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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 5)

07/17/2020 6:20 pm / Deixe um comentário

Exercício 20 Uma chita pode acelerar de ${0}$ a ${96 \ km}$ em ${2 \ s}$ , enquanto um carro, em média atinge a mesma velocidade final em ${4,5 \ s}$ . Calcular as acelerações média dos dois. NÍVEL DE DIFICULDADE: Elemntar.

Resolução 20 .

A conversão de ${96 \ km}$ para ${m/s}$ , é feita pela regra de 3 simples conforme os exercícios anteriores.

Para a Chita, temos:

${v_o = 0}$ .

${v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}$ .

${\Delta t = 2 \ s}$ .

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

$\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{2}=13,4 \ m/s^2$

Para o carro,temos:

${v_o = 0}$ .

${v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}$ .

${\Delta t = 4,5 \ s}$ .

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

$\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{4,5} = 5,9 \ m/s^2$

Exercício 21 Um móvel fazendo a trajectória rectilínea ${A-B-C}$ , tem a velocidade dada no gráfico ao lado.

Determinar:

A velocidade média deste movimento.
A aceleração média do mesmo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 21 .

Diante de um problema gráfico ( ${v\cdot t}$ ), é válido lembrar que área de baixo da curva determina o espaço total percorrido pelo móvel. No gráfico ${v\cdot t}$ , a inclinação da recta, determina à aceleração.

Para determinar a velocidade média, precisamos conhecer o deslocamento total e o tempo total. O tempo pode ser obtido directamente no gráfico. Para o deslocamento, ele deve ser calculado. Podemos usar dois raciocínios: o calculo da área ou a determinação dos parâmetros cinemáticos deste movimento. Para efeitos de familiarização, dado que temos dois tempos de movimentos ( Um MRUV acelerado de A para B e um MRUV retardado de B para C), vamos usar os dois métodos. Vamos usar a determinação de parâmetros para o movimento de A para B e vamos usar o cálculo de área de B para C. Em qualquer dos casos, os dois métodos são válidos. Cabe a quem resolve escolher.
1. Determinando a aceleração de ${A\longrightarrow B}$ (Determinação dos parâmetros):
  $\displaystyle \left.\begin{array}{cccccccc} t_o = 0 \ s, v_o = 20 \ m/s\\ t= 40 \ s, v = 60 \ m/s\\ \end{array}\right\} \Rightarrow a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60 - 20}{40 - 0} = 0,5 \ m/s^2$
2. Determinando do correspondente deslocamento ${A\longrightarrow B}$ :
  $\displaystyle s = s_o + v_o\cdot t + \frac{1}{2}a\cdot t^2$
  
  $\displaystyle s = (20)(40) + \frac{1}{2}(0,5)(40)^2$
  
  $\displaystyle s = 1200 \ m$
3. Determinando o espaço percorrido ${B\longrightarrow C}$ (cálculo de área):
  $\displaystyle s_{\Delta} = Area = \frac{20\cdot 40}{2} = 600 \ m$
4. Neste caso, o deslocamento total é:
  $\displaystyle \Delta s = 1200 + 600 = 1800 \ m$
5. Logo, a velocidade média será:
  $\displaystyle v_{med} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1800}{60} = 30 \ m/s$
Aceleração média.
$\displaystyle a_{med} = \frac{v_{final}-v_{0}}{\Delta t} = \frac{0-20}{60} \approx -0,33 \ m/s^2$

Exercício 22 Uma pessoa caminha ${100 \ m}$ em ${12 \ s}$ numa certa direcção e depois caminha na direção oposta passando ${50 \ m}$ durante ${30 \ s}$ . Calcule (a) a velocidade média definida pelo caminho percorrido e (b) a velocidade média definida pelo deslocamento. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 22 .

Para o problema em questão, devemos entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final de um móvel, sem se importar pelo trajecto do mesmo. O seu modulo equivale a distancia entre a origem e o destino do móvel. A distancia percorrida é o somatório escalar de todo o caminho percorrido pelo móvel, levando em conta a sua trajectoria e eventuais mudanças de direcção.

Na figura, observamos que o móvel sai da posição ${x_1}$ , vai para a posição ${x_2}$ e depois vai (em sentido oposto) para a posição ${x_3}$ . Se tomarmos ${x_1=0}$ , então ${x_2=100 \ m}$ e ${x_3=50 m}$ (recuando 50 m a partir de ${x_2}$ ).

