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Análise Matemática – Cálculo Diferencial III
Teorema 65 {Teorema de Cauchy} Sejam
Demonstração: Temos Seja
e vamos definir
Aplicando o teorema 63 em |
O Teorema anterior de certa forma é mais um Lema do que propriamente um Teorema. Dizemos isso porque não obstante seja um resultado importante por si próprio ele é bastante útil para provarmos outros teoremas. Para além disso este resultado pode ainda ser interpretado com um algoritmo que nos permite obter aproximações (muito) locais para funções na vizinhança de um dado ponto.
Teorema 66 {Primeira regra de Cauchy} Sejam
Se
Demonstração: Seja
Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo
Com
Então E pela definição de limite. Então Assim pela definição de limite é
Analogamente se para
Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo
Com Analogamente ao que vimos atrás fica
Finalmente façamos
Assim, para este caso também é
O caso |
Teorema 67 {Segunda regra de Cauchy} Sejam
Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. |
Os dois teoremas anteriores são conhecidos por uma variedade de nomes na literatura matemática e são sobejamente utilizados para calcularmos limites. Como sempre daremos alguns exemplos para demonstrar a sua utilidade.
Exemplo 1 As funções Como sempre um método que consegue demonstrar um mesmo resultado de uma forma mais rápida e eficiente é um método mais poderoso.
|
Como exercício calcule:
Vamos agora demonstrar mais um resultado matemático que é muito importante para a Física, a um nível conceptual pode ser interpretado tanto de forma geométrica como de forma cinemática e que tem o nome de teorema de Lagrange.
Teorema 68 {Teorema de Lagrange} Sejam
Demonstração: No teorema 65 faça-se |
Como dissemos anteriormente este teorema pode ser interpretado de uma forma geométrica ou de uma forma cinemática.
Geometricamente podemos dizer que a secante a função que passa pelas extremidades de
tem um determinado declive e que podemos sempre encontrar uma tangente à função
no intervalo
cujo declive é o mesmo que o da recta secante. Assim podemos dizer que a recta tangente é paralela à recta secante.
A interpretação cinemática diz-nos que se representa o tempo e que se
representa a posição (num movimento unidimensional) então
representa a distância percorrida no intervalo de tempo
com uma velocidade média de
Neste contexto sabemos que é a velocidade instantânea e assim sendo o Teorema 68 diz-nos que existe um instante de tempo
para o qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média em todo o intervalo de tempo.
Exemplo 3 Mostre que
Seja
com Então
Vamos agora assumir que
com Então
De notar que não tivemos que inverter o sinal da desigualdade quando multiplicámos por |
Vamos agora enunciar dois importantes corolários para o teorema anterior.
Corolário 69 Sejam
Demonstração: Por redução ao absurdo vamos assumir que
com
Assim |
Corolário 70 Sejam
Demonstração: Vamos analisar o caso
com
Uma vez que |
Com estes resultados terminamos o capítulo de Cálculo Diferencial no nosso curso de Análise Real. Os nossos próximos artigos teóricos irão debruçar-se sobre a Teoria das Séries Numéricas
Análise Matemática – Cálculo Diferencial I
— 7. Cálculo Diferencial —
Definição 37
Seja
Este limite é representado por |
Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto
.
Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função . Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo
por
Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):
Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:
- O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
- O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.
O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.
Definição 38
Seja
|
Definição 39
Seja
|
Definição 40
Se |
Definição 41
Seja |
Definição 42
Fazendo a mudança de variável
|
Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de :
-
representa o incremento em
.
-
representa o incremento em
.
Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por
-
é o acréscimo infinitesimal em
.
-
é o acréscimo infinitesimal em
.
Assim podemos escrever a derivada como
Como exemplo vamos calcular a derivada da função .
Para .
Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de
Para .
Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:
-
.
-
.
Corolário 58
Seja Demonstração:
Seja
Uma vez que |
Corolário 59
Seja Demonstração: Do Teorema 57 é
|
Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?
A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.
Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em
não existe é notar
enquanto que
.
Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.
Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:
com ,
um número ímpar positivo, e
.
Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.