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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

07/14/2020 4:03 pm / 1 comentário em 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

Exercício 12 .

O gráfico da velocidade em função do tempo de um MRUV é dado abaixo. Determine o deslocamento no intervalo de 0 a 4 Segundos.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 12 .

Para este caso, podemos determinar o deslocamento através de dois métodos.

Usando a equação de Torricelli, através dos dados no gráfico acima:
$\displaystyle 2a \cdot \Delta s= v^2-v^2_0 \Rightarrow \Delta s =\frac{v^2-v^2_0}{2a} \ \ \ \ \ (10)$

Do gráfico temos os seguintes dados: ${ v_0= 20 \ m/s }$ e ${v= 40 \ m/s }$ .No MRUV a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Então, a aceleração é dada por: ${ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0} }$

No intervalo de ${0}$ `a ${ 4 \ s }$ : ${ a= \frac{40-20}{4-2} \cdot \frac{m/s}{s}=\frac{20}{4} \cdot m/s^2 }$

$\displaystyle a=5 \ m/s^2$

Substituindo os dados na equação 10, obtemos:

$\displaystyle \Delta s=\frac{v^2-v^2_0}{2a}=\frac{(40)^2 - (20)^2}{2 \cdot 5}=120 \ m \Rightarrow \Delta s = 120 \ m$
O outro método é usando o calculo de área. Sabemos que a área debaixo da curva da velocidade em função do tempo é numericamente igual ao deslocamento (ver definição velocidade e interpretação geométrica da derivada). Para o nosso caso, a área debaixo da curva é a área de um trapézio, cujas bases maior e menor tem valores no eixo da velocidade (vertical) e a altura tem valor no eixo do tempo. Sendo assim:
$\displaystyle \Delta s = A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot h = \frac{(40+20)}{2} \cdot 4=120 m$

Logo, temos: ${ \Delta s = 120 \ m }$

Exercício 13 .

Um movimento descrito pelo gráfico abaixo.

Descreva o tipo de movimento dos traços AB, BC, CD e DE.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Este gráfico apresenta a variação da velocidade em função do tempo. Neste gráfico, o tipo de movimento é definido pela forma da linha do gráfico.

Se a linha do gráfico for uma recta oblíqua, então trata-se de um caso de MRUV. Será um MRUV acelerado se for inclinada com declive positivo e velocidade positiva ou com declive negativo e velocidade negativa. Será um MRUV retardado se for inclinada com declive positivo e velocidade negativa ou com declive negativo e velocidade positiva.

Se a linha for horizontal, a velocidade é constante (MRU). Este MRU pode ser progressivo (se a velocidade for positiva) ou retrógrado (se a velocidade for negativa).

No traço AB (recta oblíqua): A velocidade é positiva e aumenta de ${ 10 \ m/s}$ à ${ 30 \ m/s }$ . Neste caso, a aceleração é constante e positiva neste mesmo intervalo, portanto, de A para B o movimento é um MRUV acelerado progressivo.
No traço BC (Recta oblíqua): A velocidade é positiva e diminui de ${ 30 \ m/s}$ à ${ 0 }$ , a aceleração é negativa e constante no mesmo intervalo,portanto, de B para C o movimento é um MRUV retardado progressivo.
No traço CD: A velocidade é negativa mas aumenta em módulo de ${ 0 }$ à ${ \approx -15 \ m/s}$ e a aceleração é constante e negativa no mesmo intervalo, portanto, de C para D o movimento é um MRUV acelerado retrógrado.
No traço DE: A velocidade é negativa e constante ( ${\approx -15 \ m/s }$ , e a aceleração é nula no mesmo intervalo,portanto, o movimento é um MRU retrógrado.

Exercício 14 .

Dois móveis têm as seguintes equações do movimento.

Móvel 1: ${ x_1=100+20 \ t }$
Móvel 2: ${ x_2=500-4 \ t^2 }$

Determine a velocidade do móvel (2) no ponto de encontro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14 .