Neste caso o deslocamento será ${\Delta x= x_3 - x_1 = \ 50 - 0= \ 50m}$ .

A distancia percorrida será: ${d= \ d_1+d_2= \ 100+50= \ 150 \ m}$ .

A velocidade média definida pelo caminho percorrido será:
$\displaystyle v_{med} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{150}{30 + 12}$

$\displaystyle v_{med} = 3,75 \ m/s$
A velocidade média definida pelo deslocamento será:
$\displaystyle v_{med} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{50}{30+12}$

$\displaystyle v_{med} \approx 1,19 \ m/s$

.. Note que é a duração de todo o movimento, e como o tempo não recua, então sempre ${\Delta t = \ 30+12= \ 42 \ s}$ . Estes tempos refere-se a intervalos de tempo, por isso somamos. Se fossem instantes de tempo, deveríamos subtrair.

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 4)

07/17/2020 6:07 pm / 1 comentário em 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 4)

Exercício 13 .

A velocidade de um móvel é tal que ele percorre ${5 \ m}$ a cada ${2 \ s}$ ,em MRU. Determine a posição final no MRU se a posição inicial for ${ 5 \ m}$ e o tempo do movimento for de ${25 \ s }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Dados .

${ v= \dfrac {5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s }$ .

${x_0=5 \ m }$ .

${t=25 \ s }$ .

${x=? }$

Para determinarmos a posição final x do móvel no tempo t precisamos da equação de movimento ( função horária) do móvel.
Para este caso, de movimento retilíneo e uniforme(MRU), a equação de movimento é:

$\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \cdot t \ \ \ \ \ (1)$

Na forma escalar, temos:

$\displaystyle x= x_0+v \cdot t \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo ${x_0}$ e ${v}$ , obtemos:

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \cdot t \ \ \ \ \ (3)$

A posição final ${x}$ para ${ t=25 \ s}$ é:

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \cdot 25= 67,5 \ m$

$\displaystyle x=67,5 \ m$

Exercício 17 .

Um atleta de corrida percorre ${ 1,5 \ m }$ em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de ${ 10 \ km }$ . .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 17 .

Dados

${ v= 1.5 \ m/s }$ .

${ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m }$ .

${\Delta t \rightarrow ? }$

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

$\displaystyle v= \dfrac {\Delta s}{\Delta t}$

Isolando o espaço percorrido:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac {\Delta s}{v}$

Substituindo os dados na fórmula anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac {10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \cdot 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)$

Transformando ${ 6,66 \cdot 10^3 \ s }$ em horas usando a regra de três simples:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow 6,66 \cdot 10^3 \ s\\ \end{array}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x \cdot 3600 \ s= 1 \ h \cdot 6,66 \cdot 10^3 \ s$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac {1 \ h \cdot 6,66 \cdot 10^3 \ s }{3600 \ s}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h$

Logo, o atleta leva ${ 1,85 \ h }$ para percorrer ${ 10 \ km }$ .

Exercício 19 Um corpo está se deslocando diretamente para o sol. No instante ${t_1}$ está ${x_1 = 3,0\cdot 10^{12} \ m}$ , em relação ao sol. Um ano depois, está em ${x_2 = 2,1\cdot 10^{12} \ m}$ . Achar o seu deslocamento e a sua velocidade média.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 19 .

Este problema envolve apenas parâmetros cinemáticos. Não se engane confundindo com gravitação universal.

$\displaystyle Deslocamento$

$\displaystyle \Delta x = x_1 - x_2$

$\displaystyle \Delta x = 3,0\cdot 10^{12} - 2,1\cdot 10^{12}$

$\displaystyle \Delta x = 0,9\cdot 10^{12} \ m$

$\displaystyle \Delta x = 9,0\cdot 10^{8} \ km$

$\displaystyle Intervalo \ de \ tempo$

$\displaystyle \Delta t = 1 \ ano = 365 \ dia$

$\displaystyle \Delta t = 8760 \ h$

A velocidade média será:

$\displaystyle v_{med} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{9,0\cdot 10^8 \ km}{8760 \ h}$

$\displaystyle v_{med} = 1,02\cdot 10^5 \ km/h$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

07/14/2020 4:03 pm / 1 comentário em 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

Exercício 12 .

