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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

09/27/2018 9:23 am / Deixe um comentário

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ converge e ${\alpha \in \mathbb{R}}$ , então também $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ converge e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)$

Demonstração: Temos efectivamente

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}$

$\Box$

Corolário 74

Se ${\alpha \neq 0}$ as séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ têm a mesma natureza.

Demonstração: Se $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que $\sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n$ é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, $\sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n$ também é convergente. Ou seja, $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ é convergente $\Box$

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo ${\leftrightarrow }$ como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ queremos dizer que as séries $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}$ e $\sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}$ têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=p}^{+\infty} v_n$ são ambas convergentes então também $\sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)$ é convergente e tem-se

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)$

Demonstração: ${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}}$ $\Box$

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e $\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}$ têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n$

Onde temos que ${|r|<1}$ .

Temos então

${\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}$

Assim fica

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1$

Teorema 77 Dada uma série ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ , um índice ${k>p}$ , as séries ${\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ e ${\sum_{n=k}^{+\infty} u_n}$ têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)$

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

$\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n$

e tomar o limite ${m \rightarrow +\infty}$ $\Box$

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

$\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p$

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Cálculo I – Somas de Mengoli

09/17/2018 10:14 am / Deixe um comentário

— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}$

Assim sendo,

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})$

converge sse a sucessão ${v_n}$ é convergente e temos

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n$

Exemplo 4

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)$

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)$

Assim fica

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}$

Ou seja, o que nós temos é

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1$

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

$\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)$

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

${\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}$

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ é convergente então ${\lim u_n=0}$

Demonstração:

Seja $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ convergente e seja ${a \in \mathbb{R}}$ a sua soma.

Pondo ${S_m=sum_{n=p}^m u_n}$ ${\forall m \geq p}$ temos então ${\lim S_m =a}$ .

Assim também é ${\lim S_{m-1}=a}$ . Logo ${\lim (S_m-S_{m-1})=0}$

Ou seja

$\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)$

E portanto ${\lim u_n=0}$

$\Box$

Corolário 72

Se ${\lim u_n \neq 0}$ , a série $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 $\Box$

Tomemos

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n$

Se ${|r|\geq 1}$ , ${|r^n|=|r|^n}$ . Ora ${|r|^n}$ não tende para ${0}$ . Logo ${r^n}$ também não tende para ${0}$ . Assim $\sum_{n=0}^{+\infty}r^n$ diverge.