A equação do móvel(1) é uma equação do 1º grau, portanto o móvel em MRU. A equação do móvel (2) é uma equação do 2º grau, portanto o móvel (2) move-se em MRUV.

O objectivo é determinar a velocidade final do móvel (2) ${ v_2 }$ na posição de encontro (A).Entretanto, na posição de encontro (A) ambos os móveis ocupam a mesma posição final, isto é, ${ x_1=x_2 }$ .

Então, temos de determinar o instante de tempo em que os móveis estão na posição de encontro, para substituir este tempo na equação da velocidade.

Na posição de encontro:

$\displaystyle x_1=x_2 \Rightarrow 100+20 \ t=500-4 \ t^2$

Agrupando os termos semelhantes:

$\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t +100-500=0$

$\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t -400=0$

Factorizando o factor 4 na equação:

$\displaystyle 4(t^2 + 5 \ t-100)=0$

Então, pela lei do anulamento do produto:

$\displaystyle t^2 + 5 \ t - 100= 4$

Resolvendo a equação anterior com a fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolvente) temos os seguintes dados: ${ a=1 ; b=5 ; c=100 }$ .

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}= \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} = \frac{-5 \pm 20,615}{2}$

Separando as partes:

$\displaystyle t_1= \frac{-5+20,615}{2}= 7,807 \ s$

$\displaystyle t_2= \frac{-5 - 20,615}{2} = -12,807 \ s$

Descartamos o ${ t_2 }$ pois ele é negativo. Neste caso, ${ t_{Enc}= \ 7,807 \ s }$ .

Tendo o tempo, podemos calcular a velocidade do móvel 2 neste instante. Por definição a velocidade:

$\displaystyle v= \frac{dx}{dt}$

Para o móvel (2),temos: ${ v_2= \frac{dx_2}{dt} }$ .

Substituindo a equação do movimento do móvel (2) , obtemos:

$\displaystyle v_2= \frac{d(500-4 \ t^2)}{dt} = 0-8 \cdot t= -8 \ t$

Portanto, durante este MRUV, a velocidade do móvel (2) é dada como: ${ v_2= -8 \ t }$ .

Para encontramos o valor numérico da velocidade no momento de encontro, devemos substituir o tempo pelo instante de encontro.

Substituindo ${t}$ por ${ t_{Enc}}$ , obtemos: ${ v_2=-8 \ (t)= -8 \cdot 7,807=-62,456 \ m/s }$

Portanto, a velocidade do móvel (2) na posição de encontro (A) é de : ${ v_2= -62,456 \ m/s }$

Exercício 15 .

A velocidade inicial de um móvel é de ${ 10 \ km/h}$ . Após acelerado uniformemente, durante ${10 \ s }$ , ganha uma velocidade de ${ 20 \ km /h}$ .

Determine a aceleração e a distância percorrida.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15 .

Dados

${ v_0= 10 \ km/h }$ .

${ t_0=0 \ s }$ .

${ t=20 \ km/h }$ .

${ a \rightarrow ? }$ .

${ \Delta s \rightarrow ? }$

Antes de a resolver, vamos converter as velocidades ${ v_0 }$ e v para as unidades do sistema internacional usando três simples.
Para: ${ v_0=10 \ km/h }$

$\displaystyle 36 \ km/h \rightarrow 10 \ m/s$

$\displaystyle 10 \ km/h \rightarrow v_0$

Então:

$\displaystyle v_0 \cdot 36 \ km/h= 10 \ km/h \cdot 10 \ m/s$

$\displaystyle \Rightarrow v_0= \frac{10 \ km/h \cdot 10 \ m/s}{36 \ km/h} =2,77 \ m/s$

Para a velocidade final, fazemos o mesmo procedimento. Obtemos:

$\displaystyle v=5,55 \ m/s$

Com as unidades já convertidas, podemos determinar a aceleração.