O gráfico da velocidade em função do tempo de um MRUV é dado abaixo. Determine o deslocamento no intervalo de 0 a 4 Segundos.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 12 .

Para este caso, podemos determinar o deslocamento através de dois métodos.

Usando a equação de Torricelli, através dos dados no gráfico acima:
$\displaystyle 2a \cdot \Delta s= v^2-v^2_0 \Rightarrow \Delta s =\frac{v^2-v^2_0}{2a} \ \ \ \ \ (10)$

Do gráfico temos os seguintes dados: ${ v_0= 20 \ m/s }$ e ${v= 40 \ m/s }$ .No MRUV a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Então, a aceleração é dada por: ${ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0} }$

No intervalo de ${0}$ `a ${ 4 \ s }$ : ${ a= \frac{40-20}{4-2} \cdot \frac{m/s}{s}=\frac{20}{4} \cdot m/s^2 }$

$\displaystyle a=5 \ m/s^2$

Substituindo os dados na equação 10, obtemos:

$\displaystyle \Delta s=\frac{v^2-v^2_0}{2a}=\frac{(40)^2 - (20)^2}{2 \cdot 5}=120 \ m \Rightarrow \Delta s = 120 \ m$
O outro método é usando o calculo de área. Sabemos que a área debaixo da curva da velocidade em função do tempo é numericamente igual ao deslocamento (ver definição velocidade e interpretação geométrica da derivada). Para o nosso caso, a área debaixo da curva é a área de um trapézio, cujas bases maior e menor tem valores no eixo da velocidade (vertical) e a altura tem valor no eixo do tempo. Sendo assim:
$\displaystyle \Delta s = A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot h = \frac{(40+20)}{2} \cdot 4=120 m$

Logo, temos: ${ \Delta s = 120 \ m }$

Exercício 13 .

Um movimento descrito pelo gráfico abaixo.

Descreva o tipo de movimento dos traços AB, BC, CD e DE.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Este gráfico apresenta a variação da velocidade em função do tempo. Neste gráfico, o tipo de movimento é definido pela forma da linha do gráfico.

Se a linha do gráfico for uma recta oblíqua, então trata-se de um caso de MRUV. Será um MRUV acelerado se for inclinada com declive positivo e velocidade positiva ou com declive negativo e velocidade negativa. Será um MRUV retardado se for inclinada com declive positivo e velocidade negativa ou com declive negativo e velocidade positiva.

Se a linha for horizontal, a velocidade é constante (MRU). Este MRU pode ser progressivo (se a velocidade for positiva) ou retrógrado (se a velocidade for negativa).

No traço AB (recta oblíqua): A velocidade é positiva e aumenta de ${ 10 \ m/s}$ à ${ 30 \ m/s }$ . Neste caso, a aceleração é constante e positiva neste mesmo intervalo, portanto, de A para B o movimento é um MRUV acelerado progressivo.
No traço BC (Recta oblíqua): A velocidade é positiva e diminui de ${ 30 \ m/s}$ à ${ 0 }$ , a aceleração é negativa e constante no mesmo intervalo,portanto, de B para C o movimento é um MRUV retardado progressivo.
No traço CD: A velocidade é negativa mas aumenta em módulo de ${ 0 }$ à ${ \approx -15 \ m/s}$ e a aceleração é constante e negativa no mesmo intervalo, portanto, de C para D o movimento é um MRUV acelerado retrógrado.
No traço DE: A velocidade é negativa e constante ( ${\approx -15 \ m/s }$ , e a aceleração é nula no mesmo intervalo,portanto, o movimento é um MRU retrógrado.

Exercício 14 .

Dois móveis têm as seguintes equações do movimento.

Móvel 1: ${ x_1=100+20 \ t }$
Móvel 2: ${ x_2=500-4 \ t^2 }$

Determine a velocidade do móvel (2) no ponto de encontro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14 .

A equação do móvel(1) é uma equação do 1º grau, portanto o móvel em MRU. A equação do móvel (2) é uma equação do 2º grau, portanto o móvel (2) move-se em MRUV.

O objectivo é determinar a velocidade final do móvel (2) ${ v_2 }$ na posição de encontro (A).Entretanto, na posição de encontro (A) ambos os móveis ocupam a mesma posição final, isto é, ${ x_1=x_2 }$ .

Então, temos de determinar o instante de tempo em que os móveis estão na posição de encontro, para substituir este tempo na equação da velocidade.

