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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

09/27/2018 9:23 am / Deixe um comentário

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ converge e ${\alpha \in \mathbb{R}}$ , então também $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ converge e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)$

Demonstração: Temos efectivamente

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}$

$\Box$

Corolário 74

Se ${\alpha \neq 0}$ as séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ têm a mesma natureza.

Demonstração: Se $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, $\sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n$ também é convergente. Ou seja, $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ é convergente $\Box$

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo ${\leftrightarrow }$ como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ queremos dizer que as séries $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}$ e $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} v_n$ são ambas convergentes então também $\sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)$ é convergente e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)$

Demonstração: ${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}}$ $\Box$

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}$ têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n$

Onde temos que ${|r|<1}$ .

Temos então

${\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}$

Assim fica

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1$

Teorema 77 Dada uma série ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ , um índice ${k>p}$ , as séries ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ e ${\sum_{n=k}^{+\infty} u_n}$ têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)$

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

$\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n$

e tomar o limite ${m \rightarrow +\infty}$ $\Box$

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

$\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p$

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas

08/05/2018 6:34 pm / Deixe um comentário

— 8. Introdução às Séries Numéricas —

Tomemos os termos de uma sucessão ${u_n}$ onde ${n \geq p}$ para um certo ${p}$ . Ou seja temos ${u_p}$ , ${u_{p+1}}$ , , ${u_{p+2}}$ , …, , ${u_n}$ ,…

Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:

$\displaystyle u_p+ u_{p+1}+ u_{p+2}+ \cdots + u_n+ \cdots =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$

A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral ${u_n}$ .

Seja ${m \geq p}$ .

$\sum_{n=p}^m u_n = u_p+ u_{p+1}+\cdots + u_m$

Tomando o limite

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n$

podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n$

Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série, ${S_m}$

$\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n$

e escrever

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} S_m$

Dizemos que a série converge se e só se ${S_m}$ é convergente.

Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.

Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de ${1 m/s}$ .

Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 ${m/s}$ não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.

No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:

$\displaystyle T=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots$

Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.

Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.

Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}$ era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que ${0}$ , e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser ${2 \, s}$ .

É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.

Definição 49 Uma série geométrica de razão ${r}$ é definida através da seguinte expressão:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \ \ \ \ \ (73)$

Para as series geométricas é válido o seguinte:

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n &= \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^m r^n \\ &= \lim_{m \rightarrow \infty} \dfrac{1- r^{m+1}}{1-r} \end{aligned}}$

Se ${|r|<1}$ vem que ${r^{m+1}\rightarrow 0}$ quando ${m \rightarrow +\infty}$ .

Assim vem que

$\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1- r^{m+1}}{1-r}= \frac{1}{1-r}$

Assim podemos escrever com todo o rigor matemático

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n= \frac{1}{1-r}$

Caso se tenha ${|r|>1}$ a série diverge.

Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n} &= \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \\ &= \dfrac{1}{1-1/2}\\ &= \dfrac{1}{1/2} \\ &=2 \end{aligned}}$

Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!

Luso Academia

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