Para o MRUV, a aceleração é dada por:

$\displaystyle a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{t-t_0}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle a= \frac{5,55-2,77}{10-0}=0,278 \ m/s^2$

A distância percorrida pode ser determinada pela equação de movimento do MRUV ou pela equação de Torricelli.

Usando a Equação de Torricelli:

$\displaystyle v^2=v^2_0+2a \cdot \Delta s$

Isolando ${ \Delta s }$ teremos:

$\displaystyle v^2-v^2_0=2 \cdot a \cdot \Delta s \Rightarrow \Delta s= \frac{v^2-v^2_0}{2 \cdot a}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta s=\frac{(5,55)^2-(2,77)^2}{2 \cdot 0,278}=41,6 \ m$

Portanto a distância percorrida é:

$\displaystyle \Delta s=41,6 \ m$

A aceleração do móvel é:

$\displaystyle a=0,278 \ m/s^2$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais

07/13/2020 6:20 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 5 .

Considere o sistema representado abaixo.Considerando a origem do referencial sua base direita do prédio, o Eixo ox horizontal dirigido a esquerda e o Eixo oy vertical e dirigido para cima.

Determine a posição dos pontos A, B e C.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 5 .

O referencial(bidimensional) do sistema é necessário ser traçado para a determinação da posição dos pontos A, B e C. Logo temos as seguintes características do referencial:

* Eixo Ox: eixo horizontal dirigido da direita para a esquerda;

* Eixo Oy: eixo vertical dirigido para cima;

* Origem do referencial: base direita do prédio.\

Aposição do ponto A tem coordenada ${ 50 \ m}$ na horizontal e ${ 100 \ m }$ na vertical, então :

$\displaystyle B(50,100)\ m$

onde

$\displaystyle x_A=50 \ m$

$\displaystyle y_A=100 \ m$

A posição do ponto B tem coordenada ${ -40 \ m }$ na horizontal e 0 na vertical, então:

$\displaystyle B(-40,0) \ m$

Onde:

$\displaystyle x_B=-40 \ m$

$\displaystyle y_B=0$

A posição do ponto C tem coordenada ${-35 \ m }$ na horizontal e ${ 20 \ m}$ na vertical então:

$\displaystyle C(-35,20) \ m$

$\displaystyle x_C= -35 \ m$

$\displaystyle x_C= 20 \ m$

Exercício 6 .

A velocidade de um móvel é tal que ele percorre ${5 \ m}$ a cada ${2 \ s}$ ,em MRU. Determine a posição final no MRU se a posição inicial for ${ 5 \ m}$ e o tempo do movimento for de ${25 \ s }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

Dados .

${ v= \frac{5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s }$ .

${x_0=5 \ m }$ .

${t=25 \ s }$ .

${x=? }$

Para determinarmos a posição final x do móvel no tempo t precisamos da equação de movimento ( função horária) do móvel.
Para este caso, de movimento retilíneo e uniforme(MRU), a equação de movimento é:

$\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \times t \ \ \ \ \ (1)$

Na forma escalar, temos:

$\displaystyle x= x_0+v \times t \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo ${x_0}$ e ${v}$ , obtemos:

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \times t \ \ \ \ \ (3)$

A posição final ${x}$ para ${ t=25 \ s}$ :

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \times 25= 67,5 \ m$

$\displaystyle x=67,5 \ m$

Resolução 7 .

Calcule a velocidade média do móvel da figura abaixo, se ${ t_1=10 \ s }$ e é ${ t_2= 20 \ s }$ , no movimento ${ A\rightarrow B \rightarrow C }$ .

Resolution 7 . Dados

${ t_1=t_{A\rightarrow B} = 10 \ s }$ .