Na posição de encontro:

$\displaystyle x_1=x_2 \Rightarrow 100+20 \ t=500-4 \ t^2$

Agrupando os termos semelhantes:

$\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t +100-500=0$

$\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t -400=0$

Factorizando o factor 4 na equação:

$\displaystyle 4(t^2 + 5 \ t-100)=0$

Então, pela lei do anulamento do produto:

$\displaystyle t^2 + 5 \ t - 100= 4$

Resolvendo a equação anterior com a fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolvente) temos os seguintes dados: ${ a=1 ; b=5 ; c=100 }$ .

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}= \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} = \frac{-5 \pm 20,615}{2}$

Separando as partes:

$\displaystyle t_1= \frac{-5+20,615}{2}= 7,807 \ s$

$\displaystyle t_2= \frac{-5 - 20,615}{2} = -12,807 \ s$

Descartamos o ${ t_2 }$ pois ele é negativo. Neste caso, ${ t_{Enc}= \ 7,807 \ s }$ .

Tendo o tempo, podemos calcular a velocidade do móvel 2 neste instante. Por definição a velocidade:

$\displaystyle v= \frac{dx}{dt}$

Para o móvel (2),temos: ${ v_2= \frac{dx_2}{dt} }$ .

Substituindo a equação do movimento do móvel (2) , obtemos:

$\displaystyle v_2= \frac{d(500-4 \ t^2)}{dt} = 0-8 \cdot t= -8 \ t$

Portanto, durante este MRUV, a velocidade do móvel (2) é dada como: ${ v_2= -8 \ t }$ .

Para encontramos o valor numérico da velocidade no momento de encontro, devemos substituir o tempo pelo instante de encontro.

Substituindo ${t}$ por ${ t_{Enc}}$ , obtemos: ${ v_2=-8 \ (t)= -8 \cdot 7,807=-62,456 \ m/s }$

Portanto, a velocidade do móvel (2) na posição de encontro (A) é de : ${ v_2= -62,456 \ m/s }$

Exercício 15 .

A velocidade inicial de um móvel é de ${ 10 \ km/h}$ . Após acelerado uniformemente, durante ${10 \ s }$ , ganha uma velocidade de ${ 20 \ km /h}$ .

Determine a aceleração e a distância percorrida.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15 .

Dados

${ v_0= 10 \ km/h }$ .

${ t_0=0 \ s }$ .

${ t=20 \ km/h }$ .

${ a \rightarrow ? }$ .

${ \Delta s \rightarrow ? }$

Antes de a resolver, vamos converter as velocidades ${ v_0 }$ e v para as unidades do sistema internacional usando três simples.
Para: ${ v_0=10 \ km/h }$

$\displaystyle 36 \ km/h \rightarrow 10 \ m/s$

$\displaystyle 10 \ km/h \rightarrow v_0$

Então:

$\displaystyle v_0 \cdot 36 \ km/h= 10 \ km/h \cdot 10 \ m/s$

$\displaystyle \Rightarrow v_0= \frac{10 \ km/h \cdot 10 \ m/s}{36 \ km/h} =2,77 \ m/s$

Para a velocidade final, fazemos o mesmo procedimento. Obtemos:

$\displaystyle v=5,55 \ m/s$

Com as unidades já convertidas, podemos determinar a aceleração.

Para o MRUV, a aceleração é dada por:

$\displaystyle a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{t-t_0}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle a= \frac{5,55-2,77}{10-0}=0,278 \ m/s^2$

A distância percorrida pode ser determinada pela equação de movimento do MRUV ou pela equação de Torricelli.

Usando a Equação de Torricelli:

$\displaystyle v^2=v^2_0+2a \cdot \Delta s$

Isolando ${ \Delta s }$ teremos:

$\displaystyle v^2-v^2_0=2 \cdot a \cdot \Delta s \Rightarrow \Delta s= \frac{v^2-v^2_0}{2 \cdot a}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta s=\frac{(5,55)^2-(2,77)^2}{2 \cdot 0,278}=41,6 \ m$

Portanto a distância percorrida é:

$\displaystyle \Delta s=41,6 \ m$

A aceleração do móvel é:

$\displaystyle a=0,278 \ m/s^2$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 2)

07/13/2020 6:30 pm / Deixe um comentário

Exercício 8 .

O gráfico ilustra um MRU. Determine a velocidade média deste movimento?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8 .

