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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Cálculo I – Somas de Mengoli

— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}

Assim sendo,

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})

converge sse a sucessão {v_n} é convergente e temos

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n

Exemplo 4

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)

 

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)

Assim fica

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}

Ou seja, o que nós temos é

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)

 

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente então {\lim u_n=0}

Demonstração:

Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente e seja {a \in \mathbb{R}} a sua soma.

Pondo {S_m=sum_{n=p}^m u_n} {\forall m \geq p} temos então {\lim S_m =a}.

Assim também é {\lim S_{m-1}=a}. Logo {\lim (S_m-S_{m-1})=0}

Ou seja

\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)

E portanto {\lim u_n=0}

\Box

Corolário 72

Se {\lim u_n \neq 0}, a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 \Box

Tomemos

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n

Se {|r|\geq 1}, {|r^n|=|r|^n}. Ora {|r|^n} não tende para {0}. Logo {r^n} também não tende para {0}. Assim {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n } diverge.

 

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