${ t_2=t_{B\rightarrow C} = 20 \ s }$ . Por definição a velocidade média de um móvel é dada por:

$\displaystyle \overrightarrow{v_m}=\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}$

${ \overrightarrow{\Delta s} }$ – Vector deslocamento.

${ \Delta t }$ – Intervalo de tempo total durante o movimento.

Em módulos:

$\displaystyle v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Portanto, para determinar a velocidade média precisamos determinar o deslocamento ${ A\rightarrow B \rightarrow C }$ e o tempo total para o móvel sair de A para C.

Note que o vector deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final, ou seja, no nosso caso ${\overrightarrow{\Delta s}=\overrightarrow{AC}}$

Então temos:

$\displaystyle \Delta s= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \ \ \ \ \ (4)$

A equação 4 é a fórmula para o cálculo de distancia em um sistema bidimensional.Considerando o ponto de partida A e o de chegada C, :

A(10,20) e B(20) considerando a abcissa y e a ordenada x.

Portanto, temos:

$\displaystyle (x_C - x_A)= (40-10)=30 \\ (y_C - y_A)= (30-20)=10 \ \ \ \ \ (5)$

Substituindo 7 em 4, obtemos:

$\displaystyle \Delta s_{A-C}= \sqrt{(30)^2+(10)^2}=31,6 \ m$

O tempo ${ \Delta t }$ do movimento de ${ A \rightarrow B \rightarrow C }$ é a soma dos tempos de ${ A \rightarrow B }$ e de ${ B \rightarrow C }$ .

Dos dados temos temos

$\displaystyle t_{A-B} = 10 \ s e t_{B-C}= 20 \ s$

Então

$\displaystyle \Delta t = t_{A-B} + t_{B-C} =10+20=30 \ s \Delta t = 30 \ s$

Sendo assim:

$\displaystyle v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{31,6 \ m}{30 \ s} = 1,05 \ m/s$

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

07/13/2020 5:53 pm / Deixe um comentário

1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

Exercício 1 .

Dois vectores têm módulos 3 e 5 unidades.

Qual deverá ser o ângulo entre eles para que o vector resultante tenha módulo de 4 unidades?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Consideremos que os vectores de módulo 3 e 5 unidades são os vectores ${\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}}$ , respetivamente, e o vector resultante de módulos 4 unidades é o vector ${\overrightarrow{w}}$ .Consideremos também que ${ \theta}$ é o ângulo que os vectores ${\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}}$ formam entre si. Daqui, temos os ângulos dados:Dados ${\vert \overrightarrow{u} \vert=3 }$ . ${ \vert \overrightarrow{v} \vert=5}$ .
${ \vert \overrightarrow{w} \vert=4}$ .

${ \theta \rightarrow ? }$

A adição de vectores, dada pela regra do paralelogramo, relacionas aos seus módulos através da lei dos cossenos.

$\displaystyle \textbf{Lei do Cosseno}:\vert \overrightarrow{w}\vert^2=\vert\overrightarrow{u}\vert^2+\vert\overrightarrow{v}\vert^2+2\times\vert\overrightarrow{u}\vert\times\vert\overrightarrow{v\vert}\times \cos\theta$

* Substituindo os dados:

$\displaystyle (4)^2=(3)^2+(5)^2+2\times(3)\times(5)\times \cos\theta$

$\displaystyle 16=9+25+30\times \cos\theta$

Isolando ${\cos\theta:}$

$\displaystyle \cos \theta =\frac{16-(9+25)}{30}=\frac{16-34}{30}=\frac{18}{30}=-0.6$

O valor de ${ \theta: \theta=\arccos(-0.6)=126,869^o }$

$\displaystyle \theta\cong 126,9^o$

Exercício 2 .