Para o caso de MRU a velocidade média é dada, por definição como sendo:

$\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x-x_0}{t-t_0} \ \ \ \ \ (6)$

Do gráfico temos os seguintes dados:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccccccc} t_0 = 0 \ s : x_0 = 10 \ m \\ t = 5 \ s : x = 40 \ m \\ \end{array}\right.$

Substituindo estes valores em (1):

$\displaystyle v_m =\frac{40 \ m-10 \ m}{5 \ s- 0 \ s}=\frac{30}{5}\times\frac{m}{s}$

$\displaystyle v_m= 6 \ m/s$

Exercício 9 .

A equação de um MRU é:

$\displaystyle x=10+20 \ t \ (SI)$

Determine o deslocamento no intervalo de ${ 4 \ s \leq t \leq 7 \ s }$

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Nos casos de MRU sem mudança de direcção, o deslocamento, em módulo é igual a distância percorrida no intervalo ${\Delta t }$ definido.
Para determinarmos o deslocamento, precisamos da posição inicial e final.

No intervalo

$\displaystyle 4 \ s \leq t \leq 7 \$

A posição inicial é obtida da seguinte forma:

$\displaystyle t= 4 \ s \Rightarrow x_0= 10+20 \times t_0=10+20 \times 40$

Obtemos:

$\displaystyle x_0=90 \ m$

A posição final é obtida da seguinte forma:

$\displaystyle t= 7 \ s \Rightarrow x=10+20 \times t=10+20 \times 7$

$\displaystyle x=150 \ m$

O deslocamento é :

$\displaystyle \vert \overrightarrow{\Delta s} \vert= \Delta x=x - x_0 =150 \ m -90 \ m$

$\displaystyle \Delta x = 60 \ m$

Exercício 10 .

Um atleta de corrida percorre ${ 1,5 \ m }$ em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de ${ 10 \ km }$ . .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 10 .

Dados

${ v= 1.5 \ m/s }$ .

${ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m }$ .

${\Delta t \rightarrow ? }$

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

$\displaystyle v= \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Isolando o espaço percorrido:

$\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta s}{v}$

Substituindo os dados na formula anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \frac{10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \times 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)$

Transformando ${ 6,66 \times 10^3 \ s }$ em horas usando a regra de três simples:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h\rightarrow \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow \rightarrow 6,66 \times 10^3 \ s\\ \end{array}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x \times 3600 \ s= 1 \ h \times6,66 \times 10^3 \ s$

$\displaystyle \Rightarrow x = \frac{1 \ h \times 6,66 \times 10^3 \ s }{3600 \ s}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h$

Logo, o atleta leva ${ 1,85 \ h }$ para percorrer ${ 10 \ km }$ .

Exercício 11 .

A equação horária de um móvel é ${ x = 100+50 \times t }$ . Qual séria a sua equação horária se a posição fosse dada em Km e o tempo em h?..

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 11 .

Dados

${ x = 100+50 \times t }$ .

A equação horária, na forma escalar é dada como:

$\displaystyle x= x_0+ v \times t \ \ \ \ \ (8)$

A equação horária do móvel é:

$\displaystyle x= 100+50 \times t \ \ \ \ \ (9)$

Ao comparar-mos ambas equações, obtemos os seguintes dados:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} x_0=100 \ m \\ v=50 \ m/s \\ \end{array}$

Para escrever-mos a equação horária,com a posição dada em Km e o tempo dado em h, devemos transformar ${ x_0 = 100 \ m}$ e ${v =50 \ m/s }$ nas unidades respectivas, usando o sistema (regra) de três simples.

Então temos:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ km \rightarrow 1000 \ m \\ x_0 \rightarrow 100 \ m \\ \end{array}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x_0 \times 1000 \ m =1 \ km \times 100 \ m$

$\displaystyle \Rightarrow x_0=\frac{1 \ km \times 100 \ m}{1000 \ m} x_0=0.1 \ km$

$\displaystyle 36\ km/h \rightarrow 10 \ m/s$

$\displaystyle v \rightarrow 50 \ m/s$

Logo: ${x_0=0,1 \ km }$ e ${ v=180 \ km/h }$ .

Então:

Substituindo estes valores em na equação horária do MRU, obtemos: ${ x=0.1+180 \times t }$ .

