

Comentários recentes

Localização

Luso Academia

Análise Funcional -Aula 3

Estatística do blog

Artigos recentes

Siga o nosso blog via Email

Arquivos

Partilhar

Gostar disto:

Relacionado

Deixe um comentário Cancelar resposta

Donativos

Categorias

Artigos & páginas mais populares

Comentários recentes

Localização