Um Arco tem ângulo de 1,5 radiano.
Qual é o valor deste ângulo em graus?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Para determinar o ângulo do arco em graus, vamos usar a regra de três simples, sabendo que ${ \pi }$ radiando equivale a ${ 180^o }$ . Com isto,temos as seguintes rotações:

$\displaystyle \pi \ rad \rightarrow\rightarrow180^o$

$\displaystyle 1,5 \ rad \rightarrow\rightarrow \theta$

Onde 1.5 é o ângulo do arco em radiano e ${\theta}$ o ângulo do arco em graus que se pretende determinar.

Desta forma, temos:

$\displaystyle \theta \times \pi=1,5 \ rad \times 180^o$

Isolando ${\theta}$ :

$\displaystyle \theta=\frac{1,5 \ rad \times 180^o}{\pi \ rad}=\frac{270^o}{\pi}=85,94^o$

Portanto:

$\displaystyle \theta=85,9^o$

Exercício 3 .

Um disco circular tem raio de ${ 5 \ m}$ . Qual é o cumprimento deste disco?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Dados

${ r= 5 \ m }$

O cumprimento de um arco é:

$\displaystyle l= \alpha \times r$

onde ${\alpha}$ é o ângulo do arco em radianos.

Para o nosso caso, o cumprimento de um disco circular é:

$\displaystyle l=2 \pi \times r$

Substituindo:

$\displaystyle r=5 \ m \ em (1): l= 2 \pi \times 5 \ m= 31,415 \ m$

Portanto, o cumprimento do disco é de:

$\displaystyle 31,415 \ m.$

Exercício 4 .

Dois vectores ${\overrightarrow{a}}$ e ${ \overrightarrow{b}}$ tem módulo iguais a ${ 3 \ m}$ e ${5 \ m }$ ,respetivamente.

Qual é o módulo de vector ${ \overrightarrow{c} }$ , se ${\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{2b}}$ e o ângulo entre ${ \overrightarrow{a} }$ e ${ \overrightarrow{b} }$ for de ${ 30^o }$ ?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

Dados .

${ \vert \overrightarrow{a} \vert =3 \ m }$ .

${ \vert \overrightarrow{b} \vert =5 \ m }$ .

${ \overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}}$ .

${ \theta \rightarrow 30^o}$ .

${ \vert \overrightarrow{c} \vert=? }$

Consideremos os vectores ${\overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}}$ .

Os vectores ${\overrightarrow{a}}$ e ${\overrightarrow{b}}$ formando ${30^o}$ entre si ${(\theta=30^o)}$

Entretanto, o vector ${\overrightarrow{c}}$ é dado como ${\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}}$ . Sendo assim, consideremos os vectores ${3\overrightarrow{a} }$ e ${ 2\overrightarrow{b}}$ , isto é,os vectores ${\overrightarrow{a}}$ e ${\overrightarrow{b}}$ com dimensões triplicando e dobrada, respetivamente.

Por outro lado o vector ${\overrightarrow{c}}$ representa a diferença entre ${3\overrightarrow{a}}$ e ${2\overrightarrow{b}}$ neste caso a resultante é:

Calculando ${\beta}$ :

$\displaystyle \beta+\theta=180^o \ \Rightarrow \beta=180^o-\theta$

Como ${ \theta=30^o }$ ,temos: ${ \beta=180^o-30^o=150^o \ \Rightarrow \beta=150^o }$ \

O módulo de vector ${ \overrightarrow{c} }$ , é dada pela lei dos cossenos.\

Lei dos Cossenos:

$\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=\vert3\overrightarrow{a}\vert^2+\vert2\overrightarrow{b}\vert^2+2\times\vert3\overrightarrow{a}\vert \times \vert2\overrightarrow{b} \vert\times \cos\beta$

$\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=9^2+10^2+180\times\cos150^o=181-155,88=25,12$

$\displaystyle \vert \overrightarrow{c} \vert ^2=25,12 \ \Rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=\sqrt{25,12}=5,01$

$\displaystyle \rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=5,01$

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Exercícios Sobre de Fluidos: Conceitos Gerais

07/10/2020 6:20 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercícios de Fluidos: Conceitos Gerais —

Exercício 1 A unidade de Pressão no SI é o Pascal( ${Pa}$ ).