Portanto, para a posição dada em km e tempo em h, temos a equação horária:

$\displaystyle x=0.1+180 \times t$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais

07/13/2020 6:20 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 5 .

Considere o sistema representado abaixo.Considerando a origem do referencial sua base direita do prédio, o Eixo ox horizontal dirigido a esquerda e o Eixo oy vertical e dirigido para cima.

Determine a posição dos pontos A, B e C.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 5 .

O referencial(bidimensional) do sistema é necessário ser traçado para a determinação da posição dos pontos A, B e C. Logo temos as seguintes características do referencial:

* Eixo Ox: eixo horizontal dirigido da direita para a esquerda;

* Eixo Oy: eixo vertical dirigido para cima;

* Origem do referencial: base direita do prédio.\

Aposição do ponto A tem coordenada ${ 50 \ m}$ na horizontal e ${ 100 \ m }$ na vertical, então :

$\displaystyle B(50,100)\ m$

onde

$\displaystyle x_A=50 \ m$

$\displaystyle y_A=100 \ m$

A posição do ponto B tem coordenada ${ -40 \ m }$ na horizontal e 0 na vertical, então:

$\displaystyle B(-40,0) \ m$

Onde:

$\displaystyle x_B=-40 \ m$

$\displaystyle y_B=0$

A posição do ponto C tem coordenada ${-35 \ m }$ na horizontal e ${ 20 \ m}$ na vertical então:

$\displaystyle C(-35,20) \ m$

$\displaystyle x_C= -35 \ m$

$\displaystyle x_C= 20 \ m$

Exercício 6 .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

Dados .

${ v= \frac{5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s }$ .

${x_0=5 \ m }$ .

${t=25 \ s }$ .

${x=? }$

$\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \times t \ \ \ \ \ (1)$

Na forma escalar, temos:

$\displaystyle x= x_0+v \times t \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo ${x_0}$ e ${v}$ , obtemos:

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \times t \ \ \ \ \ (3)$

A posição final ${x}$ para ${ t=25 \ s}$ :

$\displaystyle x= 5 + 2,5 \times 25= 67,5 \ m$

$\displaystyle x=67,5 \ m$

Resolução 7 .

Calcule a velocidade média do móvel da figura abaixo, se ${ t_1=10 \ s }$ e é ${ t_2= 20 \ s }$ , no movimento ${ A\rightarrow B \rightarrow C }$ .

Resolution 7 . Dados

${ t_1=t_{A\rightarrow B} = 10 \ s }$ .

${ t_2=t_{B\rightarrow C} = 20 \ s }$ . Por definição a velocidade média de um móvel é dada por:

$\displaystyle \overrightarrow{v_m}=\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}$

${ \overrightarrow{\Delta s} }$ – Vector deslocamento.

${ \Delta t }$ – Intervalo de tempo total durante o movimento.

Em módulos:

$\displaystyle v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Portanto, para determinar a velocidade média precisamos determinar o deslocamento ${ A\rightarrow B \rightarrow C }$ e o tempo total para o móvel sair de A para C.

Note que o vector deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final, ou seja, no nosso caso ${\overrightarrow{\Delta s}=\overrightarrow{AC}}$

Então temos:

$\displaystyle \Delta s= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \ \ \ \ \ (4)$

A equação 4 é a fórmula para o cálculo de distancia em um sistema bidimensional.Considerando o ponto de partida A e o de chegada C, :

A(10,20) e B(20) considerando a abcissa y e a ordenada x.

Portanto, temos:

$\displaystyle (x_C - x_A)= (40-10)=30 \\ (y_C - y_A)= (30-20)=10 \ \ \ \ \ (5)$

Substituindo 7 em 4, obtemos:

$\displaystyle \Delta s_{A-C}= \sqrt{(30)^2+(10)^2}=31,6 \ m$

O tempo ${ \Delta t }$ do movimento de ${ A \rightarrow B \rightarrow C }$ é a soma dos tempos de ${ A \rightarrow B }$ e de ${ B \rightarrow C }$ .

Dos dados temos temos

$\displaystyle t_{A-B} = 10 \ s e t_{B-C}= 20 \ s$

Então

$\displaystyle \Delta t = t_{A-B} + t_{B-C} =10+20=30 \ s \Delta t = 30 \ s$

Sendo assim:

$\displaystyle v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{31,6 \ m}{30 \ s} = 1,05 \ m/s$

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