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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas
— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —
Teorema 73 Se Demonstração: Temos efectivamente
|
Corolário 74
Se
Demonstração: Se
Reciprocamente, suponha-se que |
Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.
Assim quando escrevermos queremos dizer que as séries
e
têm a mesma natureza.
Teorema 75 Se
Demonstração: |
Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Como aplicação do teorema anterior vamos calcular
Onde temos que .
Temos então
Assim fica
Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:
Podemos então dizer o seguinte:
A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.
Cálculo I – Somas de Mengoli
— 8.1. Somas de Mengoli —
Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.
Assim sendo,
converge sse a sucessão é convergente e temos
Exemplo 4
Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade: Assim fica Ou seja, o que nós temos é |
Exemplo 5
Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli
Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma: que é uma série de Mengoli divergente. |
Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.
Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.
Teorema 71
Se Demonstração: Seja Pondo Assim também é Ou seja E portanto |
Corolário 72
Se Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 |
Tomemos
Se ,
. Ora
não tende para
. Logo
também não tende para
. Assim
diverge.