Além desta, usam outras unidades como a atmosfera( ${atm}$ ), milímetros de mercúrio( ${mmHg}$ ), Torricelli ( ${Torr}$ ), Bar( ${bar }$ ), etc.

Conhecendo a relação:

$\displaystyle 1 \ atm = 101325 \ Pa \approx 760 \ mmHg$

$\displaystyle 1 \ bar = 10^5 \ Pa$

Converta para o SI os seguintes valores de pressão:

${0,857 \ atm}$ .
${850 \ mmHg}$ .
${3,5 \ bar}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 1 .

Pela relação anterior, usando a regra de “ ${3}$ simples”, podemos escrever:
$\displaystyle 1 \ atm \longrightarrow 101325 \ Pa$

$\displaystyle 0,857 \ atm \longrightarrow \textbf{X}$

Então, fazendo multiplicação cruzada, obteremos:

$\displaystyle 1 \ atm\textbf{.}\textbf{X} = 101325 \ Pa\textbf{.}0,857 \ atm$

Resolvendo e simplificando a unidade ${atm}$ , obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 86835,5 \ Pa$
Pela mesma regra de “3 simples”, obtemos:
$\displaystyle 101325 \ Pa \longrightarrow 760 \ mmHg$

$\displaystyle \textbf{X} \longrightarrow 850 \ mmHg$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle 760 \ mmHg\textbf{.}\textbf{X} = 101325 \ Pa\textbf{.}850 \ mmHg$

Passando o ${760 \ mmHg}$ para o membro direito, simplificando a unidade ${mmHg}$ e resolvendo, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 113324,0 \ Pa$
Pela mesma regra de “3 simples”, obtemos:
$\displaystyle 1 \ bar \longrightarrow 10^5 \ Pa$

$\displaystyle 3,5 \ bar \longrightarrow \textbf{X}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle 1 \ bar\textbf{.}\textbf{X} = 10^5 \ Pa\textbf{.}3,5 \ bar$

Resolvendo e simplificando a unidade ${bar}$ , obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 3,5.10^5 \ Pa \Leftrightarrow \textbf{X} = 350000 \ Pa$

Exercício 2 Uma caixa em forma de cubo, tem faces com área de ${3 \ m^2}$ e está cheia com ${10 \ kg}$ de um certo material. Qual é a pressão que ela exerce sobre o solo?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 2 .

Dados

${A_{face} = 3 \ m^2}$

${m = 10 \ kg}$

${g = 9,8 \ m/s^2}$

${P - \ ?}$

Como só uma das faces do cubo é que toca no chão, a área de contacto corresponde à área de uma das faces. Neste caso: ${A = A_{face} = 3 \ m^2.}$

Com a massa da caixa, podemos calcular o peso (força) que ela exerce ao solo, nesse caso:

$\displaystyle P = F_g = m\textbf{.}g = 10 \ Kg\textbf{.}9,8 \ m/s^2 \Rightarrow P = 98 \ N$

\bf{Nota: ${1kg\textbf{.}1m/s^2 = 1N}$ }

Usando o conceito de pressão, podemos escrever:

$\displaystyle p = \dfrac{F_{aplicada}}{A_{contacto}} = \dfrac{P}{A_{face}} \Rightarrow p = \dfrac{98\ N}{3m^2} \approx 32,67 \ Pa.$

Exercício 3 Uma caixa tem um peso de ${17 \ kg}$ e está apoiada em uma mesa. A pressão exercida pela caixa é de ${200 \ Pa}$ . Qual é a área de contacto entre a caixa e a mesa?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 3 .

Dados

${P = 17 \ kgf}$

${p = 200 \ Pa}$

${A_{contacto} - ?}$

A Unidade ${Kgf}$ é uma unidade de força mas não está no SI. Sabendo que ${1 \ kgf = 9,8 \ N}$ .

