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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas
— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —
Teorema 73 Se Demonstração: Temos efectivamente
|
Corolário 74
Se
Demonstração: Se
Reciprocamente, suponha-se que |
Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.
Assim quando escrevermos queremos dizer que as séries
e
têm a mesma natureza.
Teorema 75 Se
Demonstração: |
Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Como aplicação do teorema anterior vamos calcular
Onde temos que .
Temos então
Assim fica
Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:
Podemos então dizer o seguinte:
A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.
Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas
— 8. Introdução às Séries Numéricas —
Tomemos os termos de uma sucessão onde
para um certo
. Ou seja temos
,
, ,
, …, ,
,…
Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:
A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral .
Seja .
Tomando o limite
podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.
Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série,
e escrever
Dizemos que a série converge se e só se é convergente.
Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.
Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de .
Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.
No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:
Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.
Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.
Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que
, e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser
.
É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.
Definição 49 Uma série geométrica de razão
|
Para as series geométricas é válido o seguinte:
Se vem que
quando
.
Assim vem que
Assim podemos escrever com todo o rigor matemático
Caso se tenha a série diverge.
Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:
Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!