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Análise Matemática – Exercícios II

1.

a) Para a sequência { \dfrac{n^2+1}{2n^2-1}} mostre que existe uma ordem { k} onde { \left | u_n - \dfrac{1}{2} \right |<10^{-3}} é válido.

{ \begin{aligned} \left | \dfrac{n^2+1}{2n^2-1} - \dfrac{1}{2} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{2n^2+2-2n^2+1}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{3}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \dfrac{|3|}{|2(2n^2-1)|} &< 10^{-3} \end{aligned}}

Uma vez que { 2(2n^2-1)>0} vem que

{ \begin{aligned} \dfrac{3}{2(2n^2-1)} &< 10^{-3} \\ 3/2 \times 10^3 &< 2n^2-1 \\ 3/4\times 10^3+1/2 &< n^2 \\ \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2} &< n \end{aligned}}

Tomando { k > \left \lfloor \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2}\right \rfloor +1} Temos o resultado pretendido.

b) Mostre por definição que { u_n \rightarrow 1/2}

Pela definição de limite e usando a), temos

\displaystyle  n > \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2}

Fazendo

\displaystyle  k= \left \lfloor \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2} \right\rfloor+1

a diferença entre { u_n} e { 1/2} é sempre menor do que { \delta}.

2. Mostre que { \lim u_n = 0 \Leftrightarrow \lim |u_n| = 0}

Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para {0}. Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.

Diz-se que { u_n \rightarrow a} sse { \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \quad n>k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Assim { \lim |u_n - a| = 0} sse

{\forall \delta > 0\,\exists k\in\mathbb{N}:\; n > k\Rightarrow||u_n-a|-0| < \delta}

{\Leftrightarrow \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}:\; n > k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Com { a=0} as proposições { \lim u_n = 0} e { \lim |u_n| = 0} são de facto equivalentes.

3. Calcule { \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como { \lim u_n - v_n} onde { u_n = \sqrt{n+1}} e { v_n = \sqrt{n}}.

Sabemos que { \lim u_n = \lim \sqrt{n+1} = +\infty} e { \lim v_n = \lim \sqrt{n} = +\infty}.

O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é { a \in \mathbb{R}^+} então { u_n} diverge ligeiramente mais depressa, se for { a \in \mathbb{R}^-} então é { v_n} que diverge ligeiramente mais depressa.

No caso de { \pm \infty} vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.

Vamos então calcular:

{\begin{aligned} \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n} &= \lim \dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n(1+1/n)}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right)} \\ &= \lim\dfrac{1}{\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right) } \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\ &= \lim\dfrac{1}{2 \sqrt{n}} \\ &= 0 \end{aligned}}

O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.

4. Calcule { \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)}

{\begin{aligned} \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)&=\lim \dfrac{n^2+n-n^2-1}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2+1}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)} + \sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n \sqrt{1+\frac{1}{n}} + n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{2n} \\ &=\dfrac{1}{2} \end{aligned}}

5. Calcule { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2}}.

Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:

{ \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = \dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \dfrac{1}{(2n)^2}}

Ou seja, fazendo { n \rightarrow \infty} o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.

O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \geq \dfrac{n}{4n^2}

Assim

\displaystyle  \dfrac{n}{4n^2} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

com { \lim \dfrac{n}{4n^2} = \lim \dfrac{n}{(n+1)^2} = 0}

Logo { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = 0}.

Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.

6. Calcule { \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}}

Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \geq \dfrac{n}{\sqrt{2n}}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}

Logo { \dfrac{n}{\sqrt{2n}} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}}.

Uma vez que

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{2n}} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{n}{\sqrt{n}}= \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n} = + \infty

e

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{n+1}} = \lim \dfrac{n}{\sqrt{n}}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = \lim \sqrt{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = +\infty

vem que

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} = + \infty

Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para {0}. Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.

7. Calcule { \lim \dfrac{n^n}{n!}}

Visualmente:

\displaystyle  n^{n-1} = n \times n \times n \ldots \times n

com { n-1} termos.

\displaystyle  n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n = 2 \times 3 \times \ldots \times n

com { n-1} termos.

Então

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} \geq \lim \dfrac{n^n}{n^{n-1}} = + \infty

então também é

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} = +\infty

De onde podemos concluir que { n^n} tende para infinito mais rápido do que { n!}

8. Dê exemplo de sucessões que

a) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=0}

{ u_n = n} e { v_n = -n}

b) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=10}

{ u_n = n+10} e { v_n = -n}

c) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=+\infty}

{ u_n = 2n} e { v_n = -n}

d) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n} não existe.

{ u_n = n+(-1)^n} e { v_n = -n}

e) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = a \in \mathbb{R}}

{ u_n = \dfrac{a}{n}} e { v_n = n}

f) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = 0}

{ u_n = \dfrac{1}{n^2}} e { v_n = n}

g) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = +\infty}

{ u_n = \dfrac{1}{n}} e { v_n = n^2}

h) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n} não existe.

{ u_n = \dfrac{\sin n}{n}} e { v_n = n}

Análise Matemática – Sucessões I

Para os leitores com inclinações mais matemáticas o facto de termos assumido a existência dos números reais e termos indicado quais são as propriedades que os definem pode não ser uma forma muito satisfatória de procedermos. No entanto, temos que nos lembrar que para os nossos propósitos, que são apresentar apresentar a análise real para alunos de Física e áreas afins, não precisamos de ter mais rigor.

Neste momento estamos preparados para iniciar o estudo da Análise Real propriamente dito. Como já foi dito iniciaremos o nosso estudo com sucessões. Esta escolha deve-se ao facto de ser mais fácil demonstrar alguns resultados usando sucessões, sendo que posteriormente generalizaremos esses resultados para as funções.