Neste caso: ${P = 17 \ kgf = 17\textbf{.}9,8 \ N = 1666,6 \ N}$

Como:

$\displaystyle p = \dfrac{F_{aplicada}}{A_{contacto}} = \dfrac{P}{A_{contacto}}$

Nesse caso, isolando a área, obtemos:

$\displaystyle A_{contacto} = \dfrac{P}{p} =\dfrac{166,7}{200} \approx 0,834 \ m^2$

Exercício 4 Um corpo tem uma massa de 3 kg e um volume de 5 litros. Determine a sua massa específica.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 4 .

Dados

${m = 13 \ kg}$

${V = 5 \ l}$

${\rho - \ ?}$

A Unidade litro( ${l}$ ) não é a unidade de volume no SI e se quisermos obter a massa específica no SI(como é regra), devemos converter esta unidade.

Sabendo que:

$\displaystyle 1 \ l \longrightarrow 10^{-3} \ m^3$

$\displaystyle 5 \ l \longrightarrow V_{SI}$

Neste caso: ${1 \ l\textbf{.}X = 5 \ l\textbf{.}10^{-3} \ m^3 \Rightarrow V_{SI} = 5\textbf{.}10^{-3} \ m^3}$

Quer dizer que o ${V_{SI} = 5\textbf{.}10^{-3} \ m^3}$

A definição de massa específica impõe que:

$\displaystyle \rho = \dfrac{m_{corpo}}{V_{corpo}} = \dfrac{m}{V_{SI}} = \dfrac{13}{5\textbf{.}10^{-3}}$

$\displaystyle \rho = 2600 \ kg/m^3$

Exercício 5 Um corpo apresenta uma massa específica de ${25 \ g/cm^3}$ . Qual é a sua massa específica no SI?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 5 .

Estamos diante de um problema de conversão de unidades, onde a unidade apresenta uma fracção:

$\displaystyle \rho = 25 \dfrac{g}{cm^3}$

Neste caso, faremos a conversão no numerador e denominador. Para simplificar faremos a conversão por substituição directa. Sabendo que ${1 \ kg = 1000 \ g}$ e ${1 \ g = 10^{-3} \ kg}$ .

Sabendo também que o prefixo “centi”(c) equivale a ${10^{-2}}$ , neste caso ${1 \ cm^3 = 1\textbf{.}(10^{-2})^3 \ m^3= \ (10^{-6}) \ m^3.}$

Note que, o facto de a unidade ( ${cm}$ ) estar elevada a 3, quando separamos o prefixo “centi”, ele também fica elevado a 3. Neste caso: ${1 \ cm^3 = 10^{-6} \ m^3}$ . Então:

$\displaystyle \rho = \dfrac{25\textbf{.} \ g}{cm^3} = \dfrac{25\textbf{.}10^{-3} \ kg}{10^{-6} \ m^3} = 25\textbf{.}10^{-3+6} \ kg/m^3$

$\displaystyle \rho = 25\textbf{.}10^3 \ kg/m^3$

Exercício 6 Uma esfera maciça de alumínio tem uma massa de ${50 \ g}$ . Qual é o seu volume?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 6 .

Dados

${m = 50 \ g = 50\textbf{.}10^{-3} \ kg}$

${V - \ ?}$

Apesar de não ser dado, mas a massa específica do alumínio é conhecida ${\rho{al} = 2700 \ kg/m^3}$ . Neste caso, pela definição de massa específica, temos:

$\displaystyle \rho = \dfrac{m}{V} \Rightarrow \rho\textbf{.}V = m \Rightarrow V = \dfrac{m}{\rho}$

Neste caso:

$\displaystyle V = \dfrac{50\textbf{.}10^{-3} \ kg}{2700 \ kg/m^3} = 1,852\textbf{.}10^{-5} \ m^3$

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