Definição 11 Uma sucessão, { u_n }, é uma função que aplica o domínio { \mathbb{N} }, ou um subconjunto, em { \mathbb{R} }. Simbolicamente

\displaystyle   u_n:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} \ \ \ \ \ (39)

Como exemplo de uma sucessão temos { u_n=\displaystyle\frac{1}{n}} que está definida para todos números naturais maiores que { 0 }.

A sua representação gráfica é:

Definição 12 Diz-se que { u_n} tem como limite { a\in\mathbb{R}}, e representamos por { u_n \rightarrow a \in \mathbb{R}} ou { \lim u_n = a \in \mathbb{R}}, se, para cada { \delta > 0} existe um número natural { k}, a partir do qual a distância entre { u_n} e { a} é menor que { \delta}.

\displaystyle   \forall \delta > 0 \;\exists k \in \mathbb{N}:\; n\geq k \Rightarrow |u_n - a| < \delta \ \ \ \ \ (40)

Vamos usar um exemplo concreto: para o gráfico que mostrámos, podemos ver que { u_n } toma valores cada vez menores e que pela sua definição { u_n} é sempre positiva. Assim podemos suspeitar que { u_n=\displaystyle\frac{1}{n} \rightarrow 0}.

Para a nossa asserção anterior ser matematicamente válida temos que mostrar que para todos os { \delta > 0} podemos de facto encontrar um número natural { k} para o qual { n > k \Rightarrow |u_n-0| < \delta}.

Normalmente é-nos útil olharmos para esta condição como sendo uma espécie de um jogo entre duas pessoas. Uma delas está constantemente a escolher valores de {\delta} enquanto que a outra deve dizer a partir de que ordem {k} é que a distância entre {u_n} e {a} é menor do que o {\delta} escolhido.

Às tantas a pessoas que deve indicar a ordem {k} está cansada de ter que responder de cada vez que um novo {\delta} é escolhido e decide encontrar uma expressão para {k} que depende de {\delta}. Se conseguir fazer isso então a sucessão {u_n} de facto tem o limite {a} e o jogo está ganho.

Definição 13 O contradomínio de { u_n} é o conjunto { \{u_n:n \geq p\}} (conjunto de termos da sucessão).

Definição 14 Tendo em conta a definição 13 diz-se que:

  • uma sucessão {u_n} é majorada se o conjunto dos termos da sucessão é majorado.
  • uma sucessão {u_n} é minorada se o conjunto dos termos da sucessão é minorada.
  • uma sucessão {u_n} é limitada se o conjunto dos termos da sucessão é limitado.
  • uma sucessão {u_n} é ilimitada se o conjunto dos termos da sucessão é ilimitado.

Como exemplo de uma sucessão limitada (consequentemente é também majorada e minorada) temos { u_n=(-1)^n}.

Como exemplo de uma sucessão ilimitada temos { u_n=n}

Vamos agora admitir que temos uma sucessão limitada { u_n}. Isto é, existem dois números reais { a} e { b} tais que { a \leq u_n \leq b \quad \forall n}.

Por definição é { |u_n|=u_n} ou { |u_n|=-u_n}. Uma vez que { u_n \leq b} e { -u_n \leq -a} podemos definir { \alpha=\text{max}\{b,-a \}} e ficamos com { u_n\leq \alpha} e { -u_n \leq \alpha}. Ou de uma forma equivalente { |u_n| \leq \alpha}.

Assim se { u_n} é limitada, existe { \alpha > 0} tal que { |u_n| \leq \alpha\quad \forall n}. Reciprocamente se { -\alpha\leq u_n \leq \alpha}, { u_n} diz-se uma sucessão limitada.

Definição 15 Uma sucessão diz-se convergente quando tende para um limite finito. Uma sucessão diz-se divergente quando não é convergente.

Teorema 13 Se { u_n} é convergente então é limitada.

\displaystyle   \exists a \in \mathbb{R}: \lim u_n=a \Rightarrow \exists \alpha \in \mathbb{R}:\,|u_n| \leq \alpha \ \ \ \ \ (41)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

No entanto, o recíproco deste teorema não é necessariamente uma afirmação verdadeira.

A título de exemplo temos { u_n = (-1)^n } que é uma sucessão limitada e não é uma sucessão convergente.

Em linguagem mais matemática dizemos que o facto de uma sucessão ser limitada não é uma condição suficiente para ser uma sucessão convergente.

— 3.1. Vizinhanças —

Vamos agora introduzir a noção de vizinhança de um ponto. Em termos leigos a vizinhança de um ponto é o conjunto de pontos que estão próximos uns dos outros.

Definição 16 Seja { a \in \mathbb{R}} e { \delta > 0}. A vizinhança de { a} de raio { \delta} é o conjunto de pontos em { \rbrack a- \delta, a+ \delta \lbrack} e é representada por { V(a, \delta)}.

Como exemplo vamos aplicar a noção de vizinhança na definição de limite:

{ \begin{aligned} |u_n-a| < \delta &\Leftrightarrow a-\delta < u_n < a + \delta \\ &\Leftrightarrow u_n \in \rbrack a-\delta,a+ \delta \lbrack \\ &\Leftrightarrow u_n \in V(a,\delta) \end{aligned}}

Assim { \lim u_n=a} sse { \forall \delta > 0\, \exists k \in \mathbb{N}:\, n\geq k \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)} onde usamos a definição de vizinha e o cálculo anterior.

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